8.5 椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质、离心率及直线与椭圆位置关系等核心考点。通过分析近五年高考真题，明确离心率计算（占比35%）、焦点三角形应用（占比28%）等高频考点，归纳定义法、待定系数法等常考题型，对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件亮点在于“真题母题+方法建模+素养提升”策略，如以2023全国甲卷焦点三角形问题为母题，通过余弦定理与椭圆定义联用，培养数学思维与运算能力。总结离心率“方程法”“几何法”等突破技巧，设“易错警示”专栏，助力学生掌握答题规律。教师可依托此课件精准定位学情，提升复习效率，帮助学生冲刺高分。

第5节　椭圆 高考总复习 2027 课标解读　1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题,会根据根与系数的关系及判别式解决问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册3.1.1节练习第1题)如果椭圆=1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是　　　　.  14 解析 由椭圆定义及方程,得|PF1|+|PF2|=2a=20,又|PF1|=6,所以|PF2|=14. 2.(人教A版选择性必修第一册3.1.2节例4改编)已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则它的离心率是　　　　　.  解析 把原方程化成标准方程,得=1,于是a=5,b=4,c=3. 所以离心率e=. 2.(人教A版选择性必修第一册3.1.2节例4改编)已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则它的离心率是　　　　　.  解析 把原方程化成标准方程,得=1,于是a=5,b=4,c=3. 所以离心率e=. 3.(人教A版选择性必修第一册3.1.1节例1改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(,-),则它的标准方程是　　　　　.  =1 解析 由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2, 2a=+=2, 所以a=. 所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以,所求椭圆的标准方程为=1. 知识梳理 1.椭圆的定义 (1)把平面内与两个定点F1,F2的距离的　　　等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　　　　,两焦点间的距离叫做椭圆的　　　　.  (2)数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且2a>|F1F2|,点M的轨迹是椭圆. 微点拨 当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M不存在. 和 焦点 焦距 2.椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点跟着分母大的跑 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图形     标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 简单几何性质 范围 　　　 　  -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴为　 　　,对称中心为　　　  顶点 A1　　　, A2　　　,  B1　　　, B2　　  长轴与短轴的交点叫椭圆的中心 A1　　　, A2　　　,  B1　　　, B2　　  轴 长轴A1A2的长为　　　,短轴B1B2的长为　　　  焦距 |F1F2|=　 　  离心率 e=∈(0,1) 越接近于1,椭圆越扁平;越接近于0,椭圆越接近于圆 原点 坐标轴 -a≤x≤a　 -b≤y≤b 　(-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b)　 (0,-a) (0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2c 微点拨 1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上. 2.求椭圆离心率e时,只要得出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1). 研考点•精准突破 考点一　椭圆的定义及应用 例1　(1)(2023·全国甲,文7)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|=(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 B 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 (方法1　直接利用二级结论)因为=0, 所以∠F1PF2=90°,从而=b2tan 45°=1=|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=2. (方法2　利用椭圆定义)由椭圆C:+y2=1,知a2=5,b2=1,则c2=a2-b2=4,即c=2,则|F1F2|=2c=4. ∵=0,∴PF1⊥PF2,即∠F1PF2=90°. 在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∵|PF1|+|PF2|=2a=2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2. ∴20-2|PF1|·|PF2|=16, 解得|PF1|·|PF2|=2.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形的周长为　　　　　.  4 解析 椭圆方程可化为y2+=1,显然焦点在y轴上,a=1,根据椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 所以△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　椭圆定义的应用 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)当点P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可建立|PF1|+|PF2|=2a与|PF1||PF2|之间的联系,通过整体代入可求其面积等. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](1)(2021·新高考 Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 C 解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则=3,则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知椭圆=1(a>)的两焦点分别为F1,F2.若椭圆上有一点P,使∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C. D.2 D 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,由点P在椭圆上可得m+n=2a.① 由余弦定理可得m2+n2-2mncos 120°=4c2,化简得m2+n2+mn=4c2.② 由①式两边平方再减去②式,得mn=4a2-4c2=4b2=8. 于是△PF1F2的面积为mnsin 120°=×8×=2.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　椭圆的标准方程 考向1　定义法 例2　[一题多变]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.因为2a=16,2c=8,所以a=8,c=4, b2=a2-c2=48. 故所求的轨迹方程为=1. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 AI变式 [变式](变条件)若将本例题条件中的“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”,其余不变,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　　　　　.  　=1 解析 设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(r-3)=10>8=|C1C2|,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.因为2a=10,2c=8, 所以a=5,c=4,b2=a2-c2=9. 故所求的轨迹方程为=1. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　待定系数法 例3　已知椭圆C:=1(a>b>0),直线l:x+2y-6=0与椭圆C交于M,N两点,与两坐标轴分别交于点A,B,且M,N是线段AB的三等分点,则椭圆C的方程 为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由直线l:x+2y-6=0,不妨设A(0,3),B(6,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1,y1-3),=(6-x2,-y2),=(6,-3),如图,因为M,N是线段AB的三等分点,则=(2,-1),=(2,-1), 则解得所以M(2,2),N(4,1). 又M,N两点在椭圆C上,所以解得所以椭圆C的方程为=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　求椭圆方程的方法与步骤 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2]过点(,-),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 C 解析 设所求椭圆方程为=1(k<9),将点(,-)代入,可得=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　椭圆的离心率 例4　(1)(2026·山东青岛第一中学期中)已知F1,F2是椭圆B:=1 (a>b>0)的左、右焦点,M为椭圆B上一点,点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上.若cos∠F1MF2=,则椭圆B的离心率为(　　) A. B. C. D. B 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由题意可知,MP⊥F1N,|MF1|=|MN|,|NP|=|F1P|=|F1N|,且(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=|MF1|+|MN|+|NF1|=4a,2∠F1MP=∠F1MF2, 所以|MF1|+|F1P|=|MF1|+|MF2|=2a⇒|F1P|=|MF2|. 因为cos∠F1MF2=, 所以=sin∠F1MP=, 所以|MF1|=3|F1P|,即|MF1|=3|MF2|. 又|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=,|MF2|=. 所以由余弦定理得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,即4c2=()2+()2-2×,所以a2=3c2,所以e2=,即e=.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值范围是(　　) A.(0,) B.(0,] C.(,1) D.[,1) D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 在△PF1F2中,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,如图. 根据余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncos 60°,配方得(m+n)2-3mn=4c2,所以3mn=4a2-4c2,所以4a2-4c2=3mn≤3·()2=3a2,当且仅当m=n时,等号成立,即a2≤4c2,故e2=,故可得≤e<1.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](1)(2025·福建龙岩模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.若椭圆C上的点M满足|OM|=|MF1|, |F1F2|=|MF2|,则椭圆C的离心率为(　　) A.2- B. C.2- D.-1 A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 如图,过点M作MN⊥OF1,垂足为N, 由|MF1|=|OM|,知|NF1|=|ON|=, 所以|NF2|=c,而|F1F2|=|MF2|=2c, 所以|MN|=, 则|MF1|=c. 由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=2a,即c+2c=2a,所以椭圆的离心率为e==2-.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)过椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的 取值范围是　　　　　　　　　.  (0,] 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由题设知,直线l:=1,即bx-cy+bc=0. 以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程, 得y=±,即圆的半径r=.又圆与直线l有公共点,所以,化简得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,所以e=.又0<e<1,所以0<e≤. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(十一)　椭圆的参数方程 1.焦点在x轴上的椭圆 (θ为参数); 2.焦点在y轴上的椭圆 (θ为参数). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例(1)若动点(x,y)在椭圆+y2=1上运动,则x+2y的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D.4 A 解析 设x=2cos θ,y=sin θ,则x+2y=2cos θ+2sin θ=2sin(θ+)≤2.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)椭圆x2+8y2=8上一点P到直线l:x-y+4=0的距离最小,则点P的坐标为　　　　,最小距离为　　　　.  (-) 解析 (方法1　几何法)设与l平行且与椭圆相切的直线l'的方程为x-y+m=0, 则由得9y2-2my+m2-8=0,Δ=4m2-4×9×(m2-8)=0,得m=±3,结合图形(图略)知,当m=3时,切点P到直线l的距离最小,此时9y2-6y+1=0,则y=,x=y-m=-,此时点P的坐标为(-),最小距离即为l与l'间的距离d=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法2　利用参数方程)椭圆方程可以化为+y2=1,设点P(2cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=,tan φ=2, 当θ-φ=时,dmin=,此时,sin φ=,cos φ=,则cos θ=-sin φ=-, sin θ=cos φ=,故点P的坐标为(-). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在点P满足=3c2,则椭圆离心率的取值范围是　　　　　.  [] 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 设P(acos θ,bsin θ),θ∈[0,2π],=(-c-acos θ,-bsin θ), =(c-acos θ,-bsin θ),=(-c-acos θ,-bsin θ)·(c-acos θ,-bsin θ) =a2cos2θ-c2+b2sin2θ=a2cos2θ-c2+(a2-c2)(1-cos2θ)=3c2. 化简得=cos2θ. 因为0≤cos2θ≤1,所以0≤≤1, 整理得≤()2≤,所以≤e2≤,又0<e<1,所以≤e≤. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练](1)曲线(θ为参数)的焦点坐标是(　　) A.(0,±4) B.(±4,0) C.(0,±3) D.(±3,0) A 解析 由题意两式平方相加,可得=1,故焦点坐标是(0,±4).故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)曲线(φ为参数)的离心率为　　　　　.  　 解析 由题意两式平方相加,可得=1,所以对于椭圆 =1,a=3,b=⇒c==2,所以曲线的离心率为e=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)椭圆=1上一点P到直线3x-4y=24的最大距离是　　　　　.  (2+) 解析 设点P的坐标为(4cos θ,3sin θ),则点P到直线3x-4y=24的距离d==,由-1≤cos(θ+)≤1, 得当cos(θ+)=-1时,d取得最大值为dmax=(2+). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $