精品解析：山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷）

潍坊市高考模拟考试 数学 2026.5 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出集合和，进而根据集合的交集运算即可求解． 【详解】由，解得或，所以或， 由，则，又，则，所以， 所以． 2. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将向量的顺时针旋转转化为复数乘法运算，通过复数除法的分母实数化求解原复数. 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 3. 设的内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 4. 已知边长为2的菱形满足，绕边所在的直线旋转，在旋转过程中三棱锥体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形的边长和内角求出对角线 ，从而说明 与 都是等边三角形．旋转过程中，以 为底面，底面积不变；顶点 到平面 的距离最大时，三棱锥的体积最大． 【详解】在菱形 中，，所以 ． 在 中，． 由余弦定理，得 因此又 ， 所以 与 都是边长为 的等边三角形． 设点 到直线 的垂足为 ． 在等边三角形 中， 同时， 绕直线 旋转时，点 在以 为圆心、 为半径的圆上运动． 设旋转后点的位置为，则点到平面的距离不超过圆的半径， 且当平面 时，该距离取得最大值． 因此三棱锥体积的最大值为 5. 已知，函数，为奇函数，则（ ） A. 13 B. 24 C. 80 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 6. 已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B 7. 将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】相同元素问题利用隔板法计算即可得. 【详解】采用隔板法，在5个相同的笔记本之间可放入2个隔板，可将笔记本分3份， 从而放入3个不同的文具袋，共有种放法； 同理，书签的不同放法种数也为种； 此时每个文具袋既有笔记本又有书签， 故共有种不同的放法. 8. 已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由于，所以，，故，设， 当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：， 整理可得， 所以的面积， 故的内切圆半径， 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若随机变量，，，则 B. 若，则 C. 若随机变量，，则 D. 若回归直线方程为，，，则样本点处的残差为0.5 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，因为随机变量，且，， ，，A选项正确. 选项B，，，整理得，解得，B选项错误. 选项C，随机变量，，则，C选项正确. 选项D，因为回归直线方程为，，， ，解得，. 故样本点处的残差为，D选项错误. 10. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．若正四面体的高为，则（ ） A. 该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4 B. 该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 该勒洛四面体表面上的长度为 D. 过，，三点的截面面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据正四面体的高，求出正四面体的棱长；对于A，分析勒洛四面体表面两点距离的最大情形，结合勒洛四面体的定义判断该最大值；对于B，该勒洛四面体能够容纳的最大球，即为该几何体的内切球，用棱长减去正四面体外接球的半径得到内切球半径；对于C，先确定所在的平面，再确定半径，圆心角，利用弧长公式计算弧长；对于D，过，，三点的截面是平面与三个球的交线围成的区域，根据围成的区域计算得到截面面积. 【详解】过点作平面，连接，，为正四面体的中心. 设正四面体的棱长为，则，； ，即正四面体的高； 由正四面体的高为，得，解得. ，. 在中，，即，解得. 根据勒洛四面体的定义，构成几何体的四个球的半径. 对于A，勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点，，，为球心，以4为半径的四个球的公共部分；勒洛四面体表面上距离最远的两点应该是正四面体的相对顶点（如和）之间的距离，即为正四面体的棱长；则该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4，故A正确. 对于B，该勒洛四面体能够容纳的最大球，即为该几何体的内切球.由于勒洛四面体具有正四面体的对称性，其内切球的球心与正四面体的中心重合，则内切球的半径. 由，，得，故B正确. 对于C，是球心为的球面与球心为的球面的交线的一部分，该交线位于过中点且垂直于的平面内，如图所示： 对应的圆心角为. 由正四面体棱长，得. 在中，，， ； . 的长度，故C错误. 对于D，过，，三点的截面是平面与三个球的交线围成的区域，如图所示： 则. 每个扇形对应的圆心角为，半径为4，则； ； ，故D正确. 11. 已知数列满足，，则数列中的项可能为（ ） A. 1027 B. 2026 C. 80 D. 93 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据递推关系可知数列每一步要么加3要么乘2，得到的结果不是3的倍数，排除不可能选项，再构造路径验证剩余选项即可. 【详解】由递推式， 得：对任意，或，首项， 从第2项起，每一项不论是在前一项的基础上加3还是乘以2， 即数列的项为或， 也即数列每一项都不是3的整数倍， 选项A：，路径：前10次均选乘2得， 第11次选加3得，成立； 选项B：，路径：前10次均选乘2得， 后续334次均选加3，得，成立； 选项C：，路径：前5次均选乘2得， 后续16次均选加3，得，成立； 选项D：93是3的倍数，被3整除，故排除D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 13. 已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 14. 如图，直线与函数，的图象相切于点，且，，，与轴的交点为，过作轴的垂线，垂足为，则________． 【答案】. 【解析】 【分析】首先，由点、求直线的斜率，根据得到切线的斜率；再利用导数的几何意义确定切点的坐标；最后通过坐标表示向量的模，结合同角三角函数的基本关系化简求值. 【详解】由，得，，因为，所以， 由求导得，设，则过点的切线斜率， 即，因，所以， 则过点的切线方程为，令得，， 即点的横坐标为，，故. 因为垂直于轴，所以， ，，， ， 由得，， 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【小问1详解】 在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ，  因，， 故，得； 【小问2详解】 由三角形面积相等得，代入，，， 化简得：  ，又 再代入余弦定理，得  ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 16. 如图，在三棱锥中，为上一点，，，． （1）证明：线段上存在一点，使得平面平面； （2）若，，三棱锥的外接球的表面积为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点， 由，得，由，得， 由，且都在平面内，故平面， 又平面，所以平面平面， 综上，存在点，使得平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，易得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明平面平面，即可证； （2）由题意为等边三角形，取中点，根据已知及（1）结论，应用二面角的定义得到二面角的平面角为，并求出各边的边长，应用余弦定理求的余弦值，进而求其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，知为等边三角形，，， 取中点，则，且，又，则， 由平面，平面，则二面角的平面角为， 由（1）平面，平面，则， 又，且都在平面内，则平面， 由平面，则，而， 在中，在中， 所以，则，故在中， 综上，两两垂直，且的斜边为， 故三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 易知平面，且， 三棱锥的外接球半径为，则，可得，即， 由平面，则，故，则， 所以，， 在中，，， 由余弦定理得， 故二面角的正弦值为. 17. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 【答案】（1） （2）若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【解析】 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【小问1详解】 由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； 【小问2详解】 函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点个数为； 若且，零点的个数为. 18. 已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）由题设，，设 （）， 所以，即， ，即， 由于直线与相交于点，直线与相交于点，则， 联立，解得，即得， 联立，解得，即得， 所以直线的斜率， 则其方程为，即恒过定点，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知有，化简整理即可得； （2）设 （），写出直线、直线，并求出它们与、的交点坐标，进而写出直线，即可证； （3）设，结合已知得，设切点，，从而得到，，即为方程的两根，韦达定理得，，进而有、，化简得，令，转化为研究的范围，构造且注意，从而得到范围. 【小问1详解】 设圆心，由动圆过点且与直线相切， 所以，平方整理得的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由得，且， 由在抛物线外部，所以​， 所以，则， 综上， 设切点，，而，则， 所以，，故且， 则为方程的两根，其中，则，， 在中，，，则， 所以，则到直线的距离， 所以，同理得， 所以，又，， 所以， 由，则 令，，则 ， 且 ， 由，故，即， 由 ， ， 设且，则 ，且，则，而， 此时 ， 所以，则​， 结合对勾函数的性质有，又时，， 所以，因此取值范围为. 19. 在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． （1）在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功的概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； （2）在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； （3）对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 【答案】（1） （2） （3）证明：令，则．易得当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 所以，，所以，所以， 所以， 所以， ， 即值不可能为负，当且仅当，即时取等． 【解析】 【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解； （2）利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解； （3）先利用导数证得不等式恒成立，从而结合定义即可得证． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ． 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 记 ， 则 ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则， 则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊市高考模拟考试 数学 2026.5 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设的内角所对的边分别为，若，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知边长为2的菱形满足，绕边所在的直线旋转，在旋转过程中三棱锥体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，函数，为奇函数，则（ ） A. 13 B. 24 C. 80 D. 240 6. 已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则( ) A. B. C. D. 7. 将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（ ） A 18 B. 24 C. 32 D. 36 8. 已知椭圆：，，为左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若随机变量，，，则 B. 若，则 C. 若随机变量，，则 D. 若回归直线方程为，，，则样本点处的残差为0.5 10. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．若正四面体的高为，则（ ） A. 该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4 B. 该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 该勒洛四面体表面上的长度为 D. 过，，三点的截面面积是 11. 已知数列满足，，则数列中的项可能为（ ） A. 1027 B. 2026 C. 80 D. 93 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 13. 已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 14. 如图，直线与函数，的图象相切于点，且，，，与轴的交点为，过作轴的垂线，垂足为，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 16. 如图，在三棱锥中，上一点，，，． （1）证明：线段上存在一点，使得平面平面； （2）若，，三棱锥的外接球的表面积为，求二面角的正弦值． 17. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 18. 已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 19. 在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． （1）在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； （2）在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； （3）对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $