微拓展 分组分配问题9种常见考法归类讲义（54题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 分组分配问题9种常见考法归类（54题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 分组问题 考点二 平均分配问题 考点三 部分平均分配问题 考点四 非均匀分配问题 考点五 分组情况多类的分配问题 考点六 有限制的分配问题 考点七 相同元素分配问题 考点八 与条件概率的综合 考点九 综合应用 1定向分配问题 引例1：将个不同元素按照某种条件分配给个不同的对象,,各个对象分配的数量依次为,且,则不同的分配方法数为 证明：给个不同的对象依次分配个不同元素,由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法为种. 注：给个对象分别分配,个元素,由于分配与顺序有关,与他们之间所分配的元素个数是否相等无关,故可从排列入手.对于这些分配对象,与分配的先后顺序无关,只要全部分配.事实上, .即个不同元素全排列有,分给对象的个不同元素的排列为,但其组合只有一个,…通过消去顺序得到 将个不同元素按照某种条件定向分配给个不同的对象且每个对象分配数量确定,这类问题称为定向分配问题.按照不同对象分配到的元素数量是否相等进行分类:若每个对象的数量均不相等、均相等、部分相等,分别称为完全非均匀、完全均匀、部分均匀.因此,定向分配可分为完全非均匀分配,完全均匀分配,部分均匀分配三类. 由上可知,定向分配可根据要求每次分给一个对象,逐步到位.也可先分组后排列,这就需要研究分组问题. 2分组问题 (1)完全非均匀分组 完全非均匀分组是将所有不同元素按照一定的要求分成元素个数互不相等的组的一种分组方式. 引例2：将个不同元素分成组,每组元素个数分别是,且,互不相等,,则不同的分组数是. 证明：记满足条件的分组数为,再将各组的元素按照引例2的方式分配,则个,个,个的那组元素分别只能给,,则组合与排列构建了一一对应关系,即其分配方式为1种,由分步乘法计数原理得.得. 注：对于每一种完全非均匀分组,每组内的元素之间不存在先后次序关系,组与组之间也无先后顺序.考虑到完全非均匀分组与完全非均匀分配的一一对应关系,完全非均匀分组等同于完全非均匀分配. (2)部分均匀分组 部分均匀分组是将所有元素按照一定的要求分成部分组元素个数相等的分组. 引例3：将个不同元素分成组,每组元素个数分别是,共有个不同的数,其组内元素个数为,的组数分别为,且,则不同的分组数是. 证明：记满足条件的分组数为,再将各组的元素按照引例3的方式进行分配,第一步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为!,第二步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为,第步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为 由分步乘法计数原理得 得 注：对于“部分均匀分组”问题,只需考虑由于部分均匀分组中的无序与组合数相乘中产生的顺序而导致的重复问题.先按“完全非均匀分组”列式再除以各等分组的组数的阶乘.当时,它就是完全非均匀分组;当时,它就是完全均匀分组. 分组问题即只需按要求将元素分成若干组即可, 这些组与顺序无关, 对于一个已经分好的若干组, 交换各组的位置仍为同一种分组; 分配问题就是要将所给的元素按要求分给具体的对象. 分组问题与分配问题的最大区别:分组问题无分配目标，分配问题有分配目标. 分组问题与分配问题的联系是:解决复杂的分配问题时, 可以先分组, 再分配, 分两步走. 对于计数问题，我们要做什么事情？如何完成? 在此过程中用到哪些原理、方法及计算公式. 处理的基本思想和原则是合理分类, 准确分步, 遵循先选后排原则. 3.分组、分配常见问题： （1）分组问题 分组问题的核心是判断“各组是否有区别”和“每组元素个数是否相同”,据此可分为“无区别分组(均匀与非均匀)”和“有区别分组(均匀与非均匀)”两类.其中，“均匀分组”是指各组元素个数完全相同，“非均匀分组”是指各组元素个数不完全相同. ①无区别分组一一组与组之间无明确标识 无区别分组的核心逻辑是“组的无序性”——备组没有专属标识,此时交换组的顺序不会产生新的分组结果.基于此,我们可得出关键结论:若为均匀分组(各组元素个数相同),分步选取时会引入“组的顺序差异”,导致重复计数,必须通过除法排除;若为非均匀分组(各组元素个数不同),每组的“元素个数”本身就构成了组的标识(如3本一组、2本一组、1本一组,一眼可以辨别),交换组的顺序也不会被误判为不同分组. 因此，各组的元素个数不同，天然避免了重复计算,可直接通过组合数分步计算. 1)非均匀无区别分组2)均匀无区别分组 ②有区别分组一一组与组之间有明确标识 有区别分组的核心是“组的有序性”——各组拥有明确标识(如组1、组2、组3；甲任务组、乙任务组)，这些标签赋予了组明确的区分度，此时交换组的顺序会产生新的分组结果.因此,无论分组是否均匀,分步选取时得到的“不同顺序”都对应真实的分组差异,无需排除重复计数，直接在分组时结合标识的要求计算即可. （2）分配问题 分配问题的本质是“分组十给组分配对象”,根据“分配对象是否有区别"和"分组是否均匀",可分为“有区别分配”和“无区别分配”两类.其中“有区别分配”(如分给不同的人、不同的岗位)是高考的高频考点,“无区别分配”(如分给相同的班级、相同的容器)考查较少,需注意区分. ①有区别分配——分配对象不同，需考虑组的归属 有区别分配的核心是“元素最终归属的唯一性”——每个元素需明确归属于哪个分配对象(如甲同学、乙同学).基于此,衍生出两种等价的解题思路:一是“先分组,再分配”,即先构建符合个数要求的“元素集合”(分组),再将这些集合分配给不同的对象,本质是“集合构建、集合分配”的两步拆分;二是“直接分配”,即跳过单独的分组步骤,直接将元素按要求分配到具体对象,本质是“一步完成元素归属确认”.两种思路看似不同，但核心逻辑一致，最终结果必然相等. 1)均匀有区别分配 例：将6本不同的书分给3名同学,每人2本,有多少种不同的分配方法? 方法1(先分组,再分配)第一步,将6本书均匀分成3组(无区别分组)，有种分组方法;第二步,将3组书分配给3名同学(有区别分配),有种分配方法.根据分步乘法计数原理,总分配方法数为. 方法2(直接分配)依次给3名同学分配书籍:第一名同学从6本书中选2本,有种选法;第二名同学从剩余的4本书中选2本,有种选法;第三名同学从剩余的2本书中选2本,有种选法,故总分配方法数为. 两种解法的本质是等价的,可通过逻辑推导验证:方法1中先分组(15种)再分配(种)是先不考虑同学的区别构建书的组合，再赋予组合明确的同学归属；方法2直接分配是在选取书籍时就直接明确同学归属(如第一步选的是“给甲同学的2本”,第二步是“给乙同学的2本”),相当于将“分组”与“分配”合并为一步.两者的核心都是“让每本书明确归属于哪名同学”，因此结果必然相同.在实际解题中,直接分配更简捷,因为它无需单独判断分组是否重复，直接通过“对象专属选取”规避了重复问题. 2)非均匀有区别分配 例：将6本不同的书分给3名同学,其中1名同学分3本、1名同学分2本、1名同学分1本,有多少种不同的分配方法? 方法1(先分组,再分配)第一步，将6本书分成3本、2本、1本的三组(无区别分组)，有种分组方法;第二步,将3组书分配给3名同学(有区别分配)，有种分配方法，则总分配方法数为. 方法2(直接分配)先确定哪名同学分3本、哪名同学分2本、哪名同学分1本,有种方式;再依次给同学分配书籍,分3本的同学从6本中选3本,分2本的从剩余的3本中选2本，分1本的拿剩余的1本,有种选法,则总分配方法数为 非均匀有区别分配的关键在于“分配比例的专属化”——由于分配比例(3本、2本、1本)不同，需先明确“哪个对象对应哪个比例”，再进行元素分配.方法1中先分组,再分配是先构建3本、2本、1本的无区别组合,再通过将组合与同学绑定(即确定“哪个组合给哪名同学”)；方法2中直接分配“先定比例归属再分配”是先确定“甲分3本、乙分2本、丙分1本”这类比例与对象的对应关系(共种),再针对性选取书籍.两者的核心都是“先明确比例归属，再明确元素归属”，逻辑完全一致.需特别注意:若分配比例有重复(如2本、2本、1本)，则“比例归属”的确定需结合均匀分组的重复排除逻辑，避免错误. ②无区别分配——分配对象相同，无需考虑组的归属 例：将6本不同的书装到3个相同的袋子中，每个袋子装2本,有多少种不同的分配方法? 无区别分配的核心是“分配对象无明确标识”,即3个袋子完全相同,设这6本书分别为“一个袋子装、一个袋子装CD、一个袋子装EF”与“一个袋子装CD、一个袋子装AB、一个袋子装EF”的结果完全一致，因为我们无法区分袋子的差异.因此，无区别分配本质上就是分组问题——分配的过程只是将分组后的组合“放入”无区别的容器中，不会产生新的结果.这也解释了为何直接按均匀无区别分组计算即可,无需额外进行分配步骤. 直接按均匀无区别分组计算,故总分配方法数为 无区别分配本质是分组问题,无需额外进行分配步骤,直接按分组规则计算即可. 4.解题技巧 （1）定类型:核心是“双判断”——先判断“是否需要明确元素的最终归属”, 如是则为分配, 否则为分组; 再判断“分配对象是否有区别”“分组是否均匀”, 这两个判断直接决定是否需要排除重复. （2）辨重复:核心是“看标识”——若组或分配对象无区别且分组均匀, 存在 “组的顺序重复”, 需除以均匀组数的全排列数; 若有区别 (或分组非均匀), 无此类重复, 直接分步计算即可. （3）处特殊:核心是 “优先绑定特殊元素”——如 “甲、 乙必须同组”, 可先将甲、乙视为一个整体 (绑定), 再与其他元素一起分组; 如 “甲、乙不能同组”, 可先计算总分组数,再减去甲、乙同组的分组数 (间接法). （4）验结果:核心是“简化模型验证”——将元素个数或分组的组数简化 (如 6 本书改为 3 本书, 3 组改为 2 组), 通过枚举法列出所有可能结果, 验证计算逻辑是否正确，避免因原理理解偏差导致错误. 考点一 分组问题 1．（2026高二·上海·暑假作业）6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【答案】15 【分析】利用平均分组分配，结合排列组合即可求． 【详解】先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法， 2．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分配方式？ 【答案】60 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】无序不均匀分组问题：先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法.故有（种）分配方式. 3．（2026·广西桂林·模拟预测）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 考点二 平均分配问题 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，则不同的分法种数为__________. 【答案】20 【分析】直接从本不同的书抽本书给甲同学，剩余本书给乙同学，结合组合计数原理可得结果. 【详解】将本不同的书平均分给甲、乙两名同学，只需从本不同的书抽本书给甲同学，剩余本书给乙同学， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：20. 5．（2026高二·吉林辽源·月考）6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】90 【分析】由平均分组模型的公式直接计算即可求解. 【详解】6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观， 每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种. 故答案为：90. 6．（2026高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 【答案】C 【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可. 【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能， 三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲， 则有种排法． 故选：C. 7．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知不同装法的总数为， 事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为， 因此事件发生的概率，故选项D正确． 8．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？ 【答案】90 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题、结合分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，将6本不同的书，取2本给甲，再从余下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙， 由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）. 考点三 部分平均分配问题 9．（2026·河北雄安·模拟预测）某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将个单位按分成三组，共有种方法； 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法， 故共有种选派方法. 10．（2026高二·广东广州·期中）2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式求解. 【详解】将4名志愿者分成3组有种分法，再将每种分法的3组分配到3个场馆有种方法， 所以不同的分配方案有种. 11．（2026高二·云南德宏·期中）有4名学生准备去芒市勐焕大金塔，瑞丽一寨两国，梁河南甸宣抚司署这3个景点游玩．每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有______种（用数字作答）. 【答案】36 【详解】由题意，必有两个人去了同一个景点， 所以不同的游玩方式有. 考点四 非均匀分配问题 12．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种不同的分配方式？ 【答案】360 【分析】根据分组分配问题，由排列组合即可求解. 【详解】先将6本不同的书分成1本一份，2本一份，3本一份，共有种方法， 由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有（种）分配方式. 考点五 分组情况多类的分配问题 13．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 14．（2026高二·贵州贵阳·期中）某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（   ） A．20种 B．30种 C．60种 D．15种 【答案】B 【详解】5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学， 先将5名同学分成两组有两种情况， 则. 15．（2026高二·安徽滁州·期中）近年随着“双减”政策的实施，国家对体育教育越来越重视.某中学响应号召，开设了“跳绳”“立定跳远”“跳高”“跑步”四门训练课程，要求学生初中阶段3学年中必须将四门训练课程学完，每位同学每学年最多选3门，则每位同学的不同选修课程的方式有（    ） A．56种 B．78种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】三年学完四门训练课程，按照每学年所选课程数量分类：课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2共三类，先分组再排列. 【详解】由题意可知，三年学完四门训练课程， 则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2. ①若是1，1，2，则先将4门课程分成三组，再分配到三个学年，有种方法； ②若是0，1，3，同理可得有种方法； ③若是0，2，2，同理可得有种方法.所以每位同学的不同选学课程的方式有种. 16．（2026高二·江苏镇江·期中）某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（   ） A．540种 B．1560种 C．2640种 D．4800种 【答案】B 【分析】根据组合和排列的定义，结合分组的不同分类讨论进行求解即可. 【详解】首先将6名志愿者分成4组，再分配到4个社区，可分为2种情况， 第一类：6名志愿者分成1，1，1，3， 分组方式有个； 第二类：6名志愿者分成，分组方式有个， 所以共种选派方案． 17．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 【答案】540 【分析】法一：可将6本书分成3份，按2，2，2；或1，2，3；或1，1，4分，利用分组分配问题计算；法二：间接计算：将6本书分给3个人不考虑每人至少一本的情况，减去不符合题意的情况进行计算． 【详解】法一：将6本书按2，2，2分成3份，共有种； 将6本书按1，1，4分成3份，共有种； 将6本书按1，2，3分成3份，共有种； 分配给3个人，共有：种； 法二：总的分配方式(不考虑每人至少一本，每种书有3种选择)为种， 减去“指定1个人没有得到书”的情况总和(选1个没得到书的人，剩余2人分书)： 种(包含恰有2人没得到书的情况)， 加上“有2个人没得到书”的情况(选2个没得到书的人，剩余1人分书)：种， 故由容斥原理计算：共种． 18．（2026高二·四川眉山·期中）某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 【答案】B 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 19．（2026高二·江苏无锡·期中）全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】先分组后分配，讨论并计算即可得. 【详解】名同学分成组，可分成人，人，人， 此时共有种不同的安排方法； 也可分成人，人，人， 此时共有种不同的安排方法； 故不同的安排方法共有种. 20．（2026高二·山西朔州·期中）有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（    ） A．40 B．90 C．120 D．150 【答案】D 【分析】先将5名护士分成3组，再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，即可求解. 【详解】先将5名护士分成3组，每组至少1人， 不同的分组方法种数为， 再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，有种方法， 根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案种数为. 21．（2026高二·重庆渝北·期中）某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答） 【答案】540 【分析】将6人分为3组，再把3组安排到三个实验室，分步乘法计算分配方法即可. 【详解】将6人分为3组，按照每组人数可分为三类 第一类：每组人数分别为1人，2人，3人，有种； 第二类：每组人数分别为1人，1人，4人，有种； 第三类：每组人数分别为2人，2人，2人，有种； 再将3组安排到三个实验室，不同的安排方法有种. 22．（2026高二·安徽滁州·期中）现有甲､乙､丙､丁､戊5位优秀的大学生利用假期回母校，对高三（1）班､高三（2）班､高三（3）班的同学进行学法指导和介绍丰富多彩的大学生活，要求：每个班级至少有一位大学生进行宣讲，每位大学生必须且只能选择一个班级. (1)共有多少种不同的安排方案？ (2)若甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有多少种不同的分配方案？ 【答案】(1)150 (2)114 【分析】（1）按照三个班人数分成两类：一类是，另一类是； （2）求出甲､乙两人在同一班级的方法数，用间接法求解． 【详解】（1）安排方案有2种 ①型）（种） ②型）（种） 共有（种） （2）若甲乙进入同一个班级，有两种情况： ①甲乙与另外一人进入同一个班级：种 ②甲乙两人进入同一个班级，且该班级没其他人：种 所以甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有种. 23．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 24．（2026·甘肃张掖·模拟预测）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有______种. 【答案】5 【分析】间接法：利用分类加法原理求出“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面的情形，利用组合知识求解平均分两组的情形，作差即可求解； 直接法：由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组，利用分类加法原理和组合数求解即可. 【详解】方法一（间接法）：事件“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面是“标号为4的小球是所在组标号最大的”“标号为3的小球是所在组标号最小的”至少一个成立. 当标号分别为3和4的小球不在同一组时，有124，356一种分法， 且“标号为4的小球是所在组标号最大的”和“标号为3的小球是所在组标号最小的”同时成立. 当标号分别为3和4的小球在同一组时， 若“标号为4的小球是所在组标号最大的”成立，则有134，256和234，156两种分法； 若“标号为3的小球是所在组标号最小的”成立，则有126，345和125，346两种分法． 综上，不符合题意的分法有5种. 将6个小球平均分成两组，有种分法，所以符合题意的分法有种． 方法二（直接法）：当标号分别为3和4的小球在同一组时， 不论和它们在一组的小球的标号是1，2，5，6中的哪一个， “标号为4的小球不是所在组标号最大的”和“标号为3的小球不是所在组标号最小的”不能同时成立， 所以标号分别为3和4的小球不在同一组. 由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组． 故符合题意的分组方式有种． 故答案为：5 【点睛】 方法点睛：对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题；组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理． 考点六 有限制的分配问题 25．（2026高二·广东·月考）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法有______种.（用数字作答） 【答案】60 【分析】按照分步来完成，先把本书分堆，用算组合数，再除去有重复情况，再看甲不拿语文的情况，甲有种选择，剩下人全排列，最后用乘法原理计算即可. 【详解】将6本书分为3堆，共有种方法， 若甲同学不拿语文，则有种方法，故所有的分配方法有60种. 故答案为：60. 26．（2026高二·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有种. 27．（2026高二·江苏南京·期中）把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 【答案】180 【分析】为避免重复计算，以A盒的小球个数进行分类讨论，再将剩余的球分配进剩余两盒即可 【详解】若A盒只有一个球（黑球），共有种方法； 若A盒有2个球，共有种方法； 若A盒有3个球，共有种方法； 若A盒有4个球，共有种方法 故总计种方法 28．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 【答案】 【分析】计算总的分组方式有，再计算班长甲与质检员乙在同一个小组的方式数即可求解. 【详解】质检员分配有种方法，班长分配有， 所以总的分组方式有； 若班长甲与质检员乙在同一个小组，则有， 故所求为. 故答案为：. 29．（2026高二·广东佛山·期中）将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】方法一：考虑特殊元素，按每个人拿到书的不同结果分配即可求解；法二：考虑特殊元素先分组再分配即可求解. 【详解】方法一：先从甲､乙､丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书， 有种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本， 最后把其余本书平均分给这两个人，有种分配方法， 综上，不同的分配方法种数是. 方法二：各选两本书与数学书､英语书组成一组，然后再分配给三人， 则不同的分配方法种数是. 故答案为： 30．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 【答案】C 【分析】按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排“赛道引导”工作的人数分为两类， 第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法， 再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法， 若“终点服务”工作安排一人，则有种方法， 所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法， 第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 31．（2026高二·云南怒江·阶段检测）将A，B，C，D这4名毕业生安排到3个不同的公司实习，要求每人只到1个公司实习，且每个公司都要有人实习，则A，B被安排在同一个公司实习的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】4名毕业生安排到3个不同的公司实习，所有的情况为种， A，B被安排在同一个公司实习的所有情况有种， 所以A，B被安排在同一个公司实习的概率是. 32．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.． 【详解】4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配. 先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种， 再排列：将3组分配到3天，有种， 所以总方案数为：种. 33．（2026高二·广东广州·期中）省实2026年科技节展演活动，需要安排小明、小红等共七位志愿者到三个路口当引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少需要两名引导员，且小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数为（   ） A．600 B．540 C．480 D．420 【答案】C 【分析】先安排没有限制条件的情况，再安排小明和小红去同一路口的情况，进而求解. 【详解】根据题意，七位志愿者分配到三个路口，则按的分法， 所有的分配方法为：， 当小明和小红去同一个路口且该路口只有两人的分法为， 再安排剩下两个路口按分法共有种分法， 则总的安排方法为种分法， 当小明和小红去同一个路口且该路口有三个人的分法为， 再安排剩下的两个路口按的分法共有， 则总的安排方法为种分法， 所以小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数为. 34．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 35．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 【答案】C 【分析】分类计算，按分组：从中选2人捆绑在一起，也捆绑在一起，6人变成四个元素全排列得；按分组：从中选1人与捆绑在一起，6人变成四个元素全排列. 【详解】,必须安排在同一个班级，则还要从中选2人到同一班级，这样方法数为. 若去的班级有3人，则方法数为， 所以总方法数为. 36．（2026高二·黑龙江大庆·月考）现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 【答案】 【分析】将甲乙捆绑在一起，与剩下的3个人一起分组，即可求解. 【详解】因为甲、乙在同一天值班，所以甲乙捆绑在一起，与剩下的三人分组分配到三天，分为1，1，2，则有. 37．（2026高二·四川遂宁·月考）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1)243； (2)150； (3)12. 【分析】（1）利用分步乘法计数原理列式计算即得. （2）把5个小球按分组，再放入3个不同盒子即可. （3）按号盒子放3个球和放2个球分类，再求出每类的放法数即可. 【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. （2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. （3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法； 号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法， 所以所求不同放法种数是. 38．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 39．（2026高二·安徽阜阳·期中）2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定每人分配监考项数，利用排列、组合综合问题，结合排除法列式求解. 【详解】将6项不同的考试分配给小明、小浩、小文三人，每人至少1项，至多3项，有和两种分配方案， 因此总分配方案数为， 小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，当小明不监考这两项， 即小明监考其余4项，有以下两种情况： 当每人按分配时，小明从其余4项中选2项方案数为种； 当每人按分配时，小明可能选1项，2项，3项，方案数为种； 所以小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，三人不同的监考安排方案种数为：种. 40．（2026高二·河南·期中）五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）. 【答案】88 【分析】本题为分组分配问题对特殊元素医生甲进行分类，分为医生甲选择1日，2日中的1天，且值班1天，甲只选择1日，2日中的1天，且值班2天，甲选择1日，2日中的1天，且值班3天，甲选择1日2日值班，且值班2天，甲选择1日2日值班，且值班3天，然后剩下时间分配给乙、丙，再使用分组分配方法进行计算安排方法. 【详解】当医生甲选择1日，2日中的1天，且只值1天班时，有种选择，再将其他4天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲只选择1日，2日中的1天，且值2天班时，有种选择，再将其他3天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲选择1日，2日中的1天，且值3天班时，有种选择，再将其他2天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲选择1日2日值班，且值2天班时，只需将其他3天分给乙，丙，有种排法； 当甲选择1日2日值班，且值3天班时，有种排法，只需将其他2天分给乙，丙，有种排法，共有种排法. 综上，不同的安排方法共有种. 考点七 相同元素分配问题 41．（2026高二·河北衡水·月考）将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 【答案】56 【详解】先把9个相同的小球排成一行，然后在9个小球之间的8个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有种. 42．【多选】（2026高二·广东佛山·期中）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种 B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 【答案】AC 【分析】对于相同小球的放置问题，可利用隔板法;对于不同小球的放置问题，可根据分步乘法计数原理，结合排列组合的相关知识进行求解。 【详解】对于A，6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故A正确； 对于B，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有种，故B错误； 对于C，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒，先指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4､1､1或3､2､1或2､2､2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子，不同的放法种数为，故C正确； 对于D，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5､1或4､2或3､3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中的放法共有，故D错误. 43．（2026高二·辽宁沈阳·期中）10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 【答案】36 【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解. 【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个； 可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可， 由组合公式可得共有种分法. 故答案为：. 【点睛】本题考查了组合的应用及隔板法的应用，属于基础题. 44．（2026高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 45．（2026·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 46．（2026高二·河北·期中）方程的正整数解共有________组． 【答案】58 【分析】利用隔板法、分类加法以及分步乘法公式即可求解. 【详解】对于方程，设，，， 则，，． 当时，，可以为，，， 利用隔板法可得解的组数为； 当时，，利用隔板法可得解的组数为． 故方程的正整数解共有组． 故答案为：58. 考点八 与条件概率的综合 47．（2026高二·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 48．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 考点九 综合应用 49．（2026高三·全国·二轮复习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 (4)90 (5)15 【分析】（1）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据（1）中的结论，结合排列的定义进行求解即可 （4）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （5）根据组合和排列的定义进行求解即可. 【详解】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. 50．（2026高二·山西太原·月考）按下列要求分配6本不同的书，分别有多少种不同的分配方法（用数字作答）． (1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (3)分成3份，1份4本，另外2份每份1本； (4)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (5)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 【答案】(1)360种 (2)90种 (3)15种 (4)90种 (5)30种 【分析】根据排列组合，分组分配问题及分步乘法计数原理即可求解． 【详解】（1）由于甲、乙、丙是不同的三人，分配给三人，共有（种）分配方法． （2）分配给三人，故共有（种）分配方法． （3）共有（种）分组方法． （4）分配给三人，共有（种）分配方法． （5）甲选1本有种方法，乙从余下的5本中选1本有种方法，余下的4本留给丙有种方法，故共有（种）分配方法． 51．（2026高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【答案】(1)15 (2)90 (3)60 (4)60 (5)360 【分析】（1）利用平均分组法求解即可； （2）利用平均分组分配求解即可； （3）利用不平均分组法求解即可； （4）利用不平均分组分配求解即可； （5）利用不平均分组，结合排列数公式求解即可； 【详解】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 52．【多选】（2026高二·河北邢台·期中）将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（    ） A．若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B．若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C．若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D．若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 【答案】AC 【分析】根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可. 【详解】若急诊科要安排两名实习医生， 则有种不同的安排方法，A正确． 若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误． 若，被安排在同一科室，则有种不同的安排方法，C正确． 当内科只安排一名实习医生时，有种不同的安排方法； 当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法； 当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法． 故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误． 53．【多选】（2026高二·重庆·期中）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【详解】对于A：每个人的工作选择有种，所以不同的方法数为，故A正确； 对于B：每项工作至少有人参加，需要将名同学分成组，其中有一组有人， 先从名同学中选出人组成一组，再将这组安排到个不同的工作岗位上， 所以不同的方法数为，故B错误； 对于C：将人分成人，人，人的组有种分法， 将人分成人，人，人的组有种分法， 所以名同学全部被安排的不同方法数为，故C错误； 对于D：若会议记录仅有人选择，则安排方案有种， 若会议记录有人选择，则安排方案有种， 所以不同安排方案的种数为，故D正确. 54．（2026高二·重庆·期中）幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 【答案】D 【详解】将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确； 先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确； 先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确； 先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 分组分配问题9种常见考法归类（54题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 分组问题 考点二 平均分配问题 考点三 部分平均分配问题 考点四 非均匀分配问题 考点五 分组情况多类的分配问题 考点六 有限制的分配问题 考点七 相同元素分配问题 考点八 与条件概率的综合 考点九 综合应用 1定向分配问题 引例1：将个不同元素按照某种条件分配给个不同的对象,,各个对象分配的数量依次为,且,则不同的分配方法数为 证明：给个不同的对象依次分配个不同元素,由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法为种. 注：给个对象分别分配,个元素,由于分配与顺序有关,与他们之间所分配的元素个数是否相等无关,故可从排列入手.对于这些分配对象,与分配的先后顺序无关,只要全部分配.事实上, .即个不同元素全排列有,分给对象的个不同元素的排列为,但其组合只有一个,…通过消去顺序得到 将个不同元素按照某种条件定向分配给个不同的对象且每个对象分配数量确定,这类问题称为定向分配问题.按照不同对象分配到的元素数量是否相等进行分类:若每个对象的数量均不相等、均相等、部分相等,分别称为完全非均匀、完全均匀、部分均匀.因此,定向分配可分为完全非均匀分配,完全均匀分配,部分均匀分配三类. 由上可知,定向分配可根据要求每次分给一个对象,逐步到位.也可先分组后排列,这就需要研究分组问题. 2分组问题 (1)完全非均匀分组 完全非均匀分组是将所有不同元素按照一定的要求分成元素个数互不相等的组的一种分组方式. 引例2：将个不同元素分成组,每组元素个数分别是,且,互不相等,,则不同的分组数是. 证明：记满足条件的分组数为,再将各组的元素按照引例2的方式分配,则个,个,个的那组元素分别只能给,,则组合与排列构建了一一对应关系,即其分配方式为1种,由分步乘法计数原理得.得. 注：对于每一种完全非均匀分组,每组内的元素之间不存在先后次序关系,组与组之间也无先后顺序.考虑到完全非均匀分组与完全非均匀分配的一一对应关系,完全非均匀分组等同于完全非均匀分配. (2)部分均匀分组 部分均匀分组是将所有元素按照一定的要求分成部分组元素个数相等的分组. 引例3：将个不同元素分成组,每组元素个数分别是,共有个不同的数,其组内元素个数为,的组数分别为,且,则不同的分组数是. 证明：记满足条件的分组数为,再将各组的元素按照引例3的方式进行分配,第一步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为!,第二步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为,第步,将个数为的组元素安排到要排个元素的位置,其排法为 由分步乘法计数原理得 得 注：对于“部分均匀分组”问题,只需考虑由于部分均匀分组中的无序与组合数相乘中产生的顺序而导致的重复问题.先按“完全非均匀分组”列式再除以各等分组的组数的阶乘.当时,它就是完全非均匀分组;当时,它就是完全均匀分组. 分组问题即只需按要求将元素分成若干组即可, 这些组与顺序无关, 对于一个已经分好的若干组, 交换各组的位置仍为同一种分组; 分配问题就是要将所给的元素按要求分给具体的对象. 分组问题与分配问题的最大区别:分组问题无分配目标，分配问题有分配目标. 分组问题与分配问题的联系是:解决复杂的分配问题时, 可以先分组, 再分配, 分两步走. 对于计数问题，我们要做什么事情？如何完成? 在此过程中用到哪些原理、方法及计算公式. 处理的基本思想和原则是合理分类, 准确分步, 遵循先选后排原则. 3.分组、分配常见问题： （1）分组问题 分组问题的核心是判断“各组是否有区别”和“每组元素个数是否相同”,据此可分为“无区别分组(均匀与非均匀)”和“有区别分组(均匀与非均匀)”两类.其中，“均匀分组”是指各组元素个数完全相同，“非均匀分组”是指各组元素个数不完全相同. ①无区别分组一一组与组之间无明确标识 无区别分组的核心逻辑是“组的无序性”——备组没有专属标识,此时交换组的顺序不会产生新的分组结果.基于此,我们可得出关键结论:若为均匀分组(各组元素个数相同),分步选取时会引入“组的顺序差异”,导致重复计数,必须通过除法排除;若为非均匀分组(各组元素个数不同),每组的“元素个数”本身就构成了组的标识(如3本一组、2本一组、1本一组,一眼可以辨别),交换组的顺序也不会被误判为不同分组. 因此，各组的元素个数不同，天然避免了重复计算,可直接通过组合数分步计算. 1)非均匀无区别分组2)均匀无区别分组 ②有区别分组一一组与组之间有明确标识 有区别分组的核心是“组的有序性”——各组拥有明确标识(如组1、组2、组3；甲任务组、乙任务组)，这些标签赋予了组明确的区分度，此时交换组的顺序会产生新的分组结果.因此,无论分组是否均匀,分步选取时得到的“不同顺序”都对应真实的分组差异,无需排除重复计数，直接在分组时结合标识的要求计算即可. （2）分配问题 分配问题的本质是“分组十给组分配对象”,根据“分配对象是否有区别"和"分组是否均匀",可分为“有区别分配”和“无区别分配”两类.其中“有区别分配”(如分给不同的人、不同的岗位)是高考的高频考点,“无区别分配”(如分给相同的班级、相同的容器)考查较少,需注意区分. ①有区别分配——分配对象不同，需考虑组的归属 有区别分配的核心是“元素最终归属的唯一性”——每个元素需明确归属于哪个分配对象(如甲同学、乙同学).基于此,衍生出两种等价的解题思路:一是“先分组,再分配”,即先构建符合个数要求的“元素集合”(分组),再将这些集合分配给不同的对象,本质是“集合构建、集合分配”的两步拆分;二是“直接分配”,即跳过单独的分组步骤,直接将元素按要求分配到具体对象,本质是“一步完成元素归属确认”.两种思路看似不同，但核心逻辑一致，最终结果必然相等. 1)均匀有区别分配 例：将6本不同的书分给3名同学,每人2本,有多少种不同的分配方法? 方法1(先分组,再分配)第一步,将6本书均匀分成3组(无区别分组)，有种分组方法;第二步,将3组书分配给3名同学(有区别分配),有种分配方法.根据分步乘法计数原理,总分配方法数为. 方法2(直接分配)依次给3名同学分配书籍:第一名同学从6本书中选2本,有种选法;第二名同学从剩余的4本书中选2本,有种选法;第三名同学从剩余的2本书中选2本,有种选法,故总分配方法数为. 两种解法的本质是等价的,可通过逻辑推导验证:方法1中先分组(15种)再分配(种)是先不考虑同学的区别构建书的组合，再赋予组合明确的同学归属；方法2直接分配是在选取书籍时就直接明确同学归属(如第一步选的是“给甲同学的2本”,第二步是“给乙同学的2本”),相当于将“分组”与“分配”合并为一步.两者的核心都是“让每本书明确归属于哪名同学”，因此结果必然相同.在实际解题中,直接分配更简捷,因为它无需单独判断分组是否重复，直接通过“对象专属选取”规避了重复问题. 2)非均匀有区别分配 例：将6本不同的书分给3名同学,其中1名同学分3本、1名同学分2本、1名同学分1本,有多少种不同的分配方法? 方法1(先分组,再分配)第一步，将6本书分成3本、2本、1本的三组(无区别分组)，有种分组方法;第二步,将3组书分配给3名同学(有区别分配)，有种分配方法，则总分配方法数为. 方法2(直接分配)先确定哪名同学分3本、哪名同学分2本、哪名同学分1本,有种方式;再依次给同学分配书籍,分3本的同学从6本中选3本,分2本的从剩余的3本中选2本，分1本的拿剩余的1本,有种选法,则总分配方法数为 非均匀有区别分配的关键在于“分配比例的专属化”——由于分配比例(3本、2本、1本)不同，需先明确“哪个对象对应哪个比例”，再进行元素分配.方法1中先分组,再分配是先构建3本、2本、1本的无区别组合,再通过将组合与同学绑定(即确定“哪个组合给哪名同学”)；方法2中直接分配“先定比例归属再分配”是先确定“甲分3本、乙分2本、丙分1本”这类比例与对象的对应关系(共种),再针对性选取书籍.两者的核心都是“先明确比例归属，再明确元素归属”，逻辑完全一致.需特别注意:若分配比例有重复(如2本、2本、1本)，则“比例归属”的确定需结合均匀分组的重复排除逻辑，避免错误. ②无区别分配——分配对象相同，无需考虑组的归属 例：将6本不同的书装到3个相同的袋子中，每个袋子装2本,有多少种不同的分配方法? 无区别分配的核心是“分配对象无明确标识”,即3个袋子完全相同,设这6本书分别为“一个袋子装、一个袋子装CD、一个袋子装EF”与“一个袋子装CD、一个袋子装AB、一个袋子装EF”的结果完全一致，因为我们无法区分袋子的差异.因此，无区别分配本质上就是分组问题——分配的过程只是将分组后的组合“放入”无区别的容器中，不会产生新的结果.这也解释了为何直接按均匀无区别分组计算即可,无需额外进行分配步骤. 直接按均匀无区别分组计算,故总分配方法数为 无区别分配本质是分组问题,无需额外进行分配步骤,直接按分组规则计算即可. 4.解题技巧 （1）定类型:核心是“双判断”——先判断“是否需要明确元素的最终归属”, 如是则为分配, 否则为分组; 再判断“分配对象是否有区别”“分组是否均匀”, 这两个判断直接决定是否需要排除重复. （2）辨重复:核心是“看标识”——若组或分配对象无区别且分组均匀, 存在 “组的顺序重复”, 需除以均匀组数的全排列数; 若有区别 (或分组非均匀), 无此类重复, 直接分步计算即可. （3）处特殊:核心是 “优先绑定特殊元素”——如 “甲、 乙必须同组”, 可先将甲、乙视为一个整体 (绑定), 再与其他元素一起分组; 如 “甲、乙不能同组”, 可先计算总分组数,再减去甲、乙同组的分组数 (间接法). （4）验结果:核心是“简化模型验证”——将元素个数或分组的组数简化 (如 6 本书改为 3 本书, 3 组改为 2 组), 通过枚举法列出所有可能结果, 验证计算逻辑是否正确，避免因原理理解偏差导致错误. 考点一 分组问题 1．（2026高二·上海·暑假作业）6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 2．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分配方式？ 3．（2026·广西桂林·模拟预测）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 考点二 平均分配问题 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，则不同的分法种数为__________. 5．（2026高二·吉林辽源·月考）6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 6．（2026高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 7．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？ 考点三 部分平均分配问题 9．（2026·河北雄安·模拟预测）某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广东广州·期中）2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 11．（2026高二·云南德宏·期中）有4名学生准备去芒市勐焕大金塔，瑞丽一寨两国，梁河南甸宣抚司署这3个景点游玩．每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有______种（用数字作答）. 考点四 非均匀分配问题 12．（2026高三·全国·一轮复习）将6本不同的书，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种不同的分配方式？ 考点五 分组情况多类的分配问题 13．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 14．（2026高二·贵州贵阳·期中）某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（   ） A．20种 B．30种 C．60种 D．15种 15．（2026高二·安徽滁州·期中）近年随着“双减”政策的实施，国家对体育教育越来越重视.某中学响应号召，开设了“跳绳”“立定跳远”“跳高”“跑步”四门训练课程，要求学生初中阶段3学年中必须将四门训练课程学完，每位同学每学年最多选3门，则每位同学的不同选修课程的方式有（    ） A．56种 B．78种 C．96种 D．120种 16．（2026高二·江苏镇江·期中）某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（   ） A．540种 B．1560种 C．2640种 D．4800种 17．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 18．（2026高二·四川眉山·期中）某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 19．（2026高二·江苏无锡·期中）全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 20．（2026高二·山西朔州·期中）有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（    ） A．40 B．90 C．120 D．150 21．（2026高二·重庆渝北·期中）某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答） 22．（2026高二·安徽滁州·期中）现有甲､乙､丙､丁､戊5位优秀的大学生利用假期回母校，对高三（1）班､高三（2）班､高三（3）班的同学进行学法指导和介绍丰富多彩的大学生活，要求：每个班级至少有一位大学生进行宣讲，每位大学生必须且只能选择一个班级. (1)共有多少种不同的安排方案？ (2)若甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有多少种不同的分配方案？ 23．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 24．（2026·甘肃张掖·模拟预测）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有______种. 考点六 有限制的分配问题 25．（2026高二·广东·月考）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法有______种.（用数字作答） 26．（2026高二·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 27．（2026高二·江苏南京·期中）把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 28．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 29．（2026高二·广东佛山·期中）将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答） 30．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 31．（2026高二·云南怒江·阶段检测）将A，B，C，D这4名毕业生安排到3个不同的公司实习，要求每人只到1个公司实习，且每个公司都要有人实习，则A，B被安排在同一个公司实习的概率是（   ） A． B． C． D． 32．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 33．（2026高二·广东广州·期中）省实2026年科技节展演活动，需要安排小明、小红等共七位志愿者到三个路口当引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少需要两名引导员，且小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数为（   ） A．600 B．540 C．480 D．420 34．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 35．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 36．（2026高二·黑龙江大庆·月考）现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 37．（2026高二·四川遂宁·月考）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 38．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 39．（2026高二·安徽阜阳·期中）2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 40．（2026高二·河南·期中）五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）. 考点七 相同元素分配问题 41．（2026高二·河北衡水·月考）将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 42．【多选】（2026高二·广东佛山·期中）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种 B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 43．（2026高二·辽宁沈阳·期中）10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 44．（2026高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 45．（2026·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 46．（2026高二·河北·期中）方程的正整数解共有________组． 考点八 与条件概率的综合 47．（2026高二·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 48．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 考点九 综合应用 49．（2026高三·全国·二轮复习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 50．（2026高二·山西太原·月考）按下列要求分配6本不同的书，分别有多少种不同的分配方法（用数字作答）． (1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (3)分成3份，1份4本，另外2份每份1本； (4)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (5)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 51．（2026高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 52．【多选】（2026高二·河北邢台·期中）将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（    ） A．若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B．若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C．若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D．若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 53．【多选】（2026高二·重庆·期中）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 54．（2026高二·重庆·期中）幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 $