广东深圳市龙岗区 2025-2026 学年九年级中考适应性考试数学试题

龙岗区2025-2026学年初三年级中考适应性考试 数学试题 说明：全卷共6页。考试时间90分钟，满分100分。答题前，请将姓名、学校和准 考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码。考试结束后， 请将答题卡交回。 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的 核心部分。下面选项中的窗芯是轴对称图形的是 D. 2.如图，所检测的4个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量 的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是 +0.9g -2.5g -0.8g -3.6g A. B D 3.下列运算正确的是 A.a2+a3=a3B.(a-1)2=a2-1C.(ab3)2=a2b3 D.a3÷a2=a 4.2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石（新型超硬材料)，其微观结 构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是 A.1080° B.900° C.720° D.540° 5.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架无人 机同时匀速上升。甲、乙两架无人机距离地面的高度y(单位：m)与 上升的时间x（单位：s)的对应关系如图所示。 y/m 下列说法正确的是 甲 A.起飞时甲、乙高度相同 B.甲无人机的上升速度更快 16 C.乙无人机的上升速度更快 x/s D.甲、乙两架无人机速度相同 (第5题图) 初三数学试题 第1页共6页 6.如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点APO 处滚向桌边P2,在PQ上的点B处反弹后，滚 向桌边S上的点C,再次反弹后滚入点2，共 反弹两次。若∠ABP=62°，则∠COR的度数为SC (第6题图) A.62° B.38° C.32 D.28° 7.《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五 人留。问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余 3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐。问共有多少人、多少条船？ 若设有x人，y条船，则可列方程组为 4y-x=3 4y-x=3 A. D 3y-5=x 3y-x=5 3y-x=-5 8.如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以O为圆心 的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别给1至5分。观 察图形，下列推断错误的是 探索学习能力 探索学习能力 解决问题能力 动手操作能力解决问题能力 动手操作能力 沟通合作能力 创新能力 沟通合作能力 创新能力 A.甲和乙的动手操作能力都很强B.探索学习能力不足是甲的短板 C.与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力 D.甲、乙各项评分之和相同 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.为落实深圳市体育中考政策，学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心 球、跳绳、篮球。小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可 能性相同)，则他恰好选中跳绳项目的概率是▲。 10.若关于x的一元二次方程x2+x-10=0的一个根为2，则m的值为▲。 初三数学试题第2页共6页 11.如图，在△AOB中，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4,点B在y轴上，将 △AOB绕O点顺时针方向旋转使得点A的对应点C落在y轴正半轴上， 则点B 的对应点D的坐标是▲。 B二 O (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上， 其中1格代表1个单位长度。反比例函数y=飞(k>0,x>0)的图象被撕掉 了一部分，已知点M,N均在格点上，则=▲。 13.如图，CD是△ABC的中线，CA=CD,将△BDC沿CD折叠得到△EDC, CE与AB交于点F。若∠BDE=9O°，则tanE=▲一。 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14.（8分)先化简，再求值：1+马+a+2a+1,其中aV27-c+2020°. 2 2a+2 15.(7分)深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体 育场馆于一体的综合性区域。某中学数学小组在某个周末随机选取100 名游客进行满意度调查。调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、 旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共 100分。数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息： 信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用 x表示(x≥60)，将满意度分数数据分成如下四组： 第1组60≤x<70, 小频数 第2组70≤x<80, 第3组80≤x<90, 第1组 第4组 第4组90≤x≤100。 第3组 第2组 36% 右边是满意度分数的频数 708090100 满意度分数/分 分布直方图和扇形统计图的部分信息。 图1 图2 初三数学试题 第3页共6页 信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如下表： 统计量 项目 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利 平均分 17.3 18.6 17.1 15.8 15.9 方差 2.1 0.9 1.3 1.5 5.6 结合以上信息解决下列问题： (1)将频数分布直方图补全； (2)这100个满意度分数的中位数位于第▲组； (3)据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万。请估计这8 万人中满意度分数不低于80分的人数； (4)请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量。 16.(8分)第二十二届中国（深圳l)国际文化产业博览交易会定于2026年5 月21日至25日在深圳国际会展中心举办。某文创商家为展会准备A、B 两款“深圳城市地标”纪念徽章。已知每件A款徽章比每件B款徽章贵 10元，用2000元购买的A款徽章与用1600元购买的B款徽章数量相同。 (1)求每件A款徽章与每件B款徽章的售价分别是多少元？ (2)若某公司计划花费不超过2800元，购置A、B两种徽章共60件，作 为员工奖品发放，则最多可以购买A款徽章多少件？ 17.（7分)综合与实践 项目主题 测量观景台高度 D 数学抽象 M B 活动准备 卷尺，测角仪。 在观景台旁边山坡AM上的点B处安装测角仪BC,测得观景 活动过程 台顶端点D的仰角为45°，测角仪BC与AM的夹角 ∠CBM=76°，已知AB=20米，BC-1.8米。 备注说明 ①BC与AD均垂直于地面AW;②sin760.97,cos76≈0.24。 任务1 求点B到地面AN的高度； 任务2 求观景台高度AD。 初三数学试题第4页共6页 18.(9分)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=60°，以点A为圆心，AC 为半径作⊙A交BC于点D。 (1)若BC-=2,求CD的长； (2)请利用尺规，在AB边上求作点E, 使得BE=DE; (不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (3)在(2)的条件下，连接DE, 求证：DE与⊙A相切。 (第18题图) 19.(10分)央视春晚的舞台上，A虹武术机器人凭借科技与武术的完美融合， 上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演。数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛 物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变。 信息2：如图1，以机器人起跳点0为坐标原点建立平面直角坐标系，当机 器人与点O的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米。 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式： (2)在O点正前方的水平地面上有一个正方形台阶ABCD,其中OA=5 米，AB=1米。 ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶ABCD,则机 器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯EF,其中OE-=2 米，OF=4米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为t米，跳跃后落 在台阶CD上（含点C、D),求t的取值范围。 E (图1) (图2) 初三数学试题 第5页共6页 20.(12分)综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足 两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直 四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”。 野 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC∠ACD=90°，AC平分∠BAD, 则四边形ABCD为“旋直四边形”，AC为“旋直分割线”。 【概念辨析】 (图1) ① ② ③ (1)用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中 是“旋直四边形”的有▲（填序号）； 【问题解决】 (2)如图1，在“旋直四边形ABCD”中，∠ABC-∠ACD=90°，AC为“旋 直分割线”。求证：(AD-AB)+BC2=CD; 【拓展应用】 (3)如图2，四边形ABCD是矩形，CE⊥AC, ∠EAC∠CAD,AE与BC交于点F。 1 (图2) 若SAACE-S△ACD a,求B 的值； 21 AD (4)如图3，在□ABCD中，AB=1,AD=4, cos B=1 二，点E是平面内一点，点F是AD边上一点， 若四边形ABEF是“旋直四边形”，AE是“旋直分割线”， EF与BC交于点G,求CG的长。 (图3) 初三数学试题 第6页共6页 九年级数学参考答案及评分建议 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B D A D 二、 填空题（每小题3分，共15分） 题号 9 10 11 12 13 答案 3 (,1) 4 三、解答题 14.解：原式=a+1a+1)2 …3分 a 2(a+1) a+12(a+1) a (a+1)2 …4分 =2, …5分 a ,a=3-1=2,… …7分 原式=2=1…8分 2 (评分建议：通分、完全平方公式、提公因式各1分，除变乘1分，约分1分，合5分； 的求值1个点1分，合2分；代值正确1分。) 频数 15.解：（1)如图所示；…2分 40 (评分建议：画对1个柱状国给1分，数字36和20没 32 28 有写的，不扣分；“如图所示”这句话没有写的不扣分。) 20 20 16 4 0 60 708090100 满意度分数/分 (2)3_ …4分 图1 (3)8×32+20 =4.16(万人)， …5分 100 答：估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数为416万人。…6分 (4)答案合理即可。…7分 如：旅游产品平均分最低，建议优化旅游产品的质量与性价比。 交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作。 16.(1)解：设每件B款徽章的售价为x元，则每件A款徽章的售价为(x+10)元， 由题意得：20001600 …2分 x+10x 解得：X=40,…3分 经检验，X=40是原方程的根，…4分 40+10=50(元)， 答：每件A款徽章的售价为50元，每件B款徽章的售价为40元。…5分 (2)解：设可以购买A款徽章α件，由题意得： 50a+40(60-)≤2800，…6分 解得：a≤0，……7分 答：最多可以购买A款徽章40件。…8分 (评分建议：设与答表述不完整的，扣1分。) 17.任务1：过点B作BE⊥AN于点E, 在Rt△ABE,AB=20,∠ABE=76°， c0s76°= BE BE AB 心0.24，…2分 20 D 解得：BE≈4.8， 答：点B到地面AN的高度约为4.8米。…3分 任务2：过点C作CF⊥AD于点F, 450 在Rt△ABE中，sin76°=AE→AE 0.97，…4分 AB 20 解得：AE≈19.4，… ……5分 N ,'∠DCF-45°，则△CDF为等腰直角三角形， .CF=DF=AE≈19.4，…6分 .∴.AD=AF+DF=BE+BC+DF=4.8+1.8+19.4=26, 答：观景台高度AD约为26米。…7分 (评分建议：计算过程中，“≈”号写成“=”号的，不扣分；答没有“约”字的，也不扣分。 矩形AECF的证明不作要求。) 18.解：连接AD, ,∠CAB=90°，∠C=60°，BC=2, AC=l,…1分 .AC=AD, .△ACD为等边三角形，…2分 .CD=AC=1。…3分 (2)点E如图所示；…6分 (评分建议：作图过程中，画成直线或虚线都不扣分，但“点E如图所示”没有写或者没有 标出点字母E,需扣1分。若学生作的是等角，酌情给分。) (3)(方法1) 证明：连接DE, .DE=BE ∠B=∠BDE=90°-60°=30°，…7分 由(1)可知△ACD为等边三角形， ∠ADC=60°，…8分 ∠ADE=90°，即AD⊥DE, ∴.DE与⊙A相切。 9分 (方法2) 证明：连接DE, .DE=BE, ∠B=∠BDE,…7分 .AC=AD, ∴∠C=∠ADC,… …8分 .∴.∠ADC+∠BDE=∠C+∠B=90° ∠ADE=90°，即AD⊥DE, .DE与⊙A相切。… …9分 19.(1)由题意可知抛物线的顶点为（2,2)，且过原点(0,0)，…1分 .设y=a(x-2)2+2,. …2分 将(0,0)代入得：0=a(0-2)2+2, 解得：a=一 1 六y=2(c-2)2+2；3分 (展开为y=-x+2x)(评分建议：若解析式展开错误，需扣1分。) 2 (2)设机器人向右平移m米，则 2=c-2-02+2,产 …4分 wC(6,1)代入得：1=26-2-+2，…5透 整理得：(4-m2=2, 解得：=4-V2,m,=4+V2(舍去)： 答：机器人至少需向右平移(4-√2)米。…6分 (评分建议：答若没有舍根，需扣1分。) (3)(方法1) 设直线EF的解析式为y=x+b,代入E(0,2),F(4,0)得 [b=2 /k=1 2， 4k+b=0b=2 即EF:y=- 1 X+2（0≤x≤4），…7分 设起跳点的坐标为：一 二t+2), “起跳点从(0,0)变为6-之+2)，则原抛物线的顶点(2,2)变为2+t2- t+2), 六新抛物线的解折为y=-号（K-2-1+2-1+2=-x-2-少+4-，…8分 2 2 2 当新抛物线经过点D(5,1)时，1=6-2-)+4-， :4:,4通 2 （舍去)… …9分 当新抛物线经过点C(6,1)时，1=-6-2-2+4-1， 解得：t=2,t,=5(舍去) 结合图象可得5-V13 ≤f≤20 …10分 E D O (评分建议：关于第(3)问，求出EF的直线解析式给1分，新抛物线的顶点坐标或解析 式表示正确给1分，不等式两端的值正确各给1分。不等式中，“<”写成“<”，不扣分。) 20.（1)②；…2分 (2)方法1： 证明：过点C作CE⊥AD于点E, ,AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD, D ∴.∠CAB=∠CAE, E 又，'∠B=∠AEC=90°，AC=AC, △CAB≌△CAE,…3分 ..BC=CE,AB=AE, DE-AD-AE-AD-AB. …4分 在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2, (AD-AB)2+BC2=CD2。… …5分 (评分建议：若由角平分线定理得“△CAB≌△CAE”,不扣分：但要注意是否有交待 “∠B=∠AEC=90°”，若无垂直条件需扣1分) D 方法2： 证明：延长DC交AB延长线于点F, ,AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD, .∴.∠CAB=∠CAD B 又，'∠ACD=∠ACF=90°，AC=AC, △ACD≌△ACF,…3分 ∴.CD=CF,AD=AF, BF=AF-AB=AD-AB,…4分 在Rt△BCF中，BF2+BC2=CF2, .(AD-AB)2+BC2=CD2。…5分 (3)方法1：过点C作CH⊥AE于点H, D ,矩形ABCD ∴.∠B=∠D=90°，AB=CD,AD∥BC :∠D=∠AHC=90°，A=∠2，AC=AC ∴.△ADC≌△AHC E (评分建议：△ADC≌△AHC的证明可以写成“由(2)可知”。) .CH-CD=AB. 1 SA4cg-S△4cD= …6分 :那8 .AD//BC, .∠3=∠1=∠2， ∴.AF-CF 又，∠B=∠CHF=90°，∠AFB=∠CFH, .△ABF≌△CHF, BF=FH,…7分 又.：∠3+∠FCE=90°，∠2+∠E=90°， ∠FCE=∠E, .'FC=FE, 设HE=a,则BF=FH=2a,EF=FC=AF-3a,BC-5a, ∴.AB=VAF2-BF2=√5a ABAB 5a5 …8分 AD BC 5a 5 (评分建议：若设HE-=1进行计算，不扣分。) 方法2：延长EC交AD延长线于点M, ,∠ACE=∠ACM=90°，∠1=∠2，AC=AC, ∴.△ACE≌△ACM, 1 .CE-CM,S△4Cg-S△AcD= SAABF→SACDM= -SAABF .DM= …6分 ,矩形ABCD, Da M ..AB-CD,AD=BC,AD//BC, ∴.∠EFC=∠EAM,∠ECF=∠M, 2a F ∴.△ECF△EMA, 设DM=a,则BF=2a, E Cn 1 CF 1 AM2CF+2a+a2 →CF=3a,AD=2a+3=5a,…7分 ,∠ADC=∠CDMF90°，∠MCD+∠ACD=∠1+∠ACD=90°， ∴.∠1=∠MCD, ∴△MDC∽△CDA, :DM-cDa=cD→cp=5a CD AD CD 5a :AB-CD a …8分 ADAD 5a 5 (评分建议：若设BM=1进行计算，不扣分；由于此问为区分度（压轴）较大的问，关于“全 等”或“相似”的证明要求可以降低，只要思路正确，答案正确，即可按点给分。) (4)①当AE平分∠DAB时，“旋直四边形ABEF”如图所示， 作FM⊥BE,EN⊥AD,垂足分别为M,N。 则AN=AB=1,∠NEA=∠BEA,FM/AB, ∴.∠FEN=∠FEM,四边形ABHF为平行四边形， 又，'∠FNE=∠M=90°，EF=EF .'.△FEN≌△FEM, 3a ∴.FN=FM,∠NFE=∠MFE cosB=cos∠B0M=1,设Ma B 则BH=AF=3a, ∴.由FN=FM得3a-1=1+a,解得=1，即AF=BH=3,CH=1,…9分 ,'∠FGH∠NFE=∠MFE .FH-HG=1, CG=2;…10分 ②当AE平分∠FEB时，“旋直四边形ABEF”如图所示， 则∠AEB=∠AEF,AE⊥AD,记AE与BC相交于点N, ,AD/BC,则AE⊥BC, 又，'EN=EN, .'.△ENG≌△ENB, G .BN=GW。 E LL- B 1 BN ,cos∠ABC=2= 1 →BN=,, ……11分 3 AB 3 ∴.BG=2BN 3 3 :cG=433 210 综上，CG10或2。…12分 3 (评分建议：关于第(4)问，能画出“旋直四边形ABEF”的图可给1分（画出三个也只 给1分)；能求出“后1”或“AF=3”可给1分；两个答案如果正确，则一个可给2分。过 程可简略，不必过于具体要求。如采学生把EF与BC当成直线。算出最终答案也是两个答 案，不影响评分） 第三种情况如下： ③如图，当AE平分∠DAB且EF⊥AD时，“旋直四边形ABEF”如图所示， 延长AE交BC于点M,延长FE交BC于点G,作MN⊥AB于点N, ,∠AFE=∠AEB=∠EGB=90°，则可证△AFE∽△AEB∽△EGB, '.∠ABE=∠MBE, ·∴.BE垂直平分AM,即BMAB=1,△AEF≌△MEG, '.'cos ABC= ,则B1, A2 w=22 M 3 3 在Rt△AN, 22225 +3 3 由等面积法求得SABM AM.BE AB-M=25BB=1×25,即BB=6 2 2 3 3 3 由△AEB∽△EGB,可得 C=BE→BG=BB?.AB=2 BE AB 3 CG=4-2=10。 3Γ3