7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版 选择性必修 第三册 7.3.1离散型随机变量的均值 第七章 随机变量及其分布 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，我们称X取每一个值xi的概率 为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列. 1. 离散型随机变量的分布列 2. 离散型随机变量的分布列的性质 知识回顾 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会求离散型随机变量的均值； 2.掌握两点分布的均值； 3.能够利用离散型随机变量的均值,解决一些相关问题. 学习目标 自学指导 阅读课本62--64页，完成以下问题： 问题1 两点分布的均值。 问题2 离散型随机变量的均值。 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，我们可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 问题 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 教师点拨 离散型随机变量的均值 练习 已知Y的分布列为 D 小组互助 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 小组互助 变式1 在两点分布中,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则E(X)=　　　　.  0.6 小组互助 小组互助 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值. 思考 随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 探究 如果X是一个离散型随机变量，则E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? E(X＋b)=E(X)＋b. X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 A 小组互助 例3 已知随机变量X的分布列如下表: (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y). 小组互助 变式2 已知随机变量X的分布列为 B 小组互助 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2). X的可能取值为0，1000，3000，6000，则 例4 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 小组互助 变式3 甲、乙等6个单位参加一次庆祝国庆演出活动,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求: (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与均值. 小组互助 例5 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢? 小组互助 变式4 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分期付款期数X的分布列为 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A“购买该商品的3名顾客中,至少有1名采用1期付款”的概率P(A); (2)求Y的分布列及均值E(Y). X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 小组互助 3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义. 由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好. 小组互助 巩固练习1 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润为X. (1)求X的分布列; (2)求生产1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 小组互助 巩固练习2 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率; (2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的均值. 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则 课后反思 Y -1 0 1 2 P 则Y的均值为(　　) A.0 B.-1 C. D. 练习 随机变量X的分布列如下表所示,则E(5X+4)等于(　　) X -2 -1 0 1 2 P m X -1 0 1 P m 若Y=aX+3,E(Y)=,则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 $