精品解析：云南长水教育集团2026届高三总复习全真模拟测试数学试题

长水教育集团2026届高三总复习全真模拟测试 数学 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数定义计算求解. 【详解】这组样本数据共8个数，且从小到大排列为， 由可知，这组数据的第75百分位数是. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 4. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】应用数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以 所以，所以. 5. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 6. 设 的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 7. 设．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 而在上单调递增，所以． 8. 设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数 的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积最大时参数值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去 ，可得， 由解得， 由韦达定理得，所以， 因为，所以四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 此时，所以，故当四边形面积取最大值时，此时 的值为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于 轴对称，则正数 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两角和正弦公式结合二倍角公式和辅助角公式化简得出解析式判断A，应用正弦函数单调性判断B，应用平移变换判断C，由对称性得出即可判断D. 【详解】因为 所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于 轴对称， 则， 所以，所以 的最小正值为，故D正确. 10. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 点到的两条渐近线的距离之积为 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出计算离心率判断A，应用点到直线距离计算判断B，应用垂直关系计算判断C，应用向量关系结合余弦定理计算判断D. 【详解】由双曲线化为标准方程形式：可得：， 对于A选项：的离心率，故A正确； 对于B选项：的两条渐近线方程为：， 设，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以，故B错误； 对于C选项： 因为且点为的中点，所以，故C正确； 对于D选项：因为为的中点，可得，两边平方结合余弦定理得出 ， 又因为， 所以，故D正确； 11. 如图1，，，，将，，分别沿折起，重合一处记为点，这样形成三棱锥（如图2）．记三棱锥的外接球球心为的中点分别为，过点的平面与交于点 ．则下列结论正确的有（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. D. 四棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断线线垂直，再根据面面垂直的判定定理判断面面垂直，可判断A的真假；做出线面角，求线面角的余弦值判断B的真假；先确定三棱锥的外接球球心，进而可确定 点的位置，判断C的真假；利用锥体体积的计算方法求四棱锥的体积，判断D的真假. 【详解】对于选项A：如图，作于点，连接 因为，所以. 又因为， 将分别沿折起，形成三棱锥， 所以. 又因为，所以在中，，所以. 所以在中，由等面积关系可得：，所以. 在中，由余弦定理可得：. 所以在中，，所以. 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于选项B：因为平面，所以即为直线与平面所成角. 所以，故B错误； 对于选项C：如图，取中点， 因为，， 则，，所以，， 故， 因为在中，所以点为的外心 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，又因为 的外心必在直线上， 所以得到三棱锥的外接球球心与 的外心重合，， 所以为的中点， 过点作交的延长线于点 因为的中点分别为，所以， 故点五点共面，则延长交于点 ， 取中点，所以， 易得：，所以 又因为，所以，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 又因为，所以 所以 又因为的中点分别为，所以 又因为平面，所以，所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则，则，， 即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件 表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件 有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 四、解答题（本大题共5小题，其中15题13分，16题和17题各15分，18题和19题各17分，应写出必要的解答、推理过程和文字说明，共77分） 15. 设数列满足． （1）证明：为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：由得： ， 所以， 所以，即得， 由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2） 【解析】 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 所以； 16. 已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因底面是菱形，，是BC中点，所以，又，则. 已知平面，平面，所以. 因为平面，且，所以平面. 又平面，故. 四棱台上下底面平行且相似，上底面是边长为菱形. 在四边形中，，，由勾股定理得，. 在中，，所以，即. 因为平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由底面菱形性质及线面垂直性质证平面，得. 再根据已知边长用勾股定理逆定理证. 因为与 相交，所以平面. （2）解法1，过作，证平面，再过 作，得为二面角平面角. 算出、长度，用正切求出正切值，再求其余弦值. 解法2，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角.先找出平面的一个法向量. 设平面法向量，根据向量垂直关系求出. 最后用向量夹角公式求两平面夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1 在等腰直角中，过作， 则M是中点，， 又，所以平面， 又因为平面，所以， 过M作，连接， 由于平面， 所以平面， 又平面，故， 所以为平面与平面的夹角， 由（1）知，在中，， 故， 因为平面，平面， 所以， 则， 又因为为锐角， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 解法2 因为平面ABCD，所以AE，AD，两两垂直． 以A为原点，AE，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 则， ， 由（1）易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 即取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【点睛】 17. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析 （2）答案见解析 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据完成列联表即可； （2）由公式计算，然后根据临界值表进行判断； （3）由题意可得的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得的分布列与期望． 【小问1详解】 解：根据题意可得如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 90 服用 75 35 110 合计 125 75 200 【小问2详解】 由列联表可得， 在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 解释：由于，所以表示有小于的可能性证明这两个事件无关， 也就是在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 【小问3详解】 根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物， 所以的值可能为0，1，2，3，4，则，， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 3 4 则． 18. 已知点 为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点（位于直线的左侧），使得以为顶点的 满足，求 重心的坐标． 【答案】（1）； （2）（i）;（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用焦半径公式可求，进而可得抛物线的方程. （2）设直线：. （i）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合，可确定的值，再利用弦长公式求，进而可得以为直径的圆的面积. （ii）先确定 的形状，结合已知条件可确定点 ，，的坐标，再结合三角形重心的坐标公式可确定三角形重心坐标. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以由焦半径公式得： 所以，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：，点 （i）联立得：，化简得：. 当，即时， 由韦达定理得：. 因为，所以， 所以，所以，符合条件. 由弦长公式得：. 所以以线段为直径的圆的面积. （ii）不妨设点 在 轴上方，如图： 因为， 所以由正弦定理得： 三边长对应之比为， 结合余弦定理知：， . 又因为直线的斜率为，所以得到：轴，所以可得点. 所以直线 的倾斜角为，即. 又因为， 所以，解得：. 所以，， ， 所以， 即 的重心的坐标为. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 【答案】（1） （2） （i）当时，， 证明：当，，即，， 令，， 令，， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，，证毕. （ii）由，令，则， 所以 ， 下面先证明， 由（i）知在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，， 又因为，故当时，，，， 所以，即， 所以， 所以，证毕； 再证明：， 由（i）知和在上恒成立， 所以，当时，，即 ，， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为，进而求函数的最小值即可求得答案； （2）（i）构造函数，进而在上单调递增即可证明结论； （ii）令，进而得.再结合（i）的证明过程中得到的不等式得，，进而得到即可证明；再结合（i）证明过程中得到的不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【小问1详解】 已知，即， 因为，， 所以，即，， 令， 则 ， 令，，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增； 所以，当时，取得最小值， 所以，即的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2026届高三总复习全真模拟测试 数学 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 6. 设 的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 7. 设．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于 轴对称，则正数 的最小值为 10. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 点到的两条渐近线的距离之积为 C. 若，则 D. 11. 如图1，，，，将，，分别沿折起，重合一处记为点，这样形成三棱锥（如图2）．记三棱锥的外接球球心为的中点分别为，过点的平面与交于点 ．则下列结论正确的有（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. D. 四棱锥的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______ 13. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，其中15题13分，16题和17题各15分，18题和19题各17分，应写出必要的解答、推理过程和文字说明，共77分） 15. 设数列满足． （1）证明：为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 18. 已知点 为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点（位于直线的左侧），使得以为顶点的 满足，求 重心的坐标． 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $