8.1统计初步 课件——2026届高考数学二轮复习

专题八 概率统计 【新高考二轮复习专题】 专题8.1 统计初步 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 统计初步 数据的数字特征 概率分布直方图 相关性相关系数 根据统计图表，求相应的数字特征 数据数字特征的应用 根据频率分布直方图求相关参数 根据散点图解决相关系数问题 考点概览 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025全国二卷第1题 求样本平均数 2024新高考II卷第4题 根据表格所给数据，求相应的中位数、极差、平均数 2023新高考I卷第9题 给一组样本数据，求删除首个数据后的平均数、中位数、标准差、极差 2022全国乙卷文第4题 给定茎叶图，求样本中位数、平均数、概率估计值 2022全国甲卷文第2题 给定图，求解数据的中位数、平均数、标准差、极差 2022全国甲卷理第2题 给定图，求解数据的中位数、平均数、标准差、极差 2021新高考II卷第9题 判断样本的中位数、平均数、标准差、极差与样本离散程度的关系 2021新高考I卷第9题 依据两组样本数据的关系，判断两组数据的平均数、中位数、标准差、极差的关系 2020全国卷III文第3题 给定一组数据方差，求另一组相关数据的方差 2020全国卷III理第3题 给定数据频率，求对应样本的最大标准差 考点一 数据的数字特征 考频统计 求数据的数字特征，要正确应用公式： 考点一 数据的数字特征 样本数据：. 1．中位数：. 2．平均数：. 3．方差：. 4．标准差：. 5．极差：极差. 知识点拨 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表： 考点一 数据的数字特征 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） 100块稻田亩产量的中位数小于1050 100块稻田中亩产量低于1100的稻田所占比例超过80% 100块稻田亩产量的极差介于200至300之间 100块稻田亩产量的平均值介于900至1000之间 亩产量 [900,950) [950,1000) [1000,1050) 频数 6 12 18 亩产量 [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 频数 30 24 10 重点题型 考点一 数据的数字特征 对于A， 根据频数分布表可知， ， 所以亩产量的中位数不小于 ， 故A错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为， 最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为 ，故D错误. 故选；C. 重点题型 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）， 得如下茎叶图： 考点一 数据的数字特征 则下列结论中错误的是（    ） A．甲同学周课外体育运动时长的 样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的 样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 重点题型 考点一 数据的数字特征 对于A，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为， A选项结论正确. 对于B，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： ，B选项结论正确. 对于C，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值 ，C选项结论错误. 对于D，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值 ，D选项结论正确. 故选：C. 重点题型 考点一 数据的数字特征 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率 的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率 的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 重点题型 对于A，讲座前中位数为，所以错； 对于B，讲座后问卷答题的正确率只有一个是个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以B对； 对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错； 对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错. 故选：B. 考点一 数据的数字特征 重点题型 对于A：且，故平均数不相同，错误； 对于B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为， 显然不相同，错误； 对于C：，故方差相同，正确； 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 考点一 数据的数字特征 重点题型 对于D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差 为，故极差相同，正确； 故选：CD. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 考点一 数据的数字特征 重点题型 ∵数据的平均数为4. ∴，即. 故答案为：2. 已知一组数据的平均数为4，则的值是 . 考点一 数据的数字特征 重点题型 样本数据的平均数为. 故选：C. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 考点一 数据的数字特征 重点题型 解题通法 求数据的数字特征可以从以下方面入手： 1. 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度. 2. 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势. 3. 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度． 4. 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势． 5. 解题时，充分考虑数据数字特征的作用，以便于更好地解决问题. 考点一 数据的数字特征 归纳总结 解题通法 数据数字特征的应用可以从以下几个方面入手： 1. 关注数字特征的实际意义. 2. 观察图表，做到数形结合，快速解答. 考点一 数据的数字特征 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2022天津卷第4题 根据频率分布直方图，判断相应区间内数据的个数 2021天津卷第4题 根据频率分布直方图，判断相应区间内数据的个数 2021全国卷II文第2题 根据频率分布直方图，计算数据比率和平均值 2021全国卷II理第2题 根据频率分布直方图，计算数据比率和平均值 2020天津卷第4题 根据频率分布直方图，判断相应区间内数据的个数 考点二 频率分布直方图 考频统计 1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示， 频率. 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中 组距是一个固定值，所以各小长方形高的比就是频率比. 3．频率分布表与频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确， 后者直观. 频率分布直方图 考点二 频率分布直方图 知识点拨 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按 从左到右的顺序分别编号为第一组，第二 组，…，第五组，右图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二 组共有20人，第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为（    ） 考点二 频率分布直方图 A．8 B．12 C．16 D．18 重点题型 志愿者的总人数为＝50， 所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 考点二 频率分布直方图 重点题型 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） 考点二 频率分布直方图 A． B． C． D． 由频率分布直方图可知，评分在 区间内的影视作品数量 为. 故选：D. 重点题型 根据此频率分布直方 图，下面结论中不正 确的是（    ） A．该地农户家庭 年收入低于4.5万元 的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 考点二 频率分布直方图 重点题型 因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ，故A正确； 对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为，故B正确； 对于C，该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元)，超过6.5万元，故C错误. 考点二 频率分布直方图 重点题型 对于D，该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为，故D正确； 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 考点二 频率分布直方图 重点题型 解题通法 解答频率分布直方图题目注意： 1．纵坐标的理解错误‌：在频率分布直方图中，纵坐标表示的是频率除以组距的值，而不是频率本身. 2．组距和频率的理解混淆‌：组距是数据分组后每一组的范围，而频率是某一组内的数据点数占总数据点数的比例. 3．矩形面积与频率的关系‌：在频率分布直方图中，每个小矩形的面积代表该组的频率. 考点二 频率分布直方图 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2024天津卷第3题 根据散点图，判断相关性系数的大小 2024上海卷第13题 给定变量间相关系数的正负，判断变量间的相关关系 2023上海卷第14题 给定身高与体重的散点图，判断两者间的相关关系 2020全国卷I文第5题 根据散点图，判断回归方程的类型 2020全国卷I理第5题 根据散点图，判断回归方程的类型 考点三 相关性相关系数 考频统计 1．正相关‌：当一个变量的值增加时，另一个变量的值也增加；反之亦然. 2．负相关‌：当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少；反之亦然‌. 3．线性相关‌：当两个变量的关系大致呈现为线性关系时，称为线性相关. 4．非线性相关‌：当两个变量的关系不是直线关系，而是近似于某种曲线方程 时，称为非线性相关‌. 理解相关性相关系数的类型 考点三 相关性相关系数 知识点拨 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） 考点三 相关性相关系数 重点题型 观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 考点三 相关性相关系数 重点题型 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） 考点三 相关性相关系数 A．花瓣长度和花萼长度不存在 相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢 尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 重点题型 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 考点三 相关性相关系数 重点题型 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B．C． D． 考点三 相关性相关系数 重点题型 由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是 . 故选：D. 考点三 相关性相关系数 重点题型 解题通法 相关性相关系数问题注意内容： 1．混淆相关关系的类型‌：变量间的相关关系可以分为完全相关、不完全相关和不相关，正相关和负相关，以及线性相关和非线性相关. 2．错误理解相关系数‌：相关系数只能反映两个变量之间的线性关系，而不能反映非线性关系. 3．误用散点图‌：散点图是判断变量间相关性的常用工具，但如果散点图中的点散布不均匀或不符合线性关系，直接进行线性回归分析可能会导致错误的结论‌. 考点三 相关性相关系数 归纳总结 博学深思 未来可期 $