精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟预测数学试题

腾冲市第八中学2025届高三第二次模拟预测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在梯形中，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆:的上顶点与右顶点的连线垂直于下顶点与右焦点连线，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 6. 已知函数，数列是等差数列，且，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 7. 已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 如图，在正四棱锥中，，，点,分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 11. 以下说法正确的是（ ） A. 把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B. C. 的二项展开式中系数最大的项为 D. 已知是定义在上函数，是的导数，当时，若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值是__________. 13. 已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为________． 14. 已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2021个零点，则m的取值范围是___________ 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. （1）求的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 16. 网络购物成为当下流行的购物方式，网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，同时居民区的蔬菜水果市场也受到一定程度的影响.某统计部门为了解市场情况，在某社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”（方式甲）的家庭和“利用网络购买水果蔬菜”（方式乙）的家庭进行抽样调查统计：从该社区随机抽取了100户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于0元且不超过1000元、超过1000元且不超过2000元、超过2000元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有5户，统计结果如下表： 消费群体 购买方式 低消费群体 中等消费群体 高消费群体 仅用方式甲 16户 8户 1户 仅用方式乙 14户 13户 3户 两种方式都用 20户 18户 2户 （1）从该社区随机抽取1户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率； （2）从样本中的高消费群体里任取3户，用来表示这3户中仅用方式乙的户数，求的分布列和均值； （3）将上个月样本数据中的频率视为概率.现从该社区（该社区家庭数量很多）中随机抽取4户，发现有3户本月的消费金额都在2000元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化？说明理由. 17. 在直三棱柱中，，且，是中点. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成的角. 18. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 19. 在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2025届高三第二次模拟预测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解. 【详解】, , , 故选：B. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算出复数,再根据复数的概念得到虚部. 【详解】因为, 所以 , 所以复数的虚部为. 故选:A 【点睛】本题考查了复数的四则运算,复数的概念,属于基础题. 3. 在梯形中，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形的性质得出，由向量的加减法得出，再由向量的数量积公式求解即可. 【详解】在中，，，则 故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式，涉及了向量的三角形法则，属于中档题. 4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案. 【详解】∵角的终边过点，∴，. ∴. 故选：. 5. 若椭圆:的上顶点与右顶点的连线垂直于下顶点与右焦点连线，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线的斜率，利用斜率乘积为列方程，结合求得离心率的值. 【详解】椭圆上顶点坐标为，右顶点的坐标为，故直线的斜率为.椭圆下顶点坐标为，右焦点的坐标为，故直线的斜率为.由于，故，即，由于，所以，即，解得. 故选C. 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6. 已知函数，数列是等差数列，且，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用等差数列性质及不等式性质求解判断. 【详解】函数均为奇函数且为增函数，则函数为奇函数且为增函数， 由数列是等差数列，得，即， 于是，即，同理， ， 因此. 故选：B 7. 已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面平行与垂直的性质定理，即可对选项分别做出判断. 【详解】若，，，则与平行或相交，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，由面面平行与线面垂直的性质定理可得，，故C正确； 若，，，则与平行或相交，故D错误. 故选：C. 8. 如图，在正四棱锥中，，，点,分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等体积法可得体积的表达式，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】如图，连接交于点，连接，则平面． 过点作，垂足为，则，即． 因为，所以． 由等体积法可得． 又因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X服从二项分布，，可判断D选项. 【详解】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A错误； 若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，， ， 则，且， 可得，且， 所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确； 记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；  事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽； 根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率： ，故C正确； 由题意可知X服从二项分布，， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 已知分别为双曲线的上､下焦点，且的一条渐近线方程为，下列说法正确的有（ ） A. 的焦距为4 B. 过原点的直线与相交，则的倾斜角的取值范围为 C. 若为上支上的一点.，则的最小值为 D. 若为上的一点，为坐标原点，则恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据渐近线求出焦距后可判断其正误，对于B，根据渐近线的斜率可求直线的倾斜角后可判断其正误，对于C，根据双曲线的定义转化线段和后可求其最小值，从而判断其正误，对于D，根据余弦定理结合计算的值后可判断其正误. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线的方程为，所以焦距，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为， 若过原点的直线与双曲线相交，则必与左支、右支各有一个交点， 则直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围为，B正确； 对于C，， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时取等号，C错误； 对于D，由对称性不妨设为上支上的任意一点， 当点为双曲线的上顶点时，； 当点不在双曲线的上顶点时，因为， 则，由余弦定理得， 又，所以， 因为，则， 即. 综上，恒为定值，D正确， 故选：ABD. 11. 以下说法正确的是（ ） A. 把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B. C. 的二项展开式中系数最大的项为 D. 已知是定义在上函数，是的导数，当时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：第一步取出一个空盒，第二步利用隔板法将8个球放到3个盒子即可；对于B：利用组合数的性质来计算；对于C：令第项的系数最大，根据第项的系数不小于第项和第项的系数列不等式求解即可；对于D：令，求导，利用条件确定其单调性，利用单调性来比较函数值的大小. 【详解】恰有一个空盒的放法共有种，A正确． ，故B错误； 的通项为，令第项的系数最大， 则，且，解得，第三项展开式系数最大，且系数最大的项为，故C正确． 令，则，因为当时， 所以，即在上单调递减，所以，即，即，故D正确． 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简整理得，结合三角函数的性质求解即可 【详解】， 当时，， 所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有. 故答案为： 13. 已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作圆台的轴截面，结合条件求圆台的高和母线长，再结合侧面积公式求结论. 【详解】记圆台的轴截面为等腰梯形， 作圆台的轴截面如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为， 所以，，， 所以，，， 所以圆台的高为，母线长为2． 故圆台的侧面积． 故答案为：. 14. 已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2021个零点，则m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先由条件判断函数是周期函数，周期为2，利用性质画出函数的图象，并将函数的零点转化为函数与的交点，利用一个周期的零点个数，结合图象判断的取值范围. 【详解】由题意，函数为R上奇函数，所以，且， 又，可得，可得函数的图象关于点对称， 联立可得，所以是以2为周期的周期函数， 又由函数的周期为2，且关于点对称， 因为当时，，由图象可知， 函数和的图象在上存在四个零点， 即一个周期内有4个零点， 要使得函数，在区间上有2021个零点， 其中都是函数的零点,即函数在上有2017个零点，如果是第2017个零点，则，如果是第2018个零点，则，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的一个关键是不要忽略，再利用函数性质画出函数图象以后，关键是分析图象，列出不等式. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. （1）求的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式； （2），利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； 【小问2详解】 因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 16. 网络购物成为当下流行的购物方式，网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，同时居民区的蔬菜水果市场也受到一定程度的影响.某统计部门为了解市场情况，在某社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”（方式甲）的家庭和“利用网络购买水果蔬菜”（方式乙）的家庭进行抽样调查统计：从该社区随机抽取了100户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于0元且不超过1000元、超过1000元且不超过2000元、超过2000元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有5户，统计结果如下表： 消费群体 购买方式 低消费群体 中等消费群体 高消费群体 仅用方式甲 16户 8户 1户 仅用方式乙 14户 13户 3户 两种方式都用 20户 18户 2户 （1）从该社区随机抽取1户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率； （2）从样本中的高消费群体里任取3户，用来表示这3户中仅用方式乙的户数，求的分布列和均值； （3）将上个月样本数据中的频率视为概率.现从该社区（该社区家庭数量很多）中随机抽取4户，发现有3户本月的消费金额都在2000元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化？说明理由. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P . （3）能，理由： 设事件A＝“从该社区抽取1户消费金额在2000元以上的家庭”， 则， 抽取4次，可设高消费家庭出现的次数为X，则有， 所以. 由于比较小，概率小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的消费金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为高消费群有变化. 【解析】 【分析】（1）由表中的数据可知两种购买方式都使用的户数为40，然后利用古典概型的概率公式求解即可， （2）由表中的数据可知样本中高消费群体共6户，其中仅用方式乙购买的家庭有3户，所以随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可的分布列和均值， （3）求出从该社区抽取1户消费金额在2000元以上的家庭的概率，抽取4次，可设高消费家庭出现的次数为X，求出后分析判断即可 【小问1详解】 由样本数据可知，两种购买方式都使用的户数为40，样本量为100， 所以可估计上个月两种购买方式都使用的概率. 【小问2详解】 根据题意，知样本中高消费群体共6户，其中仅用方式乙购买的家庭有3户， 所以随机变量的可能取值为0，1，2，3， 且，，，. 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 P 所以随机变量的均值为. 【小问3详解】 略 17. 在直三棱柱中，，且，是中点. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成的角. 【答案】 （1）连接交于点，连接. 在中，、分别是和的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用直棱柱的性质，结合线面垂直的性质定理和判定定理可以证明出平面 ，再根据线面角定义，结合特殊角的三角函数值，进行求解即可. 【详解】（1）略 解：（2）因为三棱柱是直三棱柱， 所以侧棱平面， 因为平面， 所以. 因为，且， 且是的中点， 所以，. 因为， 所以平面， 所以就是直线与面所成的角. 因为， 所以， 在中， ， 故， 即直线与面所成的角为. 【点睛】本题考查了线面平行判定，考查了线面角的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力. 18. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程即得； （2）由题意得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； 【小问2详解】 函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 19. 在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）是，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解的方程； （2）（i）由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，联立直线的方程与抛物线的方程，消去整理得，根据韦达定理及平行四边形的性质表示出点的坐标，将其代入抛物线方程中，得到和的关系，代入直线方程即可求解； （ii）易知，轴. 设，不妨设，因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数，利用斜率公式化简整理可得.利用点到直线的距离公式及弦长公式、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为点到点的距离和点到直线的距离相等， 所以由抛物线的定义可知：动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即. 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）直线恒过定点，理由如下： 由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，如图， 联立方程组，消去整理得， 则，，. 因为四边形是平行四边形， 则， 所以， 代入中，得，化简整理得， 所以直线， 所以直线过定点. （ii）因为的方程为，所以，所以轴，如图所示. 设，不妨设. 因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数， 所以，即，整理得， 所以. 则直线，即， 点到直线的距离为， ， 所以， 由，可得， 令，则， 所以， 则，令，得， 当时，关于单调递增；当时，关于单调递减， 所以当时，取得最大值， 因此，四边形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $