山东省青岛市第一中学2026届高三下学期考前预测数学试题

绝密★启用前 2026年青岛市第一中学高三第三次适应检测 数学试题 注意事项： 1.命题人：石笑宇；考试时间：2026年5月7日15：00-17：00 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.(1+2x)°的展开式中x2的系数为() A.20 B.40 C.60 D.80 2.已知集合A={-2-1,01,2},B={x0≤x<2},则A∩B=（) A.{-2,-1,2 B.{0,} C.{x|0≤x<2} D.{x|x<0或x≥2 3.设a∈R,(a+i)1-ai)=2,则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知m,n是两条直线，a是一个平面，下列命题正确的是() A.若m/a,m⊥n,则n⊥a B.若mLa,m⊥n,则n⊥a C.若m/a,n⊥a,则m⊥n D.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n 5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S=So,a=1,则a=（) A月 B月 c 6.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲：q>0，,乙：{Sn}是递增数列，则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D,甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7已知0<a<,m受5，则ma》() A. B.② C.32 D.72 10 5 10 10 第1页共4页 8.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PA.PB的 取值范围是(） A.[-5,3] B.[-3,5] C.[6,4] D.[-4,6] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在青岛一中开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛， 每个小组各有10位选手.记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超 过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组的是（) A.甲组中位数为3，极差为4 B.乙组平均数为2，众数为2 C.丙组平均数为3，方差为2 D.丁组平均数为3，第65百分位数为6 1O.将下列平面四边形ABCD中的△ABD沿对角线BD翻折成△A'BD,使二面角'-BD-C为直二 面角，其中四面体A'BCD的外接球的半径等于2的是 A 264 D60° B.D8w389 D. 11.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(0<α<1)，收 到0的概率为1-a;发送1时，收到0的概率为(0<B<1),收到1的概率为1-B.考虑两种传 输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复 发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时， 收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1） A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1-)1-B) B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为B1-β)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为B1-B)2+Q-B) D.当0<<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译 码为0的概率 第2页共20页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f)=4+og:x,则日) 13.将面数=2x+）的图象向左平移0<<个单位，得到的图象关于y轴对称，则 o= 14.已知△4BC中，点D在边BC上，∠ADB=120,AD=2,CD=2BD.当4C取得最小值时， AB BD= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，长方体ABCD-ABCD中，AB=16,BC=10,AA,=8,点E,F分别在AB,CD 上，AE=DF=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 D F E A B D B (1)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； (2)求直线AF与平面a所成角的正弦值. 16.(15分) 设a为实数，函数f(x)=e-2x+2a,x∈R. (1)求∫(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>n2-1且x>0时，e>x2-2ax+1. 17.(15分) 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，CD为AB边上的高，设CD=h,且a+b=c+h (1)若c=3h,求tanC的值； (2)求sinC的取值范围. 第3页共4页 18.(17分) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为 第1代，再经过一次繁殖后为第2代.…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布 列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=)=p,(i=0,1,2,3). (1)已知P=0.4,21=0.3,P2=0.2,P3=0.1,求E(X); (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： P。+px+P2x2+px3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1,当E(X)>1时，p<1; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义· 19.(17分) 知4,4为插圆C号+0<h<B的左，右顶点，M为G上的一点，N为双 G。广=1止的一点(M,N两点不同于有，4两点，设直线4M,M,AN,4N的斜 3b2 率分别为k,k2,k3,k4,且k+k2+k+k4=0 (1)设O为坐标原点，证明：O,M,N三点共线； (2)设C、C,的右焦点分别为F、F,M、N均在第一象限，直线NE与直线MF2相交于点P, k2+k+k+k=8. (i)证明：M/NE; (i)证明：∠APE=∠APE 第4页共20页 绝密★启用前 2026年青岛市第一中学高三第三次适应检测 数学试题答案解析 1.B 【详解】由于(1+2x)°的展开式的第3项为T,=C(2x)=40x2, 故展开式中x2的系数为40. 2.B 【详解】集合A={-2,-1,01,2},集合B={x0≤x<2}. 在A中满足0≤x<2的元素只有0,1，所以A∩B={0,1} 3.C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出， 【详解】因为(a+i)1-ai)=a-a1+i+a=2a+1-a2)=2, 2a=2 所以{ -a2=0’解得：a=1 故选：C. 4.C 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解。 【详解】对于A,若m/1a,m⊥n,则n,a平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B,若m⊥a,m⊥n,则n/a或nca,故B错误. 对于C,m∥a,n⊥a,过m作平面B,使得B∩a=s, 因为mCB,故m/ls,而sc,故n⊥s,故m⊥n,故C正确. 对于D,若m⊥a,n⊥a,则m∥n,故D错误. 故选：C. 5.B 【分析】由S=So结合等差中项的性质可得a=0,即可计算出公差，即可得a,的值. 【详解】由S0-S=a6+a,+ag+a,+ao=ag=0,则ag=0, 第1页共20页 则等差数列a,}的公差d=品，2=}放a=4-41=1-4个)子 3 故选：B. 6.B 【分析】当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{Sn}是递增数列时，必有αn>0 成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案. 【详解】由题，当数列为-2，-4，-8，…时，满足q>0, 但是{S}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件. 若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若9>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛 盾的，则9>0成立，所以甲是乙的必要条件. 故选：B. 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要 给予其证明过程。 7.D 【分折】利用二倍角余弦公式得ca0sa=号，则sma=手，最后再根据两角差的正弦公式即 可得到答案 【详解】c0sa=2c0sg-1=2× 5 5 13 因为0<a<,则<a<元，则sna=-osa 则sma-4s 4 故选：D. 8.D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P(cosO,sinO),表示出PA,PB,根据数量积的 坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(3,0),B(0,4), 第2页共20页 5 3 2 D 34 -2 因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 设P(cosa,sin0),B∈[0,2π]， 所以PA=(3-cos0,-sin0),PB=(-cos0,4-sin0), 所以PA.PB=(-cos0)×(3-cos0+(4-sin0-sin0 =cos20-3cos0-4sin0+sin20 =1-3cos0-4sin0 =1-5sin(0+p）,其中sinp=, =5'cosp= 4 因为-1≤sin(0+p)s1,所以-4≤1-5sin(0+p)≤6，即PA.PB∈[-4,6]： 故选：D 9.AC 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛 盾，A正确：C选项，根据方差得到(x-3)+(x2-3)+…+(x。-3)=20,若有选手失8 分，则有(8-3)=25>20，矛盾，故C正确：BD选项，可举出反例 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分， 根据极差为4，得到最低失分为4分， 第3页共20页 此时中位数不可能为3，故假设不成立， 则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，A正确 B选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误： C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为x,x2,…,x, 丙组平均数为3，方差为2， 即(x-3)}+(x2-3+…+(x0-3}=20, 若x0=8,则(x。-3)=25>20,不合要求，故x0≤7， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，C正确： D选项，65%×10=6.5，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数， 即从小到大第7个数为6， 假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,6,6,6,12， 满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，D错误 故选：AC 10.ACD 【分析】对于四面体ABCD,当两个三角形所在平面相互垂直时，其外接球半径满足 其中心5分别是两个相互垂直的三角形的外接圆半 共边的长度，由此可确定选项 【详解】由二面角A-BD-C为直二面角得，平面ABDL平面BCD 设△ABD的外接圆半径为5，△BCD的外接圆半径为，四面体A'BCD的外接球半径为R. A由题意得，A=90,C=60°，故行=B0=5】 由正弦定理得， BD sin C sim60=25,故5=2， =25,即25 R2=2+5-BD =3+4-3=4,故R=2 B.由题意得，A=C=60°， 由正弦定理得，BD=25, BD =25,即26 sinA =2r=25,故片=5=2， sin C sin60° B -=4+4-3=5,故R=V5, 4 第4页共20页 C,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知四面体ABCD的外接球球心为BD的中点， R=0=2 D.'△BCD和△ABD均为直角三角形， 5=4D=2,5=BD, 2 2 ·R=+528D =4,故R=2. 4 故选：ACD. 11.ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB:利用相互独立事件及互斥事件的概率 计算判断C:求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A,依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0 接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为(1-B)1-a)1-)=(1-)1-)，A正确： 对于B,三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为1-B)·B·(1-β)=B(1-)2,B正确： 对于C,三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和 1,1,1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C1-)2+(1-)3=(1-)1+2)，C错误： 对于D,由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)(1+2)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1-a,而0<u<0.5, 因此P-P'=(1-a)2(1+2)-1-)=(1-a)1-2a)>0,即P>P',D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互 斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 12.1 第5页共20页 【分析】根据给完条件，把x=代入，利用指数、对数运算计算作答。 【详解】函数=4+og,所以/兮=华+g2-1=1 1 故答案为：1 15.8 【分析】先根据平移变换的原则得到平移后的函数解析式，再根据三角函数的对称性即可得 解. 【详解】将函数y=2sinx+ π 的图象向左平移p0<p< 个单位， 3 得到函数y=2sinx+p+ 的图象， 3 又得到的图象关于y轴对称，即函数为偶函数， +T=及+km,k∈Z,所以p=兀+km,k∈Z, 所以p+ +32 又0<0<5，所以9=6 故答案为：6 π 14.V5-1/-1+5 【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出4C 后，结合基本不等式即可得解. AB2 【详解】方法一：余弦定理 设CD=2BD=2m>0, 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD,ADcos.∠ADB=m2+4+2m, 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·AD cos.∠ADC=4m2+4-4m, 4C-4m+44m_4(m+4+2m）-121+ 2412 所以AB2m2+4+2m m2+4+2m (m+1)+3 m+1 ≥4- 12 =4-25 2/m+1)3 m+1 3 当且仅当m+1= 即m=√5-1时，等号成立， m+1 所以当4C取最小值时，m=5-1 AB 第6页共20页 故答案为：√3-1. B D C 方法二]：建系法 D 令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C(2t,0),A(1,5),B(-t,0) :4C_(21-+342-4+4 AB2 +1旷+3F+2+4 412，之425 3 e+0++1 当且仅当t+1=√3，即BD=5-1时等号成立。 [方法三]：余弦定理 设BD=X,CD=2x.由余弦定理得 ∫c2=x2+4+2x 62=4+4x2-4r’·2c2+b2=12+6x2, [c2=x2+4+2x b2=4+4r2-4x’2c2+b2=12+6x2, 令4C=1,则2c2+1e2=12+6x, AB 2+2=12+6x212+6r2 2 =6 ≥6-23， x2+2x+4 (x+1)+3 +1 ∴.t≥4-25， 当且仅当+1，即x=5-1时等号成立 第7页共20页 [方法四]：判别式法 设BD=x,则CD=2x 在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD.ADcos.∠ADB=x2+4+2x, 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos.∠ADC=4x2+4-4x, 所以4C-4+4-4,记1=4+44， AB=2+4+2x x2+4+2x 则(4-t)x2-(4+2)x+(4-4t)=0 由方程有解得：△=(4+2)2-4(4-)(4-4)≥0 即t2-8t+4≤0，解得：4-25≤t≤4+25 所以1=4-25，此时x=2+!=V5-1 4-t 所以当4C取最小值时，x=5-1,即BD=V5-1, AB 15.(D详见解析：()45 15 【详解】(I)交线围成的正方形EHGF如图： (II)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A,E=4,EM=AA=8,因为EHGF为正方 形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=VEHP-EM?=6,所以AH=10.以D为坐 标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-z,则 A(10,0,0),H(10,10,0),E10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8).设 n=(Gy是平面EHGF的法向量，则-：FE=0即10x=0, 即 所以可取 i.HE=0,-6y+8z=0 万=043.又正=(-10.4,38，故kos元F》- n.AF 45 所以直线AF与平面a .AF 15 所成角的正弦值为45 15 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角. 第8页共20页 Z米 D E B D M H B 16.(1)见解析：(2)见解析. 【详解】试题分析：(1)由fx)=e-2x+2a,x∈R,知f'(x)=e-2.x∈R.令f)0, 得x=n2.列表讨论能求出x)的单调区间区间及极值. (2)设g(x)=e-x2+2ax-1,x∈R,于是g'(x)=e-2x+2a,x∈R,由(1)知当 a>h2-1时，gx)最小值为g'm2)=21-血2+a>0,于是对任意x∈R,都有 g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.由此能够证明e”≥x2-2ax+1. 试题解析：解：，f(x)=ex-2x+2a,x∈R, .f(x)=ex-2,x∈R. 令f(x)-0,得x=ln2. 于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (-o,ln2) In2 (n2,+oo) f(x) 0 + Ax) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-oo,ln2), 单调递增区间是(n2,+o), f(x)在x=ln2处取得极小值， 极小值为f(ln2)=elh2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值. (2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln2-1时， 第9页共20页 g'(x)最小值为g'(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时，对任意x∈(0，+oo),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0，+0)，g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1. 考点：1.导数与单调性和极值：2.导数的应用. 1.号 (ssinc ，再代入二倍角的正 C 【分析】(1)首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得tan。 可公式，即可求解：(2)首先通过辅助线，构造可得≤结合()的结果可得a如的 2 范围，再根据二倍角公式，求得sinC的取值范围. 【详解】(1)在△ABC中，a+b=c+h,若c=3h. cosC=a2+-c2_(a+2-c2-2ab_(c+M2-c2 -1=+2ch 2ab 2ab 2ab 2ab 又5 absin C=ch,b=ch 2 sinC ..1+cosC_h2+2ch =1+ h_7 sin C 2ch 2c6 2sincos 2 C 6 °2=tan 27 2cos- 2 6 2×984 ∴.tanC= 2tan 2 I-tan2C 1- 3613 49 2由)知+2c h 1 C tan 2 如图，在△ABC中，过B作AB的垂线EB,且使EB=2h,则CE=CB=a, 第10页共20页 a 2h g+6=c+2,即e+6j矿>4，得会写 b h A∠ B D 1<1+s4 2c3 “1<14 C S: 3 C tan 2 3,4≤a 下1 2sin C cos C 2 tan 2 sin C=- 2 sin2 C 1+tan?C C 2 tan tan 设4,4+在区向[单减 2 1 25 即an5+。 2 C 202 24 25 sinC<l 18.(1)1;(2)见解析：(3)见解析. 【分析】(1)利用公式计算可得E(X). (2)利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点. (3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)设f(x)=Px3+P2x2+(P卫-1)x+Po, 因为P3+P2+p1+P=1,故f(x)=P3x3+P2x2-（P2+Po+P3)x+Po, 若E(X)≤1，则p,+2P2+3P≤1，故P2+2P≤P. f'(x)=3Px2+2P2x-(p2+p+p3), 因为f'(0)=-(p2+P+P)<0,f'()=P2+2p-P≤0， 第11页共20页 故(x)有两个不同零点x,x2,且x<0<1≤x2, 且x∈(-0，x)U(x,+o)时，f'(x)>0;x∈(x,x2)时，f'(x)<0: 故f(x)在(0，x),（x2,+∞)上为增函数，在(x,x)上为减函数， 若x,=1,因为f(x)在(x,+∞)为增函数且f(1)=0, 而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x,x2)上为减函数，故f(x)>f(x)=f(1)=0, 故1为Po+Px+P2x2+Px3=x的一个最小正实根， 若x2>1,因为f(1)=0且在(0，x)上为减函数，故1为P+Px+P2x2+Px3=x的一个最小 正实根， 综上，若E(X)≤1，则p=1. 若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,故P2+2p3>po. 此时f'(0)=-（P2+P+P3)<0,f'()=P2+2P-p>0, 故'(x)有两个不同零点x,x4,且x<0<x4<1, 且x∈(-o,x)U(x4,+o)时，f'(x)>0;x∈(xx4)时，f'(x)<0: 故f(x)在(-0，x),(x4,+o)上为增函数，在(x,x4)上为减函数， 而f(1)=0,故f(x4)<0, 又f(0)=P>0,故f(x)在(0，x)存在一个零点p,且p<1. 所以P为P。+Px+P2x2+Px3=x的一个最小正实根，此时p<1, 故当E(X)>1时，p<1. (3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后 代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 19.(1)证明见解析 (2)(i)证明见解析：()证明见解析 【分析】(1)设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线： (2)()根据斜率的关系可求k+k2=一2，k+k4=2,利用向量坐标关系可证平行，或者 第12页共20页 通过联立方程求出M,N的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； ()利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比 例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性 可证 【详解】(1)设M(G,y),N(,),则k=,当5 光-5， 因为+=1，可知：3=一32 b2上， 2-3 时3,4+6-教265 3 x2-33° 因为号-斧=1，可如：店-存， 3b2 3-33 b35 Γx-33y2 由k+k2+k3+k4=0可知：xy2-x2y=0, 可知：OM/ON,因此，O,M,N三点共线. (2)(i)由k+k+k3+k=8可得：(k+k2)'+(k+k)'-2(kk2+kk4)=8, 由(1)可知：kk+kk4=0.由k+k3+k+k4=0,可知： (k+k2)=4,且M,N都在第一象限，则k+k2=-2,飞+k4=2, 由)：年资…0，服=6-正小-k-8 由()式结合号+若=1，发- =1可知： 362 3b2 b2 b2 y1= 3+6，及= 3-b,则M 3b2） (3-b3-b万 因此可得： (:-V3-b2)32x-V3+b)y=xy.-xy+V3+by-V3-by2=-V3-b2+V3+by=0 ,由此可知：FM/1F,N: 第13页共20页 另解： 山D可知：+62=0头=2，则大，直线w x2-33 3 .x y= 3 3 联立直线与椭圆： x2 2 解得点M (3+61 V3+b2’√3+b2 b2 同理： √3-b'3-b 以下同上个解法。 (i)由(i)可知： b2 b2 V3-b2 b2 V3+b2 b2 k33-b23-3-),k3 -1, √3-b -V3+b2 3-（3+b2) V3+b2 则NE⊥MF; 直线FN:y=x-√3-b2,直线FM:y=-x+V3+b2, 设点P(x,%),于是x。-为=V3-b，。+%=V3+6, 则(x-%)'+(x+)}2=6,即x2+%2=3, 则点P的轨迹是以O为圆心，√为半径的圆， 则24PA-子∠FR- 于是∠APF+∠FPA2=∠FPA+∠APF,则∠APE=∠A,PF; 另解1：由(i)可知： b2 B2 3-b2 b2 k=3 3-63(3-6司，明= V3+b2 b =-1 3 V3-b2 -V3+b 3-（3+b2) V3+b 则NE⊥MF; 第14页共20页 如图，取ME的中点I,NF的中点J,记椭圆左焦点为F,连接MF。, AT断，兴折祭-太 则07=om+0丽)-ON+0丽)=k0,则0,1，J三点共线， 于是P55=k,则元=kP示， PN NJ 丁是ap-1of+0w-4oE+a-aW, 1+k 则P,O,1,J四点共线. 于是P1-号M,MP5=90, 由于OI为△FME的中位线，则O1=ME, 因为oP=o1+P-号MC+M=5, 则点P的轨迹是以O为圆心，√为半径的圆， 则AP4-号FPR- 于是∠APE+∠FPA=∠FPA,+∠A,PF,则∠APF=∠A,PF. 另解2：由于 b b2 V3-b2 b2 kN=3 V3+b2 b2 V3-B3-(3-b =1,kMF,=3 =-1, V3+b2 3-(3+b2) V3-b2 V3+b2 则∠PFB=∠PFF=年，则aPF乃是等腰直角三角形， 于是PV5-F+5+B8+B-6 2 2 第15页共20页 √3+b-5-b am∠PE4-3+6+3-b 2 =1， 2 -- V3+b2-V3-b2 2 3+62-13-b2 tan∠P45=3+B+B-b+5 B+b2+6-b2+2话 tan∠APF=tan(∠PE4-∠PAE上 tan∠PEA2-tan∠PA,E 1+tan∠PFA,tan∠PA,E V3-b+5 V3+b2+V5 同理可求∠4PR=an(∠PSx-∠PA月一3+6-日 3-√3-b1 由于W3-b+V5)(5-v3-bF)=(V3+B+5N3+b-5), 于是3-P+5-3+F- ,tan∠A,PF=tan∠APE, V3+b2+V55-V3-b2 且∠AP听，∠AP片为说角，由y=mr在0}上单调速指所以∠4P听=∠4P听. 第16页共20页