山东省鄄城县2025－2026学年 下学期九年级一模考试数学试题

**基本信息** 聚焦初中数学核心素养，通过真实情境设计梯度化问题，考查抽象能力、推理意识与数据意识，适配一模诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约6题/40分|方程应用、三角形全等证明、数据统计分析|以社区垃圾分类数据为情境考查数据意识，结合折叠问题发展几何直观，通过多问设计体现运算能力与推理意识的递进|

九年级期中学业水平测试（2026年4月) 数学试题（答案） 一、选择题（每小题3分，共30分） 3 4 5 6 8 9 10 B B D 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.-1/3 12.0 13.2(x+3)x-3) 14.25 15.6.Z 16.386 17.(8分)解：r-2023)°+-V-2cos30+) =1+（3-)-2×9+2.4分 =1+V3-1-√3+2---.-6分 =2.- -8分 5x-1≤3(x+1)① 18(8分)【详解】解： 2x1+5xl>12 (2 4 解不等式①，得x≤2， -2分 7 解不等式②，得x> 9 -4分 7 所以原不等式组的解集为二<x≤2-7分 整数解：1,2. --8分 19.(8分)【解析】 【分析】(1)连接OC,利用三角形的外角定理得到：∠BOC=∠E+∠OCE=2∠E,因 为∠ABE=2∠E,可证明ABIlOC,因为AB⊥CD,进一步可得OC⊥CD; (2)分析可得：∠BCD=∠OCE=∠E,再利用同弧所对圆周角相等可知：∠A=∠E, 利用m∠EBD=1,即可求出B 【小问1详解】 证明：连接OC, E 0 B D OE=OC, ∴.∠E=∠OCE, :∠BOC=∠E+∠OCE, ∴∠BOC=2∠E, -1分 ,∠ABE=2∠E, .∠ABE=∠BOC, -2分 .ABl/OC, ,AB⊥CD, .OC⊥CD, -3分 ∴.CD是⊙O的切线： -4分 【小问2详解】 解：连接AC,BC, E 0 B D ,BE是⊙O的直径， ∴.∠BCE=90, .∠OCE+∠OCB=90°， -5分 :∠BCD+∠OCB=90°， .∠BCD=∠OCE, ,'∠OCE=∠E, ∠BCD=∠E,即：tan∠BCD=I-BD -6分 BD=1, .CD=3, -7分 :∠E=∠DAC, &tam∠DAC=方AD 1 CD AD=9, AB=8. 8分 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第(I)问证CD是⊙O的切线，关键是证 明OC⊥CD:第(2)问的关键是证明∠BCD=∠E,∠DAC=∠E 20解：由题意得，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有20×10%=2（人），在B组 中的数据有20×25%=5（人），在C组中的数据有7人， ∴.在D组中的数据有20-2-5-7=6（人）， ÷m%=7×100%=30%, 20 ∴.m=30, 由七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第10和11个数据，则落在C组数据的第 3和4个，分别是84,85， ·中位数a= 84+85 =84.5, 2 由八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是86， .b=86, 故答案为：84.5,86,30；（每空1分） -3分 【小问2详解】 解：360×7-126°， 20 故答案为：126： -5分 【小问3详解】 解：560×30%+500×5=293（人， -7分 20 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人.---8分 21.(8分)【详解】解：（1)：双曲线y=是上的一点A(m,n,过点A作ABLX轴于点 B, ..AB=n,OB=m, -1分 又，△AOB的面积是3， ÷2mm=3. m=6, 2分 :点A在双曲线y=冬上， ,k=n=6: -3分 (2)如图，延长DC交x轴于E, 由旋转可得△AOB≌△ACD,∠BAD=90°， ∴.AD=AB=n,CD=OB=m,∠ADC=90°， ,AB⊥x轴， .∠ABE=90°， ∴，四边形ABED是矩形， -4分 .∠DEB=90°， .'.DE=AB=n,CE=n-m,OE=m+n, ..C (min,n-m), -5分 ,点A,C都在双曲线上， ..mn=(m+n)(n-m), 即m2+mn-n2=0, -6分 方程两边同时除以n2,得 2+"-1=0. n n 解得”=-1±V5 -7分 2 ,'n>m>0, :m=-1+V5 -8分 n 2 B 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任 意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是；k,且保持 不变 22.(9分)解：(1)设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x,y万元 依题意得： +y=0.6,..2分 12x+3y=1.7 解得：x=0.1...3分 y=0.5 答：返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利0.1,0.5万元。.4分 (2)设A型设备销售m台，则B型设备销售（10-m)台， 依题意得：获利w=0.1m+(0.5-a)(10-m)=(a-0.4)m+5-10a....7分 ,科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，∴.a-0.4=0, 即a=0.4∴.a的值为0.4...9分 3(10分)解：(1)解：函数y=4的图象上存在点L2)的“k级变换点” 根据“k级变换点”定义，点(1,2)的“k级变换点”为(k,-2),...1分 把点(k,-2)代入y=-4中， 得k(-2k)=4,解得k=±√2....2分 ②证明：点为点4兮-2的k数变换点” “点B的坐标为 “直线4,1，的解析式分别为y=1x-2和y=- x+2k. 2 1 1 当x=m时，为-%2m-2-2 m2+2k=m2-2k-2. k≤-2， .-2k-2≥2...3分 .'2≥0， .m2-2k-2≥2. 乃-5≥2...5分 (3)解：由题意得，二次函数y=m2-4m-5n(x≥0)的图象上的点的 “1级变换点”都在函数y=-x2+4x+5n(x≥0)的图象上. 由-nx2+4nx+5n=-x+5,整理得x2-(4n+1)x+5-5n=0. :△=[-(4n+1)]-4n(5-5n)=36n2-12n+1=(6n-1)2≥0， .函数y=+4+5n的图象与直线y=-x+5必有公共点. 由y=-x2+4x+5n=-n(x-5)(x+1)得该公共点为(5,0).....7分 ①当n>0时，由(6-小+0得名 又5n≤5得n≤1， 1 .0<n≤1且n≠ 6….8分 ②当<0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去......9分 综上，n的取值范围为0<n≤1且n≠ 6 ....10分 24.(12分)(1)证明：选择小明的思路，如图1，过点BD/1AP交PC的延长线于点D, .BD//AP, .∠APC=∠D, 又：∠ACP=∠BCD, .△ACP∽ABCD,----1分 PA AC D 第25题图1 BD BC :PC是△PAB的角平分线， .∠APC=∠BPC, .∠BPC=∠D, .PB=BD, -2分 :44c -3分 PB BC 选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D,作CE⊥PB交PB于点E, 作PF⊥BC于点F, PC是△PAB的角平分线， .CD=CE,--1分 :SAPAC= AcD.8w-2BcB,成we号4cm,Se8cp 2 :BC.PF=PB.CE,PA.CD=AC.PF CE=BC.PF D PB PA.BC.P -=AC.PF, PB 第25题图2 PA AC ·PBBC -3分 (2)解：∠BAC=90°，AB=3,AC=4, BC=VAB2+AC2=V32+4=5,-4分 设BD=x,由(1)结论得，X3, --5分 5-x4 解得BD=15. 7 -6分 (3)解：AD为∠BAC的角平分线， AB、BD ∠BAD=∠DAC, AC CD △ABC中，AB=6,AC=4,BD=3, :63 ·4CD .CD=2,-7分 :AD的垂直平分线EF交BC延长线于F,AF=DF, .∠FAD=∠FDA, ∠FAD=∠FAC+∠DAC,∠FDA=∠B+∠BAD, .∠B=∠FAC, ∠AFB=∠CFA,.△FBA∽△FAC,-----8分 .ABAn AC CF g AF=6.---10分 (4)16 --12分初中九年级数学学习素养诊断测试 2026年4月 时间：120分钟总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置) 1上的相反数的倒数是（、) B.-5 c D.5 2.郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博 物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值，如图所示， 从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是() A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 正面 C.左视图与俯祝图相同 D.主视图、左视图、俯视图都相同 3.2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟酒入2870000请 求，90后占比达61%.文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家 的理解.“其中2870000用科学记数法表示为() A.0.287×10 B.0.287x10 C.2.87×10° D.2.87×10 4.有一个铁制零件〔正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的 左视图是() 5.下列运算正确的是( A.（-2a)2=4a B.aa= C.3a+a2=3a D.(a-b)2=a2-b 九年级数学试题第1页（共6页） 6.如图，线段AB是⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，如果 AB=6,AC=3,那么∠ADC的度数是() A.15 B.30 C.45 D.60 7.如图，己知直线a/b,直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=60°，则 ∠2的度数为 A.50 B.40 C.30 D.20 B 个人数 07121821数（本 第7题图 第8题图 第9题图 8.某学校为了鼓局学生多读书，开展了“书香校园“的活动.如图是初三某班班长统计的 全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的 中位数，众数和平均数分别是() A18,12,12B.12,12,12 C.15,12,14.8 D.15,10,145 9.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED,过点C作ED的垂线交对角 线BD于点M,垂足为F,若CE=CD=2,则DM的长为 A.1 B.2√2-2 c.2-5 D. 10。新定义：若函数图象恒过点(m,小，我们称(m,n)为该函数的水恒点”，如：一 次函数y=k(红-1k≠0)，无论k值如何变化，该函效图象机过点(1,0)，则点(1. 0)称为这个函数的“水恒点”，点P和点B分别为抛物线y=-m2-2r+3m>0) 的顶点和x轴正半轴上的水恒点”，设点B到直线y=x+3m(m>0)的距离为d, 设点P到直线y=mr+3m(m>0)的距离为d山，则兰的值为 d A.l B.5 c.5 D.2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分请把最后结果填写在答题卡的相 应区域内) 九年级数学试题第2页（共6页） 62,则6 11.若0=1 的值为 a+b 12.已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为 13.因式分解：2x2-18= 14.如右图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°.小明 按以下操作进行尺规作图：以A为圆心，任意长为半 径画弧，交AC、AD于点M、点N,分别以M、N 为圆心，大于二MN的长为半径画弧，两弧交于点H, 画射线AH交BC于点E;分别以点A、B为圆心， 大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、G点，作直线PG交AB于F,交BC于 D,连接AD.可以求得∠DAE 度 15.如右图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机 械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业.如 图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂 直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂， AB=5m,BC=2m,工作时，机械壁伸展 到∠ABC=143°.则A、C两点之间的距离 工作台 为.（结果精确到0.1m,参考数据 sin37°≈0.60，os37°≈0.80，tan37°≈0.75，√5≈2.24) 16.我们将如右图所示的两种排列形式 的点的个数分别称作“三角形数” (如1,3,6,10..)和“正方形数” 三角形数 （如1,4,9,16.)，在小于200 ●●● ●●● 的数中，设最大的“三角形数”为m, ●●。 ●，●●● 最大的“正方形数”n,则m+n的值 ●● ●●● 正方形数 为 九年级数学试题第3页（共6页) 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17.(8分)计算：(r2023)04l-V-2os30+⑤ 5x-1≤3(x+1) 18.(8分)解不等式组 2x-l+5x->1' 并写出所有的整数解， 2 4 19. (8分)如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长 线交于点D,连接BO并延长，与⊙O交于点E,连接EC,∠ABE=2∠E. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若an∠E=了BD=l,求AB的长. B D C 20.(8分)学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生 的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分， 用x表示，共分四组：A.60≤x<70:B.70≤x<80:C.80≤x<90:D.90≤x≤100)， 下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：84,84,84,85,85,87,88. 八年级20名学生竞赛成绩是：62,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86， 86,86,89,96,97,98,98,99. 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 年级 七年级 八年级 10% A 平均数 82 82 D B 25% 中位数 a 83 m% 众数 84 b C 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a=,b= ，川= (2)七年级所抽学生竟赛成绩中C组对应扇形的圆心角是 九年级数学试题第4项（共6页） (3)该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加 此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 21.（9分)如图。双曲找=冬上的一点A《m,,其中n>m>0.过点A作B上： 轴于点B,连接OA. (1)已知△4OB的面积是3，求k的值： (2)将△AOB绕点A逆时针旋转90得到△ACD,且点 O的对应点C恰好落在该双曲线上，求严的值。 22.(本小题满分9分)2023年9月，山东省出台38条指施支持民营经济高质量发展， 鼓励民营企业加快节能先进技术研发和推广应用。为积极响应响应省委省政府政策， 某民营科技公司推出助力数字农场”节能建设计划，计划对农场进行运利销售。返 利前，销售1台A型设各、1台B型设备共获利0.6万元，销售2台A型设备、3 台B型设备共获利1,7万元. (1)返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？ (2)某农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设 各销售方式不变，B型设备每台返利万元。在返利政策下，科技公司发现销售获 利与A型设备销售量无关，求a的值。（说明：科技公司销售获利=A型设备所获利 润+B型设备所获利润。) 23.(本小题满分10分)阅读理解与综合应用 阅读理解： 定义：平面直角坐标系xO中，点P叫a,b),点2(c,d),若c=a,d=-b,其中k为 常数，且k0,则称点Q是点P的k级变换点”.例如，点(-4,6)是点(23)的-2 级变换点” 综合应用：仔细阅读上面提供的信息，解决下面的问题 4 ()函数y=-二的图象上是否存在点(，2)的k级变换点？若存在，求出k的值：若 不存在，说明理由： 点宁-2与~k级变换点”分别在直线，4上，在，上分别取点 (m,y）.(m2,).若ks-2,求证：月-为22 九年级数学试题第5项（共6页） (3)关于x的二次函数y=2-4-5m(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的1级 变换点“都在直线y■-x+5上，求n的取值范国 24.(本小题满分12分) “联“是解决数学问愿的重要思维方式，角平分线的有关“联想“就有很多一 【问影提出】 ()如图1，PC是APAB的角平分线，求证：P4.4C PB BC 第24题图1 第24题图2 0 D 第24题图3 第24题图4 请写出完整的证明过程，以下解决问恩思路仅供参考、 思路1：联想平行线、等腰三角形”，过点B作BDPA,交PC的延长线于点D, 利用“三角形相似”， 更路2：联想“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，过点C分别作CD1P(交 PA于点D,作CE⊥PB交PB于点E,利用等面积法" 【理解应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90,AB=3,AC=4,AD平分∠B4C交BC 于D,求BD的长 【深度思考】 (3)如图3，△MBC中，AB=6,AC=4,AD为∠8AC的角平分线，AD的垂直 平分线EF交BC延长线于点F,连接AF,当BD=3时，求AF的长。 【拓展升华】 (4)如图4，AD是△MBC的角平分线，若BC=4,BD=2CD,请直接写出△MBC 的面积最大值。 九年级数学试题第6项（共6更）