第7节　抛物线课件——2027届高三数学一轮复习

第7节　抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的　 　　　　　的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的　　　　　,这条定直线l叫作抛物线的　　　　　.  (2)数学表达式:P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离). 距离相等 焦点　 准线 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形         顶点 原点 对称轴 x轴 y轴 焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 常用结论 若A(x1,y1)在第一象限,B(x2,y2)在第四象限,则 (1)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦. (2)|AF|=,|BF|=(α为直线AB的倾斜角). (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线与抛物线相交,则有2个公共点.(　　) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.(　　) (4)抛物线y2=2px(p>0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(　) × 解析 当直线与抛物线的对称轴平行时,直线和抛物线相交于一点,所以错误. × 解析 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p,此弦长也称为通径长,所以错误. × 解析 当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个公共点,此时不相切,所以错误. √ 2.(人A选一教材例题改编)抛物线y2=4x的焦点坐标是(　　) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) D 解析 因为2p=4,所以=1,所以焦点坐标为(1,0).故选D. 3.(人A选一教材习题改编)抛物线y=x2的准线方程是(　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 A 解析 因为y=x2,所以x2=4y,所以准线方程为y=-1.故选A. 4.(人A选一教材习题改编)已知抛物线y=x2上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为(　　) A. B. C.6 D.5 D 解析 由题意知,抛物线的准线方程为y=-1,所以由抛物线的定义知,点A到抛物线焦点的距离为5.故选D. 5.(人A选一教材例题改编)(多选题)顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(2,-2)的抛物线方程为(　　) A.x2=-y B.y2=-x C.y2=4x D.x2=4y AC 解析 当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为y2=2px(p>0), ∴(-2)2=2p×2,解得p=2,∴y2=4x.当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),∴22=-2p×(-2),解得p=, ∴x2=-y.故选AC. 考点一　抛物线的定义及应用 例1　(1)已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上,过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为 (　　) A.x2=-4y B.x2=4y C.x2=-2y D.x2=2y B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一　轨迹方程法)设点P(x,y),则点M(x,-1).连接PF,由题意知|PF|=|PM|,即=|y+1|,整理得x2=4y,则曲线C的方程为x2=4y. (方法二　几何定义法)由题意知,点P到点F(0,1)的距离等于其到直线y=-1的距离,则点P的轨迹为以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,则曲线C的方程为x2=4y.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)若抛物线x2=8y上一点A(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍,则y0=(　　) A. B.1 C. D.2 D 解析 已知抛物线的方程为x2=8y,可得p=4,所以焦点为F(0,2),准线为l:y=-2. 抛物线上一点A(x0,y0)到焦点F的距离等于其到准线l的距离,即|AF|=y0+2,又因为A到x轴的距离为y0,由已知得y0+2=2y0,解得y0=2.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](2026·湖北名校联考)已知抛物线C:4x-my2=0恰好经过圆M: (x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为(　　) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(0,-1) B 解析 由已知,圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心为M(1,2),因为点M在抛物线C:4x-my2=0上,所以4×1-m×22=0,解得m=1,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点在x轴正半轴上,且2p=4,所以焦点坐标为(1,0).故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　抛物线的标准方程 例2　(1)(2025·北京海淀三模)点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么该抛物线的标准方程是(　　) A.x2=12y B.x2=y或x2=-y C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 将y=ax2转化为x2=y,当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为3+=6,解得a=,所以抛物线方程为y=x2,即x2=12y;当a<0时,抛物线开口向下,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为=6,解得a=-或a=(舍去),所以抛物线方程为y=-x2, 即x2=-36y.综上,抛物线的方程为x2=12y或x2=-36y.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,第一象限内的点A在E上,AB垂直l于点B,BF交y轴于点C,若|AF|=2|BC|=4,则抛物线的标准方程为　 .  y2=4x 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题意知C为BF的中点,因为|AF|=|AB|,所以AC与BF垂直.因为|AF|=2|BC|=4,所以∠CAF=30°,所以∠BAF=60°. (方法一)则△ABF为等边三角形,设AB交y轴于点D,如图, 在Rt△BCD中,易得|BD|=1,即=1,p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x. (方法二)由已知得A(+2,2),将A代入E:y2=2px(p>0)可得12=2p(+2),化简得p2+4p-12=0,由于p>0, 所以p=2(p=-6舍去).故抛物线的标准方程为y2=4x. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法:当焦点位置不确定时,分情况讨论. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](1)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(3,m)在抛物线C上,且|MF|=4,则抛物线C的方程为(　　) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=6x C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 根据题意,连接MF,过点M作MH垂直于抛物线C的准线x=-,垂足为H,如图,由抛物线定义可知|MF|=|MH|=xM+=3+=4,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)“米”是象形字,数学探究课上,某同学用抛物线C1:y2=-2px(p>0), C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示,若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=8,则p=(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一)如图,过点P作PM⊥F1F2于点M, ∵|PF1|=2|PQ|=8,∴|OM|=2,则xP=-2,又点P在抛物线C1:y2=-2px(p>0)上, =4p,则|PM|=2,在Rt△PMF1中,|MF1|=-2, ∵|PM|2+|MF1|2=|PF1|2, ∴(2)2+(-2)2=82,∴p=12(p=-20舍去).故选D. (方法二)设P(x0,y0),则x0<0, ∵|PF1|=2|PQ|=8,∴-x0+=2(-2x0)=8,∴x0=-2,p=12.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　抛物线的几何性质 角度1　焦半径 例3　(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 对于A,在y=-(x-1)中,令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确;对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=,|ON|=, |MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(,0)的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](多选题)(2025·八省联考,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 ABC 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,A正确;设M(x0,y0),由M在抛物线C上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+=|OF|,B正确;因为以M(x0,y0)为圆心且过F的圆的半径为|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0,不妨设y0>0,所以-8y0-16=0,解得y0=4(负值舍去).所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D错误. 故选ABC. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度2　焦点弦 例4　已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),焦点为F. 甲:x1x2=; 乙:y1y2=-p2; 丙:=-p2; 丁:. 以上是“直线AB经过焦点F”的充要条件的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 必要性:设过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0)的直线为x=my+,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,由直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2), 则有y1y2=-p2,x1x2=(my1+)(my2+)=m2y1y2+m(y1+y2)+ =x1x2+y1y2=-p2=,由,故甲、乙、丙、丁都是必要条件; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 充分性:设直线AB的方程为x=my+t,则直线AB交x轴于点(t,0),抛物线焦点F(,0),将直线AB的方程与抛物线方程联立得y2-2pmy-2pt=0,由直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),得y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.对于甲,若x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=m2(-2pt)+tm·2pm+t2=,可得t=±,直线AB不一定经过焦点F,所以甲条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件;对于乙,若y1y2=-p2=-2pt,则t=,直线AB经过焦点F,所以乙条件是“直线AB经过焦点F”的充要条件;对于丙,=x1x2+y1y2=-2pt+t2 =-p2,可得t=或t=,直线AB不一定经过焦点F,所以丙条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 对于丁,==, 可得t=±,直线AB不一定经过焦点F,所以丁条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件.综上,只有乙正确,正确结论的个数为1.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则: (1)弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角). (2)以弦AB为直径的圆与准线相切. (3)过焦点且垂直于对称轴的弦(通径)的长为2p,通径是过焦点最短的弦. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4]设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x-2y+1=0与C交于A,B两点,且|AB|=4,则p=　　　　　.  2 解析 设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得y2-4py+2p=0,则 Δ=16p2-8p >0,又p>0,可得p>,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|=|yA-yB| ==4,即2p2-p-6=0,由p>,解得p=2. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度3　与抛物线有关的最值问题 例5　(2026·福建模拟)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由△FAB的周长为|AB|+|BF|+|AF|,若BD垂直抛物线准线于点D, 则|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|,而F(0,2),A(4,5),所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5,要使周长最小,即|AB|+|BD|最小,当且仅当A,B,D三点共线时,取最小值为7,所以最小周长为12.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练5](2025·福建漳州模拟)已知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点,则|PN|+|PF|的最小值为(　　) A. B.2 C. D.3 B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 过点P作PQ⊥抛物线C的准线l:y=-1于点Q,由抛物线定义可得|PQ|=|PF|,则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|, 当且仅当N,P,Q三点共线,NQ⊥抛物线C的准线,即xP=1时,|PN|+|PQ|有最小值2.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　阿基米德三角形 1.定义:如图所示,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作抛物线的切线交于点P,称△PAB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 2.常用性质: (1)阿基米德三角形底边上的中线MQ(M为AB中点)平行(或重合)于抛物线的对称轴. (2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线. (3)抛物线以C点为中点的弦平行于点Q的轨迹. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (4)若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点. (5)底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为. (6)若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹 为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p2. (7)点P的坐标为(),底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例1已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,过点A,B处的切线交于点P,若点P的横坐标为2,则直线AB的方程为(　　) A.x+2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x-4y+16=0 D.x+4y-16=0 C 解析 抛物线x2=16y的焦点F的坐标为(0,4),准线方程为y=-4,由题意知,△PAB为“阿基米德三角形”,可得点P必在抛物线的准线上,所以点 P(2,-4),直线PF的斜率为=-4.又因为PF⊥AB,所以直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=x+4,即x-4y+16=0.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1]若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.若直线l的方程为ax+by+c=0,抛物线方程为y2=2px(p>0),则定点的坐标为　　　　　.  (,-) 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 任取直线l:ax+by+c=0上的一点Q(x0,y0),则有ax0+by0+c=0, 即y0=-x0-,① 过点Q作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x), 把①式代入可得(-x0-)y=p(x0+x),即(-y-p)x0=px+y, 令解得可得弦AB所在的直线过定点(,-). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例2我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A,B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交点)叫作“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”,当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以下性质: ①点P必在抛物线的准线上; ②PA⊥PB; ③PF⊥AB. 已知直线l:y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的面积为(　　) A.8 B.4 C.2 D. A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,直线l:y=k(x-1)经过抛物线的焦点,依题意,k≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,|AB|=x1+x2+2=+2=8,解得k2=1,即k=±1,当k=1时,因为△PAB为“阿基米德三角形”,则直线PF斜率kPF=-1,直线PF方程为y=-x+1,点P必在抛物线的准线x=-1上,点P(-1,2),|PF|=2,又PF⊥AB,于是得S△PAB=|AB|·|PF|=8×2=8,由对称性可知, 当k=-1时,同理,S△PAB=8,所以△PAB的面积是8故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2]过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB又被称作阿基米德三角形,则△PAB的面积S的最小值为(　　) A. B. C.p2 D.p2 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的斜率不为0, 因为直线AB过焦点(,0),所以设直线AB的方程x=my+, 联立得y2-2mpy-p2=0,所以y1+y2=2mp,y1y2=-p2, |AB|==2p(1+m2). 由抛物线的性质可得过点A(x1,y1),B(x2,y2)的抛物线的切线方程为yy1=px+,yy2=px+, 考点一 考点二 考点三 教材衍展 联立得x==-,y==mp,即P(-,mp),所以点P到直线的距离d=,故S△PAB=|AB|d=p2,当且仅当m=0时等号成立,S△PAB取最小值p2. 故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $