第5节椭圆课件——2027届高三数学一轮复习

第5节　椭圆 1.椭圆的定义 (1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的　　　,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的　　　　.  (2)数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. 当2a>|F1F2|时,点M的轨迹是　　　　　　;  当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是　 ;  当2a<|F1F2|时,点M　　　　　　.  焦点 焦距 椭圆 线段F1F2 不存在 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图形     范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为　　　;短轴B1B2的长为　　　  焦距 |F1F2|=_____ 离心率 e=∈(0,1) a,b,c的关系 _______________________  2a 2b 2c a2=b2+c2 常用结论 1.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,长度为,是最短的焦点弦. 2.中点弦:椭圆=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦的斜率k=-. 3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)焦点三角形的周长为2(a+c). (2)|PF1||PF2|sin θ=b2tan=c|y0|. (3)当P为短轴端点时,θ最大,最大. (4)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c. (5)|PF1|·|PF2|≤()2=a2. (6)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.(　　) (3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.(　　) (4)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.(　　) × 解析 椭圆=1(a>b>0)的长轴长等于2a,故错误. √ √ × 解析 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,可知a=5,b=4,则椭圆的方程为=1或=1,故错误. 2.(多选题)(人A选一教材例题改编)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论错误的是(　　) A.长轴长为 B.离心率为 C.短轴长为 D.焦距为 ACD 解析 把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得=1,于是a=,b=,c=,则长轴长2a=1,焦距2c=,短轴长2b=,离心率e=故选ACD. 3.(人A选一教材习题改编)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式=4,则点M的轨迹是(　　) A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线 B 解析 =4表示平面内点M(x,y)到点(0,-3), (0,3)的距离之和为4,而3-(-3)=6<4,所以点M的轨迹是椭圆.故选B. 4.(人A选一教材习题改编)已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为(　　) A.2 B.3 C.5 D.7 D 解析 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=10-3=7.故选D. 5.(人A选一教材例题改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(,-),则它的标准方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 解析 由于椭圆的焦点在x轴上,故可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2,2a=+=2,所以a=,所以b2=a2-c2=10-4=6,所以所求椭圆的标准方程为=1.故选D. 6.(人A选一教材习题改编)已知椭圆过点(3,0),离心率e=,则椭圆的标准方程为　 .  =1或=1 解析 当椭圆的焦点在x轴上时,则a=3,,所以c=,从而b2=a2-c2=9-6 =3,所以椭圆的标准方程为=1.当椭圆的焦点在y轴上时,则b=3, ,所以,所以a2=27,所以椭圆的标准方程为=1.综上,椭圆的标准方程为=1或=1. 考点一　椭圆的定义及其应用 例1　(2025·广东深圳模拟)设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限,若△MF1F2为等腰三角形,则△MF1F2的面积为(　　) A.3 B.12 C.4 D.16 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由椭圆C:=1可得长半轴长a=6,短半轴长b=2,半焦距c=4. 因为M为C上一点且在第一象限,则|MF1|>|MF2|,由△MF1F2为等腰三角形,则可得|MF1|=|F1F2|=2c或|MF2|=|F1F2|=2c.当|MF1|=|F1F2|=2c=8时,|MF2|=2a-|MF1|=12-8=4,此时△MF1F2的面积为4=4;当|MF2|=|F1F2|=2c=8时,|MF1|=2a-|MF2|=12-8=4<|MF2|,不合题意,舍去.综上,△MF1F2的面积为4故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教考衔接 (人A选一教材例题)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?(当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合) 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0),由M是线段PD的中点,得x=x0,y=因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以=4.① 把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即+y2=1.所以点M的轨迹是椭圆. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](1)(2025·福建福州期末)已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点P在C上,∠PF1F2=90°,则△PF1F2的面积为(　　) A. B.2 C.2 D.4 A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 在椭圆C:=1中,a=3,b=,c=, 则|F1F2|=2,点P在椭圆C上,∠PF1F2=90°,所以|yP|=1, 则|F1F2|·|yP|=故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2026·山西太原模拟)已知点M是圆C:x2+y2-2y-31=0上的动点,A(0,-1),线段AM的垂直平分线与线段CM交于点Q,当点M在圆C上运动时,点Q的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=2 B.=1 C.=1 D.=1 B 解析 圆C:x2+(y-1)2=32的圆心C(0,1),半径为r=4,由题意可知|QM|=|QA|,又M是圆上的点,则|CM|=4,且|CM|=|CQ|+|QM|,则|QC|+|QA|=4>2,由椭圆的定义可知,点Q的轨迹是以C,A为焦点的椭圆,其中a=2,c=1,b=,则点Q的轨迹方程为=1.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　椭圆的标准方程 例2　(1)(2026·广西南宁模拟)中心为原点,焦点在x轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为4的椭圆方程为(　　) A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.x2+=1 B 解析 由题意可得a∶b=2∶1,即a=2b,又2c=4,即c=2,又a2=b2+c2,可得4b2=b2+12,解得a2=16,b2=4,所以椭圆方程为=1.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2026·江苏南通模拟)若方程=1-表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　) A.[4,5] B.(4,6) C.[5,+∞) D.(5,6) D 解析 椭圆方程=1-=1,因为上式表示焦点在y轴上的椭圆,则解得5<m<6. 故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求椭圆方程的两个基本方法 (1)定义法:根据椭圆的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置求出椭圆方程. (2)待定系数法:先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](1)(2025·江苏无锡期中)长轴长是短轴长的3倍,且过点(3,-1)的椭圆的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1或=1 D.=1 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题意可知,a=3b.若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为=1,将(3,-1)代入椭圆方程可得=1,解得b2=2,此时,椭圆的标准方程为=1;若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为=1,将(3,-1)代入椭圆方程可得=1,解得b2=,此时,椭圆的标准方程为=1.综上,椭圆的标准方程为=1或=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·江苏宿迁期末)若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(1,) C.(,2) D. (1,)∪(,2) B 解析 由题意可得2-k>k-1>0,解得1<k<故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　椭圆的几何性质 角度1　离心率 例3　(1)(2025·福建龙岩二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.若椭圆C上的点M满足|OM|=|MF1|, |F1F2|=|MF2|, 则椭圆C的离心率为(　　) A.2- B. C.2- D.-1 A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (1)如图,过点M作MN⊥OF1,垂足为N, 由|MF1|=|OM|,知|NF1|=|ON|=,所以|NF2|=c,而|F1F2|=|MF2|=2c,所以|MN|=,则|MF1|=c,由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=2a,即c+2c=2a,所以椭圆的离心率为e= =2-故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,若C上存在一点P满足|PF1|2=19|PF2|2,则C的离心率的取值范围是　　　 　　　.  [,1) 解析 因为|PF1|2=19|PF2|2,所以|PF1|=|PF2|,则2a=|PF1|+|PF2|=(+1)|PF2|,所以|PF2|=[a-c,a+c], 则e=,又0<e<1,所以C的离心率的取值范围是[,1). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求椭圆离心率(或其取值范围)的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](1)(2025·四川攀枝花三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长交椭圆C于另一点B,若|F1B|∶|AB|=4∶5,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由图可知AF2=a,BF1+BF2=2a,根据|F1B|∶|AB|=4∶5,可设|F1B|=4m,|AB|=5m,则4m+5m-a=2a⇒m=,所以|F1B|=,|AB|=,|F2B|=,在△BF1F2中,由余弦定理得=4c2+-2×2ccos∠F1F2B,根据Rt△AOF2,有cos∠F1F2B=-cos∠AF2O=-,代入上式可得=4c2++2×2ce=故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2021·全国乙,理11)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意,点B(0,b).设P(x0,y0),则=1,得=a2, ∴|PB|2=+(y0-b)2=a2-2by0+b2=--2by0+a2+b2,y0∈[-b,b].由题意知当y0=-b时|PB|2最大,∴--b,得b2≥c2,即a2-c2≥c2,∴离心率e=,即e 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度2　与椭圆有关的范围(最值) 例4　(1)(2021·全国乙,文11)设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　) A. B. C. D.2 A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一　消元转化法)由椭圆方程可得a=,b=1,故椭圆的上顶点为B(0,1).设P(x,y),则有+y2=1,故x2=5(1-y2),由椭圆的性质可得-1≤y≤1,则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4(y2+)+6=-4(y+)2+因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PB|2取得最大值,且最大值为,所以|PB|的最大值为 (方法二　利用椭圆的参数方程)因为点P在椭圆+y2=1上,所以可设点 P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π).易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=(cos θ)2+(sin θ-1)2=4cos2θ-2sin θ+2=-4sin2θ-2sin θ+6=-4(sin θ+)2+易知当sin θ+=0,即sin θ=-时,|PB|2取得最大值,所以|PB|max= 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,设点A(),则|MA|+|MF2|的最小值为(　　) A.4- B.2- C.4+ D.2+ A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题得F1(-1,0),F2(1,0),如图,连接MF1,由于|MF1|+|MF2|=2a=4,所以|MF2|=4-|MF1|,所以|MA|+|MF2|=|MA|+4-|MF1|=4+|MA|-|MF1|.因为||MA|-|MF1||≤|AF1|,当且仅当M,A,F1三点共线时等号成立,所以-|AF1|≤|MA|-|MF1|≤|AF1|,所以|MA|+|MF2|≥4-|AF1|=4- 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4](1)已知点A(1,1),F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上任意一点,则|PF1|+|PA|的取值范围是(　　) A.[3,5] B.[3,+∞) C.[3,] D.(,+∞) A 解析 设F2是椭圆=1的右焦点,则|PF1|+|PA|=2a+|PA|-|PF2|. 因为-|AF2|≤|PA|-|PF2|≤|AF2|,|AF2|==1,a=2, 所以3≤2a+|PA|-|PF2|≤5,则|PA|+|PF1|∈[3,5].故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.8 C 解析 由椭圆=1可得F(-1,0),设P(x,y)(-2≤x≤2),则= x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3=(x+2)2+2,-2≤x≤2,当且仅当x=2时, 取得最大值6.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　椭圆的第三定义 1.椭圆的第三定义 由人A选修一3.1.1例3,可引出椭圆的第三定义,平面内动点到两定点A1(-a,0),A2(a,0)(或A1(0,-a),A2(0,a))的斜率乘积等于常数e2-1,当0<e2<1时动点轨迹为椭圆. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 2.性质 (1)A,B为椭圆C:=1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,则有kPA·kPB=e2-1=-. 证明:设A(-a,0),B(a,0),P(x0,y0)(y0≠0), 则kPA·kPB=, 又因为=1,所以=b2(1-)=, 代入上式可得kPA·kPB==-=e2-1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知A,B是椭圆=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,点P在椭圆上.当直线PA,PB斜率存在时,则有kPA·kPB=e2-1=-. 证明:设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1), 所以=1,① =1,② ①-②得=-,所以=-, 所以kPA·kPB==-为定值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例已知椭圆C:=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得kMH·kNH∈(-,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为 (　　) A.(,1) B.(0,) C.(,1) D.(0,) A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题意,椭圆C:=1(a>b>0),可得M(-a,0),N(a,0), 设H(x0,y0),代入椭圆方程,可得(a2-),则kMH·kNH==-(-,0),即e2-1∈(-,0),即e2∈(,1).又因为0<e<1,所以e∈(,1).故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练](1)(2022·全国甲,理10)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称,若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率 为(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一)设P(x1,y1),则Q(-x1,y1),则由kAP·kAQ=得kAP·kAQ=,由=1,得,所以,即,所以椭圆C的离心率e=故选A. (方法二)如图,设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知kPB=-kAQ, 故kAP·kAQ=kPA·(-kPB)=-,由椭圆第三定义得kPA·kPB=-,故, 所以椭圆C的离心率e= 故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)已知A,B是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为　　　　　.  考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 如图所示,连接MB,因为M,N关于x轴对称,所以kMB=-kBN=-k2. 由椭圆的第三定义,得kMA·kMB=-k1·k2=-,所以k1·k2=所以|k1|+|k2|≥2=1,所以,所以离心率e= 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $