10.3.1实际问题与二元一次方程组——和差倍分问题 导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

10.3.1实际问题与二元一次方程组 和差倍分问题 一、复习回顾 1.解下列方程组 2x-3y=16 3x+2y=11 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一：审题，弄清题意及题目中的数量关系： ：设未知数，可直接设元，也可间接设元： 三：根据题目中的等量关系，列出方程（组）： 四：解所列方程（组），求出未知数的值： 五：检验解是否是方程（组）的解，是否符合题意： 六：写出答案（包括单位名称）， 二、课堂探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲 料675kg:一周后又购进12头大牛和5头小牛，这 时一天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每头大 牛1天约需饲料18~20kg,每头小牛1天约需饲料 7~8kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg 和ykg。根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列 方程组 解这个方程组，得 V= 答：每头大牛1天约需饲料20kg,每头小牛1天 约需饲料5kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计 ,对小牛的食量估计 三、典例讲解 例1.为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A 车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费 50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能 灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的 售价各是多少元？ 例2.学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》 和《水浒传》供学生借阅.第一次买了2套《西游记》 和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西 游记》和2套《水浒传》，共花费178元.每套《西游 记》和《水浒传》的价格分别是多少元？ 例3.某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量 都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运 费的总和由7020元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处 理费的收费标准由240元/t上调为300元/t,建筑垃圾 清运费的收费标准由150元/t上调为180元/t.这家公 司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 四、课堂检测 1.《九章算术》中有一道方程的应用题：“五只雀，六 只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一 样重.问每只雀、燕的重量各为多少？“若设雀每只x两， 燕每只y两，则可列出方程组为() 5x+6y=16 5x+6y=16 B. 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 6x+5y=16 6x+5y=16 C. D. 6x+y=5y+x 5x+y=4y+x 2.随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购 买头盔以保证骑行安全.某商店购进A种头盔40个和B 种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种 头盔的单价高8元.设A种头盔的单价为x元，B种头 盔的单价为y元，根据题意，可列方程组() [50x+40y=5450「50x+40y=5450 x-y=8 B. x+y=8 [40x+50y=5450 「40x+50y=5450 x-y=8 D. x+y=8 3.我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空；二人共车，八人步.问：人 与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3 人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车， 那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设 有x辆车，有y个人，根据题意可列方程组为() [3(x+2)=y 3(x-2)=y A. B. 2x=y+8 2x=y+8 3(x+2)=y 3(x-2)=y D. 2x=y-8 2x=y-8 4.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等：但绫 三尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各几何？” 意思是：7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同，3尺 绫类丝绸和5尺罗类丝绸的价格一共280文，问这两类 丝绸每尺的价格各是多少文？设绫每尺价x文，罗每尺 价y文，根据条件可列方程组是() 7x=9y [7y=9x A. B. 3x=280+5y 5y=280+3x [7x=9y 「7y=9x 3x+5y=280 D. 3x+5y=280 5.第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中 国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青 少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备， 已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双 滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪 鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元.根据题意 列方程组正确的是() x+2y=120 2x+y=120 A. B. 3x=6y 3x=6y x+2y=120「2x+y=120 C. D 6x=3y 6x=3y 6.为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆 布袋作为奖品.已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需 48元：购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元. (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都 买，钱恰好用完)，则共有几种购买方案？写出所有方 案. 10.3.1 实际问题与二元一次方程组 ——和差倍分问题 一、复习回顾 1.解下列方程组 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一 ：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 二 ：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 三 ：根据题目中的等量关系，列出方程(组)； 四 ：解所列方程(组)，求出未知数的值； 五 ：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意； 六 ：写出答案(包括单位名称). 二、课堂探究 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组 解这个方程组，得 答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计_______，对小牛的食量估计______. 三、典例讲解 例1．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 【答案】1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元 【分析】本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解． 【详解】解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元． 例2．学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅．第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？ 【答案】每套《西游记》元，每套《水浒传》元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据每次购买花费的钱数得到等量关系列出方程组求解．设每套《西游记》元，每套《水浒传》元，然后找出两个等量关系：2套《西游记》的钱数套《水浒传》的钱数元；4套《西游记》的钱数套《水浒传》的钱数元；根据这两个等量关系可列出方程组，解方程组即可； 【详解】解：设每套《西游记》元，每套《水浒传》元， 由题意得，， 解得：， 答：每套《西游记》元，每套《水浒传》元． 例3．某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元上调为300元，建筑垃圾清运费的收费标准由150元上调为180元．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 【答案】该公司去年的餐厨垃圾8吨，建筑垃圾34吨． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目蕴含的等量关系是解决本题的关键；根据题意可得等量关系：餐厨垃圾处理费的单价吨数建筑垃圾处理费单价建筑垃圾吨数总费用；设该公司去年的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，接下来根据等量关系列出方程组，然后用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：设该公司去年的餐厨垃圾有x吨，建筑垃圾有y吨， 根据题意，得 解得：， 答：该公司去年的餐厨垃圾8吨，建筑垃圾34吨． 四、课堂检测 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 2．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】解：根据题意列方程组得． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设有辆车，个人． ∵每3人坐一辆车，有2辆空车，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴． ∵每2人坐一辆车，有8人步行，总人数减去步行的8人等于坐车的总人数， ∴整理得． 联立得方程组， 故选D． 4．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”意思是：尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格相同，尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格一共文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设绫每尺价文，罗每尺价文，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设绫每尺价文，罗每尺价文， 根据题意得， 所以选项符合题意． 5．第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元． 由题意得，． 6．为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 【答案】(1)笔记本单价8元，帆布袋单价20元 (2)共有4种方案：方案一：笔记本20本，帆布袋2个；方案二：笔记本15本，帆布袋4个；方案三：笔记本10本，帆布袋6个；方案四：笔记本5本，帆布袋8个 【分析】（1）设笔记本单价为元，帆布袋单价为元，根据购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元列方程组求解即可； （2）设购买笔记本本，帆布袋个（，为正整数），根据用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完）列二元一次方程，取其正整数解即可． 【详解】（1）解：设笔记本单价为元，帆布袋单价为元， ， 解得， 答：笔记本单价8元，帆布袋单价20元 （2）解：设购买笔记本本，帆布袋个（，为正整数）， ， 化简：， ∵，为正整数， ∴；；；． 则共有4种方案： 方案一：笔记本20本，帆布袋2个； 方案二：笔记本15本，帆布袋4个； 方案三：笔记本10本，帆布袋6个； 方案四：笔记本5本，帆布袋8个． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3.1 实际问题与二元一次方程组 ——和差倍分问题 一、复习回顾 1.解下列方程组 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一 ：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 二 ：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 三 ：根据题目中的等量关系，列出方程(组)； 四 ：解所列方程(组)，求出未知数的值； 五 ：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意； 六 ：写出答案(包括单位名称). 二、课堂探究 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组 解这个方程组，得 答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计_______，对小牛的食量估计______. 三、典例讲解 例1．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 例2．学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅．第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？ 例3． 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元上调为300元，建筑垃圾清运费的收费标准由150元上调为180元．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 四、课堂检测 1．《九章算术》中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A．B． C．D． 2．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（   ） A．B． C．D．． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”意思是：尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格相同，尺绫类丝绸和尺罗类丝绸的价格一共文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（  ） A． B． C． D． 5．第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（   ） A．B． C．D．． 6．为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $