精品解析：重庆市綦江区未来学校联盟2025-2026学年下期半期定时作业 八年级数学试卷

2025-2026学年下期半期定时作业 八年级数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵，∴这三条线段不能构成直角三角形； B、 ∵，∴这三条线段不能构成直角三角形； C、∵，∴，∴这三条线段能构成直角三角形； D、 ∵，∴这三条线段不能构成直角三角形． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和加法、除法法则，根据二次根式的性质和运算规则检查每个选项的计算是否正确即可． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，∴B错误． 对于C：∵，∴C正确． 对于D：∵，∴D错误． 故选：C． 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为，通过估算的取值范围，确定整体值的区间即可． 【详解】解：， 又，，且， ， ， 故选：C． 6. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（ ） A. 9 B. 22 C. 25 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得出规律第个图形中，黑色棋子的个数为，再令，计算即可得出结果． 【详解】解：第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； …， 第个图形中，黑色棋子的个数为， 故第7个图形中黑色棋子的个数为． 7. 如图，已知菱形的面积为96，对角线的长为16，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，建立适当的辅助线是解题的关键．连接，利用菱形的面积公式求出的长，再利用三角形的中位线定理求出长． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的面积为96，对角线的长为16， ， ， ，N分别为，的中点， ． 故选：D． 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①， ． ， 在正方形中，，， ． 在和中， ， ，故①正确； ②， ， 又，， ． 即，故②正确； ③过点作的延长线于点，如图， ，， ． 又， ． ， ． ， ， 即点到直线的距离为，故③错误； ④，， 在中，， ，故④正确． 综上所述，正确结论的序号为①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的相关知识，涉及整式的定义，绝对值的性质以及不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． 根据已知条件确定整式的各项系数，再逐一分析各个结论即可． 【详解】解：时，则， ∴， ∴， ∵，，，…，均为绝对值小于3的整数， ∴，， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴满足条件的整式之和为：，故②错误； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴满足条件的整式有个，故③错误； 由前面的分析可知，当时，有个；当时，有个；当时，有个， ∴满足条件的整式共有个，故④错误； 综上正确的只有①， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： ＝________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式= =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 12. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了以勾股定理为背景的计算，掌握正方形面积的计算，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意可得，由此即可求解． 【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6 ． 13. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据点在数轴正半轴即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴点表示的实数为． 14. 如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故答案为：5． 15. 如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作交于点，由矩形的性质得出，故判断出长的最小值为的对应长度，根据三角形面积公式可得，解出即可． 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 故长的最小值即为长的最小值， 当最小时，为的对应长度， 在中，，，， ∴， 结合三角形面积公式， 可得， 故， 解得， 即长的最小值为． 16. 对于一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是4的整数倍，则称M为“巳巳如意数”．如：四位数7313，∵，∴7313是“巳巳如意数”；四位数，∵，∴不是“巳巳如意数”，则最小的“巳巳如意数”为______ ；一个“巳巳如意数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，，若能被4整除，则满足条件的M的最大值为___ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义设四位“巳巳如意数”，根据题意可得，（为正整数），根据，得出的最小值为，进而求得百位和十位数字，即可求得最小的“巳巳如意数”；根据定义得出，求得，令，根据能被4整除得出能被4整除，进而根据最大，需尽可能大，进而将的值，从大到小进行验证，即可求解． 【详解】解：根据定义，设四位“巳巳如意数”，其中的整数，满足：，即；（为正整数）， ∴， ∴． 要使四位数最小，需千位尽可能小， 若，则，不符合各数位不为0的要求； 最小，得；接下来百位尽可能小，最小，由是4的倍数，得最小 因此最小的“巳巳如意数”为． ∵ ∴交换数位后得新数， 则：  故，代入得：  ∴ ∵能被4整除， 令，即能被4整除． 要使最大，需尽可能大，从最大开始验证： ，，式子为，，​不可能为整数，无解； ，，式子为​，代入 当时，，能被4整除，符合条件． 要使最大，尽可能大，，最大，得，因此． 综上，答案为和． 三、解答题（第17、18题各8分，19-25题各10分，共86分） 17.  计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再根据二次根式加减运算的法则进行计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行展开，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： （1）作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分，①__________ 在四边形中，， ②__________，， ③__________． ，． ，四边形是④__________， 又，四边形是菱形． 【答案】（1）图见解析； （2）；；；平行四边形． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，小于为半径画弧分别交、，再分别以交点为圆心，合适的半径画弧相交，连接点及该交点并延长交直线于点，连接即可； （2）结合角平分线定义和平行线性质推得，从而得到，，由对边平行且相等证得四边形是平行四边形，再结合即可得证． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：平分， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 四边形是④平行四边形， 又， 四边形是菱形． 19. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式即可得答案； （2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由已知： ， ， 故：原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【答案】学校应付费用3600元 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，证明得到，根据求出这块地的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， （元）． 答：学校应付费用3600元． 21. 如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 22. 某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】（1）巡逻艇的速度为每小时48海里 （2）此时该船只所在处C与的距离为海里 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； 【小问2详解】 解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 23. 我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． （1）已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； （2）如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①；②6 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据“双补四边形”的定义得到，，再根据角的大小关系可得到，则，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到，由勾股定理求出的长，进而可求出的长； （2）延长到P，使得，连接，可证明；根据“双补四边形”的定义得到，则可证明，证明，得到，再证明，得到，则可证明，再由，可得． 【小问1详解】 解：①∵四边形是“双补四边形”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：， 证明如下：如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，， ∴，即； ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∴． 24. 如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， （1）证明： （2）如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 25. 如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． （1）若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； （2）若的面积为8，请求出t的值； （3）如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值． 【答案】（1）2 （2）,或 （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，，，得到M应在线段上，N应在线段上，再根据运动速度表示、，列方程求解即可； （2）根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可； （3）将向左平移到，作关于对称的线段，.当三点共线时有最小值． 【小问1详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴动点M应在线段上，N应在线段上，. ∵在平行四边形中，，， ∴． 由题意得t秒后，，． ∴． ∴． 【小问2详解】 ①当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ②当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ③当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ∴综上可知,或． 【小问3详解】 如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,， ∴.， ∴当、、三点共线时有最小值． ∵，， ∴ ∴有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期半期定时作业 八年级数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 6. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（ ） A. 9 B. 22 C. 25 D. 19 7. 如图，已知菱形的面积为96，对角线的长为16，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： ＝________． 12. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为________． 13. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 14. 如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为________． 15. 如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______． 16. 对于一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是4的整数倍，则称M为“巳巳如意数”．如：四位数7313，∵，∴7313是“巳巳如意数”；四位数，∵，∴不是“巳巳如意数”，则最小的“巳巳如意数”为______ ；一个“巳巳如意数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，，若能被4整除，则满足条件的M的最大值为___ ． 三、解答题（第17、18题各8分，19-25题各10分，共86分） 17.  计算： （1）； （2）． 18. 在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： （1）作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分，①__________ 在四边形中，， ②__________，， ③__________． ，． ，四边形是④__________， 又，四边形是菱形． 19. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 21. 如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 22. 某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 23. 我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． （1）已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； （2）如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 24. 如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， （1）证明： （2）如果正方形的边长是4，求的周长． 25. 如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． （1）若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； （2）若的面积为8，请求出t的值； （3）如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $