8.2概率初步课件——2026届高考数学二轮复习

专题八 概率统计 【新高考二轮复习专题】 专题8.2 概率初步 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 概率初步 古典概型概率统计 条件概率 正态分布 根据数据内容，求相应事件概率 依据事件概率，反求相应数据 给定内容，求相应条件概率 依据正态分布数据求相应概率 考点概览 20-25 年真题统计 具体考查方式 2023全国乙卷文第9题 给出比赛方案个数，求对应条件下的概率 2023全国甲卷文第4题 给出学生年级人数比例，求对应条件下的概率 2022上海卷第9题 给定项目总数，定义抽取规则，求相应事件的概率 2022全国乙卷文第14题 给定总人数，随机抽取，求相应事件的概率 2022全国乙卷理第13题 给定总人数，随机抽取，求相应事件的概率 2022全国甲卷理第15题 给定样本总数，求相应情况的概率 2021浙江卷第15题 通过概率求袋中不同同颜色球的个数，并求相应变量的期望 2021天津卷第14题 规定游戏规则，并给出获胜概率，求相应事件的概率 2021上海卷第10题 给出项目总数，求相应事件的概率 2021全国卷II理第10题 排列组合下的概率问题 2020天津卷第13题 给出事件概率，求相应事件的概率 考点一 古典概型概率统计 考频统计 20-25 年真题统计 具体考查方式 2020全国卷II文第4题 给出事件概率，反解相应概率下样本的个数 2020全国卷II理第4题 给出事件概率，反解相应概率下样本的个数 2020全国卷I文第4题 给出样本总数，求相应事件的概率 2023全国乙卷文第9题 给出比赛方案个数，求对应条件下的概率 2023全国甲卷文第4题 给出学生年级人数比例，求对应条件下的概率 2022上海卷第9题 给定项目总数，定义抽取规则，求相应事件的概率 2022全国乙卷文第14题 给定总人数，随机抽取，求相应事件的概率 2022全国乙卷理第13题 给定总人数，随机抽取，求相应事件的概率 2022全国甲卷理第15题 给定样本总数，求相应情况的概率 考点一 古典概型概率统计 考频统计 （1）古典概型的两个特点： ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. （2）古典概型的概率公式 ①在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是. ②对于古典概型，任何事件的概率为. 根据数据内容，求相应事件概率： 考点一 古典概型概率统计 知识点拨 古典概型的逆向求解，可以从以下几个方面入手： （1）认真分析题目，确定概率类型. （2）正确运用古典概型公式，注意公式的使用条件. （3）理解题意，关注易错点，更快地排除并筛选选项. 依据事件概率，反求相应数据： 考点一 古典概型概率统计 知识点拨 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 故选：B. 考点一 古典概型概率统计 重点题型 依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 考点一 古典概型概率统计 重点题型 从6张卡片中无放回抽取2张，共有 15种情况，其中数字之积为4的倍数的有 6种情况， 故概率为. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 考点一 古典概型概率统计 重点题型 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 考点一 古典概型概率统计 重点题型 设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 考点一 古典概型概率统计 重点题型 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 考点一 古典概型概率统计 重点题型 从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为_________. 考点一 古典概型概率统计 重点题型 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为： ，，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 考点一 古典概型概率统计 重点题型 解题通法 根据数据内容，求相应事件概率关注以下易错点： 1. 组合重复‌：计算组合数时，可能会重复计算某些情况，导致结果不准确‌. 2. 算法缺陷‌：处理某些问题时，算法可能存在缺陷，导致结果错误‌. 3. 排序问题‌：处理排列组合问题时，可能会对排序问题处理不当，导致结果错误‌. 4. 球盒模型‌：球盒模型中，可能会忽略某些情况，导致结果不全面‌． 5. 混排问题‌：处理混排问题时，可能会对元素排列顺序处理不当，导致结果错误.‌ 考点一 古典概型概率统计 归纳总结 解题通法 依据事件概率，反求相应数据，可以从以下几个方面入手： 1. 需做到正确处理古典概型问题，以便于逆向求解. 2. 认真读题，分析题目，探究内在的逻辑、机理，结合实际情况，进行判断和研究. 3. 关注易错点，实时避坑. 考点一 古典概型概率统计 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025天津卷第13题 给出跑圈的概率，求相应的概率与期望 2024天津卷第13题 给出实践活动项目，求选择相应项目的概率 2023全国甲卷理第6题 给出学生的爱好比例，求相应的条件概率 2022天津卷第13题 给定抽取规则，求相应的条件概率 考点二 条件概率 考频统计 1. 定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2. 乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若，则，该式为概率的乘法公式. 解决条件概率问题，注意以下内容 考点二 条件概率 知识点拨 同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选：A. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 考点二 条件概率 重点题型 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：；. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为_________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为_________. 考点二 条件概率 重点题型 由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C， 则. 故答案为：；. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为_______；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为_________. 考点二 条件概率 重点题型 设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 若至少跑11圈为运动量达标为事件， ， 所以，；故答案为：； 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为______；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望______. 考点二 条件概率 重点题型 解题通法 解决条件概率题目，需关注以下易错点： 1. 混淆条件概率与无条件概率‌：条件概率是在某个特定条件下，某一事件发生的概率，记作P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率.而无条件概率则是不考虑任何前提条件，某一事件发生的概率. 2. ‌样本空间的压缩理解不足‌：条件概率的一个关键特点是它会压缩样本空间. 在给定条件的情况下，样本空间会发生变化，其他事件的成立都是以此条件为基础的. 考点二 条件概率 归纳总结 解题通法 解决条件概率题目，需关注以下易错点： 3.对条件概率公式的理解不透彻‌：条件概率的公式是，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率. 考点二 条件概率 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025天津卷第5题 根据正态分布以及相关系数的概念判断选项 2024新高考I卷第9题 给定样本均值、方差及正态分布的数据，比较相应变量概率的大小 2022新高考II卷第13题 给定正态分布数据，求相应的概率 2021新高考II卷第6题 给定正态分布数据，判断相应事件概率的大小 考点三 正态分布 考频统计 理解正态分布 1. 正态分布一般记为，由均值和标准差决定的分布. 2. 正态分布曲线图的特点： ①曲线在x轴上方，与x轴不相交，且关于直线对称； ②曲线于x轴之间的面积为1； ③当时，曲线位于最高点；当时，曲线上升（增函数）；当时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近； ④一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“高”，总体分布越集中； ⑤正态分布的常用三个数据： ， ， . 考点三 正态分布 知识点拨 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 考点三 正态分布 重点题型 依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 考点三 正态分布 重点题型 因为，所以，因此． 故答案为：． 已知随机变量X服从正态分布，且，则_________． 考点三 正态分布 重点题型 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 考点三 正态分布 重点题型 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 考点三 正态分布 重点题型 下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 对于A，根据正态分布对称性可知， ，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强， 故C和D说法正确. 故选：B 考点三 正态分布 重点题型 解题通法 正态分布还需注意以下内容： 1. 对正态分布特性的理解不足‌：正态分布曲线是单峰的，关于直线对称， 且在处达到峰值. 如果对这一特性理解不深，可能会误判数据的集中趋势或离散程度‌. 2. 对正态分布参数和的混淆‌：是正态分布的期望，代表数据的中心位置； 是正态分布的标准差，代表数据的离散程度. 考点三 正态分布 归纳总结 $