精品解析：广东 江门市 新会区2025-2026学年第二学期义务教育质量检测九年级数学试题

2025-2026学年度第二学期义务教育质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或者钢笔将自己的准考证号码、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置涂填自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数与负数，利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：如果节约用水5吨记作吨，那么浪费水2吨，记作吨， 故选：C． 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 4. 截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：500万． 5. 计算：（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 6. 秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传染问题），解题的关键是理清每一轮传染的人数变化，建立正确的方程模型． 先确定初始人数为；第一轮传染后，新增人，总人数为；第二轮由人分别传染人，新增人，两轮后总人数为，根据题意该值为144，从而列出方程． 【详解】解：A、 ，该式只计算了两轮各新增人，未考虑第二轮的传染源是第一轮的所有患者，此选项不符合题意； B、，该式错误地将两轮新增人数记为，与实际传染人数变化不符，此选项不符合题意； C、，该式未计入初始的名患者，此选项不符合题意； D、，该式正确反映了初始人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数的总和，此选项符合题意． 故选：D． 7. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 8. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 9. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2， ∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则计算，再代入的特殊三角函数值，按照有理数运算法则计算即可． 【详解】解：． 12. 约分：______； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 14. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”，若二次函数的图象上有“二倍点”，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，由“二倍点”定义，满足，代入二次函数得方程，有“二倍点”即该方程有实数根，故判别式，且二次函数隐含． 【详解】解：根据题意得：“二倍点”均在直线上， 将代入，得， 整理得：， 判别式， ∵二次函数的图象上有“二倍点”， ∴，即， 解得：， 又∵二次函数， ∴， 故的取值范围是：且． 故答案为：且． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）计算：． 【答案】（1）不正确，不正确 （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法和公式求解即可判断； （2）利用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：甲同学：整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，； 乙同学：整理得， ， ， ∴， ∴，． 综上，甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 18. 如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【小问1详解】 解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校七年级开展“项目化学习社团活动”，共设置了四个类型，分别：A．文化探究类，B．绿色生态类，C．科创智造类，D．社会创新类，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计表： 项目 选择人数 频率 A．文化探究类 8 a B．绿色生态类 b 0.25 C．科创智造类 28 c D．社会创新类 24 0.3 （1）填空：________，_______； （2）若该学校七年级共有900名学生，那么估计选择“C．科创智造类”项目意向的学生有________人； （3）已知小明、小红两位同学从上述四个类型中随机抽取一项参与学习，请你用画树状图或列表的方法，求出这两位同学抽取的项目相同的概率． 【答案】（1）0.1，20 （2）315 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、统计表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）先用D的学生人数除以D的频率得出本次抽查的学生人数，用A的人数除以本次抽查的学生人数可得a的值；用本次抽查的学生人数乘以B的频率可得b的值； （2）根据用样本估计总体，用900乘以C所占的比例比，即可得出答案． （3）画树状图，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵人， ∴，， 故答案为：，20； 【小问2详解】 解：人， 故答案为：315； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，这两位同学抽取的项目相同的结果有4种， ∴这两位同学抽取的项目相同的概率． 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 21. 数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 【答案】两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米 【解析】 【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答． 【详解】解：小天组：由题意得， ∴， ∴，， ∴，， ∵米，米，米， ∴米， ∴，， ∴， ∴，即， ∴米； 小河组：由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：． 【答案】（1）①，；；②的最小值为； （2） 证明：二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图象上， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，有， 解得，， 二次函数图象与x轴的交点坐标为，； 当时，有， 二次函数图象与y轴的交点坐标为； ②点是二次函数图象上的点，且， ， ，， ， ， 的最小值为； 【小问2详解】 略 23. 中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接． （1）如图1，当为的角平分线时，若． ①求的值； ②连接，求证：． （2）如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 【答案】（1）①； ②证明：延长，使得，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），的最大值为 【解析】 【分析】（1）①由旋转的性质得，根据为的角平分线，得到，推出，利用，即可求解；②延长，使得，连接，易证四边形是平行四边形，推出是等腰直角三角形，再证明，得到，进而求出，即可得出结论； （2）过点B作于点M，则，设，则，求出，证明，推出，求出，，根据，得到，即可求出，再利用二次函数即分式的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：①由旋转的性质得， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：过点B作于点M，则， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，即时，有最小值，即有最大值， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，函数关系式及二次函数的性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期义务教育质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或者钢笔将自己的准考证号码、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置涂填自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 4. 截止到2025年11月，我国已经成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超过500万件的国家，PCT国际专利申请量连续6年位居全球第一．500万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算________． 12. 约分：______； 13. 不等式组的解集是________． 14. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”，若二次函数的图象上有“二倍点”，则a的取值范围是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）计算：． 17. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 18. 如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校七年级开展“项目化学习社团活动”，共设置了四个类型，分别：A．文化探究类，B．绿色生态类，C．科创智造类，D．社会创新类，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计表： 项目 选择人数 频率 A．文化探究类 8 a B．绿色生态类 b 0.25 C．科创智造类 28 c D．社会创新类 24 0.3 （1）填空：________，_______； （2）若该学校七年级共有900名学生，那么估计选择“C．科创智造类”项目意向的学生有________人； （3）已知小明、小红两位同学从上述四个类型中随机抽取一项参与学习，请你用画树状图或列表的方法，求出这两位同学抽取的项目相同的概率． 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 21. 数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 已知二次函数 （1）当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：． 23. 中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接． （1）如图1，当为的角平分线时，若． ①求的值； ②连接，求证：． （2）如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $