精品解析：浙江宁波市宁海县浙派联盟2025-2026学年八年级数学下学期期中试卷

2025学年第二学期八年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为100分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的一次项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 4 9. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 化简的结果是_____． 12. 一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 13. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 14. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 15. 已知方程的解是，则方程的解是___________． 16. 如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 三、解答题（17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出，使和关于x轴对称． （2）直接写出点B关于点A的对称点的坐标． 20. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 21. 为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： （1）分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． （2）经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． （3）该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 22. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 23. 对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． （1）已知一个“如意数”（，其中为正整数），所满足的关系式是什么．（请直接写出关系式！） （2）小明利用（1）中“如意数”中的构造了两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，小明经探究得出结论：与的乘积是一定值．请判断小明的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值． （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的一个的值． 24. 如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值． （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为100分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 选项A 满足两个判定条件，是最简二次根式； 选项B： ，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 选项C： ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D： ，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 方程的一次项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式的定义，区分各项得到结果即可． 【详解】解：是一元二次方程， 一次项为． 4. 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的计算公式，列方程求解即可． 【详解】解：数据，4，5，5，6，m的平均数为5， ，解得， 则数的值为． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，将各方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A． ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，整理得 ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．，整理得 ∵ ∴，方程没有实数根，符合题意； D．，整理得 ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 7. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，题目未说明方程为一元二次方程，方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，结合方程解的性质和一元二次方程根的判别式求解，再合并结果即可得到k的取值范围． 【详解】解：当 ，即 时，原方程为 ，解得 ，方程有实数根，符合要求； 当，即 时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式 ，代入 ，， 得： ， 解得 ，即此时 的范围是 且 ． 综上可知，的取值范围是 ． 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先计算和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算后求算术平方根． 【详解】∵， ∴， ， 所以， 因此． 9. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆， 可列方程． 10. 如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 12. 一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中位数的定义，这组数据共个，为奇数个，中位数是从小到大排列后的第个数，结合中位数为，确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：将一组数据从小到大排列后，数据个数为奇数时，中位数是最中间的数，本题共有个数据，因此中位数是排列后的第个数． 已知中位数为，则排列后第个数为． 原数据中小于的数有和共个，若，则小于的数共个，排列后第个数小于，不符合要求． 因此，则的最小值为． 13. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 14. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个就是同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 15. 已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 16. 如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：点落在对角线上和点落在对角线上，分别根据折叠的性质结合勾股定理进行讨论求解，即可得出点运动的距离． 【详解】解：分两种情况： 当点落在对角线上时，连接，如图所示， 将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上， ， ，， 点为线段的中点， ， ，， ， ， ，即，， ， ，， ， ， ，即点运动的距离为； 当点落在对角线上时，连接，，设与的交点为，作于，则四边形为矩形，如图所示， ，，， 由折叠可知， 点为线段的中点， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ， 点运动的距离为； 综上所述，点运动的距离为或． 三、解答题（17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用乘法的分配律和二次根式的性质计算，再进行加减计算； （2）先利用完全平方公式和二次根式的除法计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法，即可求解； （2）根据因式分解法，即可求解． 【小问1详解】 解：由题得， 或， ； 【小问2详解】 解：由题得， ， ， 或， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出，使和关于x轴对称． （2）直接写出点B关于点A的对称点的坐标． 【答案】（1） 解：如图为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）解题的关键是利用关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，找到对称点，再依次连接起来． （2）解题的关键是对称点与对称中心三点共线，且对称中心是对称点所连线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点是点关于点的对称点，由图可知． 20. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形，， ， 在和中， ． ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质找到条件，即可证明； （2）根据各角之间的关系进行解答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 即， ， ， ， ． 21. 为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： （1）分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． （2）经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． （3）该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】（1）甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 （2） 解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【小问1详解】 解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 22. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 【答案】（1）； （2）当时，另一根为；当时，另一根为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，先求出m的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：对于方程， 其中，，， 方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； 【小问2详解】 将代入原方程，得， 则，解得或， 当时，原方程为，解得或，则另一根为； 当时，原方程为，解得或，则另一根为． 23. 对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． （1）已知一个“如意数”（，其中为正整数），所满足的关系式是什么．（请直接写出关系式！） （2）小明利用（1）中“如意数”中的构造了两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，小明经探究得出结论：与的乘积是一定值．请判断小明的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值． （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的一个的值． 【答案】（1） （2）小明的结论正确． （3）满足条件的一个的值为121（或242或363或484） 【解析】 【分析】（1）根据“如意数”的定义解答即可； （2）将代入一元二次方程得，将代入一元二次方程得，再将两边同除以得，根据两个方程都有两个相等的实数根得，从而求出； （3）由，得，．然后将代入一元二次方程得，即，再根据即可求出，结合，其中a，b，c为正整数和“如意数”的定义解答即可． 【小问1详解】 解：是如意数， ； 【小问2详解】 解：小明的结论正确． 是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ， 将两边同除以得：， 将看成是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ，即； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 解得：， ∵，其中a，b，c为正整数， 满足条件的一个的值为121（或242或363或484）． 24. 如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值． （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】（1） （2） ①证明：在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ② 【解析】 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【小问1详解】 解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； 【小问2详解】 ①略 ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $