精品解析：重庆市潼南区初中学校联考2025-2026学年九年级下学期第一次联合测试数学试题

2023级九年级下期第一次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】的倒数是， 故选A． 【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2. 下列轴对称图形中，只有条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的定义，根据对称轴的定义判断即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：第一个图有条对称轴，第二个图有条对称轴，第三个图有条对称轴，第四个图有条对称轴， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除，同类项的概念与合并规则，积的乘方运算法则，掌握整式的幂运算法则是解题关键． 根据整式的幂运算及同类项运算规则对选项依次判断即可． 【详解】解：∵，∴正确； ∵，∴错误； ∵，∴错误； ∵，∴错误． 故选：． 4. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 【答案】B 【解析】 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误． ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确． ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误． ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误． 5. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵函数图象位于第一象限， ∴． 故选：A． 6. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：点，，是上的三点，， ． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将缩小为原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于位似变换的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标乘以或是解题的关键．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点的坐标是，点位于第一象限， 点的横坐标是，纵坐标是，即． 故选：． 8. 渝你相约，欢喜过年！重庆某特色民宿有三人间和两人间两种客房，三人间每人每天35元，两人间每人每天45元．一个50人的旅游团入住，租住的客房全部住满，一天共付住宿费2010元．设三人间租了间，两人间租了间，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据总入住人数为50人，总住宿费为2010元，结合所设未知数推导方程组即可． 【详解】解：设三人间租了间，两人间租了间， ∵每间三人间住3人，每间两人间住2人，总人数为50人且客房全部住满， ∴可得第一个方程：， ∵三人间每人每天35元，两人间每人每天45元， ∴1间三人间一天的费用为元， 1间两人间一天的费用为元， 又∵一天总住宿费为2010元， ∴可得第二个方程：， 因此方程组为． 9. 如图，在正方形中，为上一动点，连接，点与关于直线对称，连接，，并延长交于点．连接，，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作于，设,根据条件可以表示出正方形的边长，然后根据正方形性质和折叠性质，可证明可得等于正方形的边长，进而可证，，可得，，再设，利用三边关系列出方程，求出即可求解此题。 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： ， 和都是直角三角形， ， 设，则， ， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 点与关于直线对称， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， 设，则， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在 中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键． 10. 已知整式，其中，且均为整数，为正整数．则下列说法： 若，，则满足条件的整式A共有2个； 若，则满足条件的整式共有9个； 若，，且当为任意实数时，整式的值都是正数，则满足条件的整式共有6个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据题目给定的整式系数条件，对每个说法按条件分类讨论列举，结合二次函数恒正的判别式性质，逐个判断说法正误即可． 【详解】解：逐个判断三个说法： 当，时，，则， ，且均为整数， 仅存在这1组满足条件，故满足条件的整式共1个，错误； 当，均为整数，为正整数，分类讨论： 当（2项），共有，共4个； 当（3项），共有，共4个； 当（4项），只有，共1个； 时，最小系数和为，无满足条件的整式； 总共有个，正确； 当，时，，，均为整数，恒为正， ， 恒正等价于判别式， 按分类列举： 当，，，得， 其中的有，，，共3个； 当，，得 ， 两组，均满足，共2个； 当，，得 ，即，满足，共1个； 时，最小和为，无满足条件的； 总共有个，正确； 综上，正确的说法共2个，故选C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此求解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，直线，等腰三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为__________． 【答案】##29度 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 13. 甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取1名同学，则抽到女生的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用女生的人数除以总人数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有4名学生，其中有3名女生，且每名学生被抽到的概率相同， ∴从这4名同学中随机抽取1名同学，抽到女生的概率为， 故答案为：． 14. 若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【解析】 【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可， 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，的长度是________；连接，则弦的长度是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，证明，求出得到的长度，根据勾股定理求出，过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，勾股定理求出的长，利用面积求出 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 16. 对于一个四位自然数，若它的个位数字与百位数字之和等于它的十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“和倍数”．令，规定：．例如：，因为，所以4725是“和倍数”，，．已知四位自然数是“和倍数”，且，则的值为______；若四位自然数是“和倍数”，是整数，且，则所有满足条件的之和为______． 【答案】 ①. 2 ②. 4587 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，整式的加减，列代数式，不等式的性质．第一问：根据“和倍数”定义写出个位与百位、十位与千位的关系等式；计算N的值，并写出N与前两位、后两位的关系等式，联立两个等式消去，解出a的值即可；第二问：根据“和倍数”定义写出个位与百位、十位与千位的关系等式，化简的表达式，将代入条1，通过模运算确定z的值，将z和代入条件2，化简得到y关于x的表达式，结合x、y、w的取值范围，试值求出所有满足条件的P，并计算它们的和． 【详解】解：四位自然数是“和倍数”， ∴①． ， ∵， ∴， ∴，即②． 将①代入②得，化简得， 解得． 故答案为：2； 四位自然数是“和倍数”，故③． ， 将③代入得④． 条件1：是整数， 将④代入得为整数，故能被7整除． 结合，得． 将代入④得⑤． 条件2：，将和⑤代入得， 化简得． 结合，， 试值得：时，，由③得，故； 时，，由③得，故； 时，，由③得，不符合要求，舍去； 时，，由③得，不符合要求，舍去； 综上，所有满足条件的之和为， 故答案为：4587． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作的平分线，其中交于即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到根据等角的补角相等可得，，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵ ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 【答案】（1） （2）七年级学生的竞赛成绩好，理由见解析 （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算，众数作决策，样本百分比估算总体数量的方法是关键． （1）根据众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算方法求解即可； （2）根据众数，满分率作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的竞赛成绩分数出现次数最多的是92， ∴， 八年级20名学生竞赛成绩在A组的人数为， 在B组的人数有4人，中位数是第10个和11个数据的平均数，即 ， ，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：七年级学生的竞赛成绩好，理由如下， 七年级学生的竞赛成绩的众数大于八年级学生的竞赛成绩的众数，七年级学生的满分率大于八年级学生的满分率， ∴七年级学生的知识竞赛成绩好； 【小问3详解】 解：（人）， 即七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则． 是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 21. 年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． （1）该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ （2）经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】（1）该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）该智慧大棚全年总销售额为元． 【解析】 【分析】（）设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个，然后列出方程，再解方程即可； （）设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元，根据题意得 ，然后解方程并检验，再结合第一问的产量计算总销售额即可． 【小问1详解】 解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； 【小问2详解】 解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）； （2） 如图所示函数图象即为所求 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，勾股定理，画函数图象得到，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用勾股定理可得，则可得到，由平行线的性质可得，再解求出和的长，进而确定点P在和上的运动时长，再分点P在和上两种情况分别求出，即可得到，根据题意可得的长，再利用三角形面积公式可得的长，据此可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）求出的交点横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，， ∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图2所示，当时，则此时有， ∴， ∴； ∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立得：，解得（已检验）或（舍去）， 联立得，解得（已检验）或（舍去）， ∴由函数图象可知当时x的取值范围为． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． （3）在（2）中取最大值的条件下，连接．将原抛物线沿射线方平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧），在新抛物线上存在点，使得．请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为，且过点，得和，求解即可； （2）延长交轴于点，先求出，，则可求出，通过证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，，可得，利用二次函数的图象与性质得出当时，取得最大值，此时，将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度，求出，由平移得，由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值，求解即可； （3）沿射线方平移个单位长度，可知相当于水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度，可得新抛物的解析式为，联立，得出，再求得， ∵，分两种情况：①当点在直线上方时，此时点为，过点作轴交于点，过点作轴于交于点，得出，则，设，则可得，，列式求解即可；②当点在直线下方时，此时点为，过点作轴交轴于点，过点作轴交于点， 同①方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点， 令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时，， 则， ∵， ∴， 如图，过点作轴，过点作轴交于， ∴， ∴， 将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度， ∴，即， 由平移得， ∴， 由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：沿射线方平移个单位长度，同（2）的方法，可知相当于水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度， 则新抛物的解析式为， 联立， 解得：，， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， 如图，当点在直线上方时，此时点为，过点作轴交于点，过点作轴于交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍），， 当时，， ∴； 如图，当点在直线下方时，此时点为，过点作轴交轴于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍），， 当时，， ∴； 综上所示，或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，坐标中的平移，轴对称的性质，三角函数，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 24. 在中，． （1）如图1，为上一点，，，，求的面积； （2）如图2，为上一点，，为延长线上一点，连接并延长至，使得，连接，过作交延长线于，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，，为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过A作于E，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，进而可得，然后解直角三角形求解，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于H，在射线上截取，连接，根据三角形的中位线性质得到，，进而推出，从而证明得到，，可推出，进而可得结果； （3）以为直角边作等腰三角形，，，证明四边形是平行四边形得到，证明得到，由，当F、C、G共线时取等号，进而可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 的面积为； 【小问2详解】 解：． 理由：如图2，延长交于，在射线上截取，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，以为直角边作等腰三角形，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 由旋转和折叠性质得，，， ，， ，， ， ， ， ， ，当、、共线时取等号， 的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、折叠与旋转性质、三角形的三边关系等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，构造相似三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九年级下期第一次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列轴对称图形中，只有条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 5. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将缩小为原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 渝你相约，欢喜过年！重庆某特色民宿有三人间和两人间两种客房，三人间每人每天35元，两人间每人每天45元．一个50人的旅游团入住，租住的客房全部住满，一天共付住宿费2010元．设三人间租了间，两人间租了间，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上一动点，连接，点与关于直线对称，连接，，并延长交于点．连接，，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知整式，其中，且均为整数，为正整数．则下列说法： 若，，则满足条件的整式A共有2个； 若，则满足条件的整式共有9个； 若，，且当为任意实数时，整式的值都是正数，则满足条件的整式共有6个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 如图，直线，等腰三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为__________． 13. 甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取1名同学，则抽到女生的概率为_______． 14. 若实数同时满足，则的值为___________． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，的长度是________；连接，则弦的长度是________． 16. 对于一个四位自然数，若它的个位数字与百位数字之和等于它的十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“和倍数”．令，规定：．例如：，因为，所以4725是“和倍数”，，．已知四位自然数是“和倍数”，且，则的值为______；若四位自然数是“和倍数”，是整数，且，则所有满足条件的之和为______． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． （1）该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ （2）经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 22. 如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． （3）在（2）中取最大值的条件下，连接．将原抛物线沿射线方平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧），在新抛物线上存在点，使得．请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 24. 在中，． （1）如图1，为上一点，，，，求的面积； （2）如图2，为上一点，，为延长线上一点，连接并延长至，使得，连接，过作交延长线于，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，，为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $