第八章　8.5　椭　圆-2027高中数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，覆盖定义、几何性质、标准方程等核心考点。对接高考评价体系，分析离心率、焦点三角形等高频考点权重，归纳定义应用、最值求解等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”，如通过焦点三角形面积计算实例，用余弦定理结合椭圆定义突破，培养数学思维。设置易错诊断和微点提醒，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导高考冲刺复习。

椭　圆 落实主干知识 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 常数 焦点 焦距 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 __________________ __________________ 顶点 _________________________________________ __________________________________________ 2.椭圆的简单几何性质 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 短轴长为 ，长轴长为___ 焦点 ___________________ ___________________ 焦距 |F1F2|=____ 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 离心率 ___________ a，b，c的关系 _________ 2b 2a F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 2c x轴和y轴 原点 e=(0<e<1) a2=b2+c2 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　) (3)+=1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　) 自主诊断 × × × √ 2.已知A(-1，0)，B(1，0)，对曲线C上的任意一点P恒有|PA|+|PB|=4，则C的离心率e为 A. B. C. D.2 √ 解析　由于|PA|+|PB|=4>|AB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 依题意，2a=4，2c=2，故a=2，c=1，则离心率为e==. 3.已知椭圆+=1(k>0)的一个焦点为F(0，1)，则k等于 A. B. C.5 D.3 √ 解析　由题意可知k2-2=12，又k>0，所以k=. 4.若椭圆C：+=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为 A.3 B.2+ C.2 D.+1 √ 解析　由题意知a=2，b=，所以c=1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3. 椭圆中常见结论： 如图，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2=θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c. (3)|PF1|·|PF2|≤=a2. (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a+c). 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(1)若F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为 A.4 B.8 C.10 D.20 √ 题型一　椭圆的定义及其应用 解析　∵椭圆方程为+=1， ∴a=5， ∵F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， A，B为椭圆C上两动点， ∴|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10， 又∵A，B，F1三点共线， ∴△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=20. (2)已知P是椭圆+=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是　　　　. 解析　在椭圆+=1中，a=2，b=，c=1， 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，|F1F2|=2， 在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，由余弦定理， 得4=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60° =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=16-3|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|=4，因此=|PF1|·|PF2|sin 60°=×4×=. 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2026·青岛检测)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为 A.+y2=1 B.+=1 C.-y2=1 D.x2-=1 √ 解析　因为圆M的圆心为M(-1，0)，半径r=4， 由题意知|QN|=|QP|，又|QP|+|QM|=r=4， 则|QN|+|QM|=4>|MN|=2， 所以点Q在以M(-1，0)，N(1，0)为焦点，2a=4的椭圆上， 由a=2，c=1，得b2=a2-c2=3， 所以点Q的轨迹方程为+=1. (2)已知椭圆C：+=1的左焦点为F，Q为椭圆C上任意一点，若点 H(1，1)，则|QH|+|QF|的最大值为 A.4 B.3 C.6 D.5 √ 解析　因为椭圆C：+=1， 所以a=2，b=，c=1，F(-1，0)， 则椭圆的右焦点为F'(1，0)， 由椭圆的定义得 |QH|+|QF|=|QH|+2a-|QF'|≤|HF'|+2a=5， 当且仅当点Q在HF'的延长线上， 即点Q在点Q'处时，取等号， 所以|QH|+|QF|的最大值为5. 例2　(1)中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2∶1，焦距为4的椭圆方程为 A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 题型二　椭圆的标准方程 √ 解析　由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则a∶b=2∶1，即a=2b， 又2c=4，即c=2， 联立并代入a2=b2+c2可得4b2=b2+12， 解得b2=4，则a2=16， 所以椭圆方程为+=1. (2)已知四点A，B(1，1)，C(0，1)，D中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为　　　　　. +y2=1 解析　因为要求椭圆E的标准方程，所以其图象关于坐标轴对称， 点A与点D关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上， 可知A，D两点必在椭圆上， 设椭圆E的标准方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)， 若点B(1，1)在椭圆上， 则方程组无解， 故点B不在椭圆E上， 解析　因此在椭圆E上的三点为A，C，D， 则解得 所以椭圆E的标准方程为+y2=1. 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为+ =1(a>b>0，m>-b2)；与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为+=λ或+=λ(a>b>0，λ>0). 思维升华 跟踪训练2　(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若∠F1MF2=，且△F1MF2的面积为，则椭圆C的标准方程为 A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 √ 解析　方法一　由题设=|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2=|MF1|·|MF2|sin=， 可得|MF1|·|MF2|=4，又M为上顶点， 则|MF1|=|MF2|=a=2，故|F1F2|= =2， 所以c=，则b2=a2-c2=1， 故椭圆C的标准方程为+y2=1. 解析　方法二　由题意得解得 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)过点A(-，3)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 　　　　. +=1 解析　方法一　∵椭圆方程为+=1， ∴=8，=4，=-=4， ∵椭圆的焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由两椭圆焦点相同，得c2==4， ∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 解析　方法二　由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(m>-4)， 代入点A(-，3)得+=1， 即m2+m-20=0，解得m=4或m=-5(舍去)， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 例3　已知m为实数，椭圆+=1的离心率为，则m等于 A.6 B.5 C.4 D.3 题型三　椭圆的几何性质 命题点1　离心率 √ 解析　因为该方程为椭圆方程， 所以m+1>0且m-2>0，解得m>2， 又m+1>m-2，所以a2=m+1，b2=m-2， 则c2=a2-b2=3，所以c=， 由题意得=，解得m=3. 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e=求解. (2)由a与b的关系，利用变形公式e=求解. (3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 思维升华 例4　(多选)已知椭圆+=1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则 A.的最大值为4 B.|PF1|的取值范围是[4-2，4+2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.|PB|的最大值为2 命题点2　与椭圆有关的范围(最值) √ √ 解析　对于A，依题意知a=4，b=2，c=2，当P为短轴端点时，()max=×2c×b=4，故A正确； 对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a-c，a+c]，即[4-2，4+2]，故B正确； 对于C，sin∠F2BO==(O为坐标原点)，所以∠F2BO=，所以∠F1BF2= ，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 解析　对于D，设P(x0，y0)， 所以|PB|=， 又+=1，所以=16-4， 所以|PB|= ==， 又-2≤y0≤2，故当y0=-时，|PB|max==，故D错误. 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质. (2)利用函数，尤其是二次函数. (3)利用不等式，尤其是基本不等式. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是 A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的面积可能为2 C.|PF1|·|PF2|的最大值为4 D.·的最小值为-2 √ √ √ 解析　选项A，由题意得a2=4，b2=1， 所以c2=a2-b2=3，则a=2，b=1，c=，所以离心率e==，故A正确； 选项B，当P位于短轴端点时，不妨取上端点， 则P(0，1)，此时△PF1F2的面积最大，且为×|F1F2|×1=×2×1=， 所以△PF1F2的面积最大为，不可能为2，故B错误； 选项C，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以|PF1|·|PF2|≤=4， 当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取等号，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，故C正确； 解析　选项D，设P(x0，y0)，由题意得F1(-，0)，F2(，0)， 所以=(--x0，-y0)，=(-x0，-y0)， 所以·=+-3， 因为P在椭圆上，所以+=1，且x0∈[-2，2]， 所以·=+-3=-2， 所以当x0=0时，·=-2的最小值为-2，故D正确. (2)已知椭圆C：+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　. 解析　设椭圆C的半焦距为c(c>0)， 则c==a， ==-1， 因为|AF2|∈[a-c，a+c]， 即|AF2|∈，所以-1∈， 即的取值范围是. 返回 课时精练 解析　由椭圆的定义可知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a， 由a2=7得a=，所以2a=2. 一、单项选择题 1.椭圆+=1上任意一点到两焦点的距离之和为 A.2 B.2 C.4 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 2.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为 A.(-3，+∞) B.(-2，+∞) C.(-1，+∞) D.(0，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，得2k+4>k+3>0， 解得k>-1， 所以k的取值范围为(-1，+∞). 3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，则a等于 A. B. C.1 D. √ 解析　由题可知解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　易知C(1，0)，点A在圆C内，设动圆P的半径为r，则r=|PA|，|PC|=4-r，∴|PC|+|PA|=4>|AC|=2，∴点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，故长半轴长为a=2，半焦距长为c=1，则短半轴长为b=，∴点P的轨迹 方程为+=1. 4.已知动圆P过点A(-1，0)，且与圆C：(x-1)2+y2=16内切，则点P的轨迹方程为 A.+=1 B.-=1 C.+=1 D.(x-2)2+y2=9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 5.椭圆C：+=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 A. B. C. D. √ 解析　由题意知A(-a，0)，设P(x，y)，Q(-x，y)， kAP·kAQ=·=，即=，则==， 所以椭圆的离心率e===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为 A.4 B.2 C.2 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　根据题意作图如图所示， 因为椭圆C的离心率e==，所以a=c.因为a2=b2+c2，则3c2=b2+c2， 所以b=c，所以椭圆C的蒙日圆的半径为==c. 因为MP⊥MQ，所以PQ为蒙日圆的直径，所以|PQ|=2c， 所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=20c2. 因为|MP|·|MQ|≤=10c2， 当且仅当|MP|=|MQ|=c时，等号成立， 所以△MPQ面积的最大值为|MP|·|MQ|=5c2.由△MPQ面积的最大值为10， 得5c2=10，则c=，a=，故椭圆C的长轴长为2a=2. 二、多项选择题 7.已知椭圆C：+=1，则 A.椭圆C的长轴长为8 B.椭圆C的焦点坐标为(0，±5) C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C上的点到焦点的最大距离为4+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于椭圆C：+=1，a2=16，b2=9，则a=4，b=3，c===. 对于A，椭圆C的长轴长为2a=8，故A正确； 对于B，椭圆C的焦点在y轴上，且c=， 则焦点坐标为(0，±)，故B错误； 对于C，离心率e==，故C正确； 对于D，椭圆C上的点到焦点的最大距离为a+c=4+，故D正确. 8.已知点P是椭圆+=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2=，则下列说法正确的有 A.△F1PF2的周长为6+2 B.△F1PF2的面积为2 C.点P到x轴的距离为 D.·=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 解析　因为|PF1|+|PF2|=2a=6，c==， 所以△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2，故A正确； 由余弦定理可得=+-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 变形为=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 即20=36-2|PF1|·|PF2|-|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|=6， 所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×6×=2，故B正确； 设点P到x轴的距离为d，则=·|F1F2|·d=2，所以d==，故C错误； ·=|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=6×=2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.已知椭圆+=1的焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=，则|MF1|=　　　. 5 解析　由N是MF1的中点，O是F1F2的中点， 则|MF2|=2|ON|=3， 由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=2×=8， 则|MF1|=8-|MF2|=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在两点P，Q关于原点对称，且满足·=，∠PF2Q=120°，则椭 圆C的离心率为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　连接QF1，QF2(图略)，由点P，Q关于原点对称，得四边形QF2PF1是平行四边形， 由∠PF2Q=120°，得∠F2PF1=180°-∠PF2Q=60°， 由·=，得||||cos∠F2PF1=，即||||=a2， 又||+||=2a，则||=||=a，因此△F2PF1为等边三角形，a=2c， 所以椭圆的离心率e==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.已知椭圆的中心为坐标原点，且经过P(-2，0)，Q(0，)两点. (1)求椭圆的标准方程； 解　因为椭圆经过P(-2，0)，Q(0，)两点， 可知椭圆焦点在x轴上，a=2，b=， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解　由(1)知长轴长为2a=4，短轴长为2b=2， 因为c==， 所以焦点坐标为(±，0)， 离心率为e===，左顶点(-2，0)，右顶点(2，0)，上顶点(0，)，下顶点(0，-)， 因为当x=±时，y=±，则通径长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.已知椭圆的中心为坐标原点，且经过P(-2，0)，Q(0，)两点. (2)求椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标以及通径的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知一动圆C与圆C1：x2+y2+6x+5=0外切，与圆C2：x2+y2-6x-91=0内切. (1)求动圆圆心C的轨迹方程； 解　圆C1：x2+y2+6x+5=0， 即(x+3)2+y2=4，圆心为C1(-3，0)，半径r1=2，圆C2：x2+y2-6x-91=0， 即(x-3)2+y2=100，圆心为C2(3，0)，半径r2=10， 设动圆C的圆心为C(x，y)，半径为r， 因为圆C与圆C1外切，与圆C2内切，且圆C1在圆C2内， 则|CC1|=2+r，|CC2|=10-r， 两式相加，可得|CC1|+|CC2|=12>|C1C2|=6， 所以动圆圆心C的轨迹是以C1(-3，0)，C2(3，0)为焦点的椭圆，且2a=12，2c=6， 可得a=6，c=3，则b2=a2-c2=27， 所以动圆圆心C的轨迹方程为+=1. 解　由(1)知，椭圆的方程为+=1，可得左焦点F1(-3，0)，且|AF1|=， 又由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF|=2a=12， 即|PF|=12-|PF1|， 所以|PA|+|PF|=|PA|+12-|PF1|≤12+|AF1|=12+， 如图所示，当且仅当P，A，F1三点共线且F1在A，P之间时，等号成立， 所以|PA|+|PF|的最大值为12+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知一动圆C与圆C1：x2+y2+6x+5=0外切，与圆C2：x2+y2-6x-91=0内切. (2)设动圆圆心轨迹上的一点为P，定点A(2，3)，F(3，0)，求|PA|+|PF|的最大值. 13.(多选)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列说法正确的是 A.椭圆的焦距为2 B.△PQF2面积的最大值是1 C.·的取值范围为[-1，2] D.以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PF1为直径的圆内切 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 解析　对于A，由椭圆C：+y2=1，可得a=2，b=1，则c==， 所以椭圆的焦距为2c=2，所以A正确； 对于B，设P(x1，y1)，可得Q(-x1，-y1)，其中|y1|≤1， 所以=2=2××|OF2|×|y1|≤， 所以△PQF2面积的最大值为，所以B错误； 对于C，由=+，=+，且=-， 则·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为1≤||≤2，可得1≤||2≤4， 又||2=c2=3，则-1≤3-||2≤2， 所以·的取值范围为[-1，2]，所以C正确； 对于D，连接PF1，取PF1的中点M，连接OM，则|OM|=|PF2|， 以椭圆的长轴为直径的圆的圆心为O，半径为2，以线段PF1为直径的圆 的圆心为M，半径为|PF1|， 由椭圆的定义得|OM|=|PF2|=(2a-|PF1|)=2-|PF1|，所以以椭圆的长轴为 直径的圆与以线段PF1为直径的圆内切，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法错误的是 A.椭圆C的离心率的取值范围是 B.当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2-，2+] C.存在点Q，使得·=0 D.+的最小值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意得a=2，又点P(，1)在椭圆C外，则+>1，解得b2<2， 所以椭圆C的离心率e==>，即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确； 当e=时，c=，b==1，所以|QF1|的取值范围是[a-c，a+c]，即[2-，2+]，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(-c，0)，F2(c，0)， 由A可知，b2<2，由于·=b2-c2=2b2-a2=2b2-4<0，即∠F1AF2为钝角，所以存在点Q，使得·=0，故C正确； (|QF1|+|QF2|)=2++≥2+2=4， 当且仅当|QF1|=|QF2|=2时，等号成立， 又|QF1|+|QF2|=4，所以+≥1，故D正确. 返回 $