精品解析：广东省江门市新会区2024-2025学年下学期教学质量监测九年级一模数学卷

2024—2025学年度第二学期教学质量监测 九年级数学科试题卷 （说明：本试题必做题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卷作答，在试题卷作答无效！） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的结果是（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键；因此此题可根据有理数的减法法则进行求解 【详解】解： 故选：A ． 2. 下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用三角板度数求未知角的度数，熟记三角形外角的性质是解题关键． 先利用三角板的角度以及外角性质即可求得，进而得出结果． 【详解】解：如图所示，，，， ， ， ． 故选C． 5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查函数的图象，正确理解题意是解题关键．根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），水位不变，玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：由题意，水缸中的水开始不变，玩耍的孩童落入水缸中，水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，此时水位会迅速下降 由分析得：比较符合故事情节． 故选：C． 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴， 故选：D． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 相约新会3月14日电：3月13日，新会区三江镇2025年第一季度开工（竣工、投产）新项目5个，计划总投资额15.98亿元．将15.98亿用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将15.98亿用科学记数法表示应为； 故答案为 13. 设是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】2005 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解及代数式的值是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：2005． 14. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设每只雀重斤，每只燕重斤，根据“五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤， 由题意得． 故答案为：． 15. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：原式． 17. 已知，代数式：，，． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】（1） （2） 解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 18. 某校七年级开设了4个班的心理社团课，为了使课程开展更具专业性，外聘了“”4位心理学专业教师并随机地选择1个班任教，其中甲和乙同学参加了心理社团课，并且进行了随机分班． （1）“A教师任教甲同学”的概率是___________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有4位心理学专业教师，“A教师任教甲同学”有一种情况， 则“A教师任教甲同学”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有16个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有4种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 李老师为了奖励羽毛球社团课表现优异的孩子，想购买一定数量的羽毛球拍和简装羽毛球．羽毛球拍和筒装球的单价之和为440元，羽毛球拍的单价比筒装球的单价4倍多40元． （1）羽毛球拍和筒装球的单价各是多少元？ （2）已知李老师购买了10筒羽毛球，预支的费用为3000元，他最多可以购买几块羽毛球拍？ 【答案】（1）羽毛球拍和筒装球的单价分别是360元和80元； （2）最多可以购买6块羽毛球拍． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设羽毛球拍和筒装球的单价分别是x，y元，根据羽毛球拍和筒装球的单价之和为440元，羽毛球拍的单价比筒装球的单价4倍多40元即可建立方程组求解； （2）设最多可以购买a块羽毛球拍，根据购买了10筒羽毛球，预支的费用为3000元建立一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设羽毛球拍和筒装球的单价分别是x，y元，根据题意列出方程： 答：羽毛球拍和筒装球的单价分别是360元和80元； 【小问2详解】 解：设最多可以购买a块羽毛球拍， ． 答：最多可以购买6块羽毛球拍． 20. 如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）请在图中，作出半圆的圆心； （2）若，，，求的半径． 【答案】（1）如图所示，延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心， （2）3 【解析】 【分析】（1）延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，进而问题可求解； （2）分别过点C、D作，垂足分别为G、H，由题意易得是矩形，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点E、F在的垂直平分线上， ∴，， ∴点O为半圆的圆心； 【小问2详解】 解：分别过点C、D作，垂足分别为G、H，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定、平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，矩形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 【答案】（1）正方形；（2）． 【解析】 【分析】（1）由长方形的性质得，由折叠的性质得，，进而可证明四边形是正方形； （2）先证明和为等腰三角形，在中，求出，在Rt中，求出，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）四边形为正方形， ． ， ， ． 又沿着直线翻折到， ， ． 和为等腰三角形． 又四边形是长方形， ， ． 在中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数，如图2，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： ．．． 0 ．．． ．．． 3 2.92 ．．． （1）①___________，___________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标； ②排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（友情提示：到轴的距离大于9米） 【答案】（1）①2.82， 2.92；②； （2）①；②该运动员发球时没有踩线犯规． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）①根据对称性可求出n的值，求出函数解析式，代入可求出m的值； ②由①可得函数解析式； （2）①令求解即可； ②令求出x的值，与9比较大小即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∴． ， ． 把代入． ． ． 函数解析式：， 当时，． 故答案为： 2.82，2.92， ②由①知，； 【小问2详解】 解：①点在横轴上， ， ． （舍） 点的坐标． ② 当时， （舍）， 点到轴的距离为米 排球场地长为18米，左半场为9米， 说明该运动员发球时没有踩线犯规． 23. 综合与实践 如图1，在菱形中，分别是边上任意点，且． 【初步感知】 （1）若为的中点时，___________，___________，__________； 【深入探究】 （2）若设的长为，的面积为，请求出与之间的函数关系； 【拓展延伸】 （3）的面积记为的面积记为，直接写出的最小值． 【答案】（1）（2）（3）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形，得，，，，，，结合 ，得到等边，等边，根据等边三角形的性质，结合勾股定理解答即可． （2）仿照（1）解答即可． （3）根据菱形的面积，结合分割法表示的面积，表示，利用分离常数法，利用二次函数的最值，分式的性质解答即可． 【详解】（1）连接，∵菱形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴等边，等边， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， 过点F作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设的长为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得 ∵， ∴， ∴， ∴， 由的面积为， 故与之间的函数关系为． （3）解：根据（1）（2）的解答，得， ，， ∴， ∴ ， 令， 则，当t取得最大值时，取得最小值，就是取得最小值， ∵，且， ∴t有最大值， ∴当时，t取最大值，且为， ∴当时，取得最小值，且为，故的最小值为3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正弦函数的应用，三角形全等的判定和性质，分式的性质，二次函数的最值，熟练掌握性质，三角函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期教学质量监测 九年级数学科试题卷 （说明：本试题必做题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卷作答，在试题卷作答无效！） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的结果是（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 2. 下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 6. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 相约新会3月14日电：3月13日，新会区三江镇2025年第一季度开工（竣工、投产）新项目5个，计划总投资额15.98亿元．将15.98亿用科学记数法表示应为______． 13. 设是方程的一个实数根，则的值为______． 14. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ____________________． 15. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 已知，代数式：，，． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 18. 某校七年级开设了4个班的心理社团课，为了使课程开展更具专业性，外聘了“”4位心理学专业教师并随机地选择1个班任教，其中甲和乙同学参加了心理社团课，并且进行了随机分班． （1）“A教师任教甲同学”的概率是___________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 李老师为了奖励羽毛球社团课表现优异的孩子，想购买一定数量的羽毛球拍和简装羽毛球．羽毛球拍和筒装球的单价之和为440元，羽毛球拍的单价比筒装球的单价4倍多40元． （1）羽毛球拍和筒装球的单价各是多少元？ （2）已知李老师购买了10筒羽毛球，预支的费用为3000元，他最多可以购买几块羽毛球拍？ 20. 如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）请在图中，作出半圆的圆心； （2）若，，，求的半径． 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数，如图2，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： ．．． 0 ．．． ．．． 3 2.92 ．．． （1）①___________，___________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标； ②排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（友情提示：到轴的距离大于9米） 23. 综合与实践 如图1，在菱形中，分别是边上任意点，且． 【初步感知】 （1）若为的中点时，___________，___________，__________； 【深入探究】 （2）若设的长为，的面积为，请求出与之间的函数关系； 【拓展延伸】 （3）的面积记为的面积记为，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $