精品解析：2025年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学二模试卷

2025年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是几种著名数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 如图，已知且与不垂直，则与相等的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 据专业数据统计，截至4月14日16时01分，电影《哪吒之魔童闹海》上映76天，全球票房亿，距离全球影史TOP4《泰坦尼克号》不到8亿．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C. D. 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 6. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 7. 如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（ ）（参考数据：） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 写出一个以为根的一元二次方程：______． 10. 若是一个整数．则n可取的最小正整数是______． 11. 如图，在矩形中，， ，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留π） 12. 如图，两块直角三角尺叠放于平面直角坐标系中，，反比例函数恰好经过点C，若的面积为，则______． 13. 如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则长是__________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 14. 计算： 四、解答题：本题共6小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 2024年秋季学期伊始，深圳市教育局在全市义务教育阶段3年级5年级（部分学校扩展至初中阶段）推出了“每周半天计划”，巧妙融合校外课程与深度阅读，旨在深化教育内涵，全方位促进学生健康成长与全面发展．开设一段时间后，为了解对课程的期待情况，对下列课程进行了抽样调查：A甘坑小凉帽制作；B梧桐山生态寻踪；C蛇口母港探索海洋奥秘；D东江环保科普基地；E百草园认识中草药材．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，某街道共有10800名学生准备参加“每周半天计划”，请估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数； （3）甲学校准备从A、B、D三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，乙学校从B、D、E三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 17. 新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 18. 如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． （1）尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 19. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 （1）柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； （2）求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； （3）如图所示，为了增强喷泉喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 20. 【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形“对动线”，折线的长叫做对动线的长． （1）如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． （2）如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． （3）平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，已知且与不垂直，则与相等的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键. 3. 据专业数据统计，截至4月14日16时01分，电影《哪吒之魔童闹海》上映76天，全球票房亿，距离全球影史TOP4《泰坦尼克号》不到8亿．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：亿 故选：A 4. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案． 【详解】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意； B．由此作图可知BA=BP，不符合题意； C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意； D．由此作图可知PA=PC，符合题意. 故选D． 【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键. 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数． 【详解】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选：C． 6. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， 根据概率公式可得 ，， 解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 7. 如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 8. 航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（ ）（参考数据：） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， （千米）， 天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 写出一个以为根的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若是一个整数．则n可取的最小正整数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个整数， ∴最小正整数n的值为5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 11. 如图，在矩形中，， ，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，用矩形的面积减去扇形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】在矩形中，，， ， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12. 如图，两块直角三角尺叠放于平面直角坐标系中，，反比例函数恰好经过点C，若的面积为，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】依据题意，过点C作轴，垂足为E，由的面积为，则，设，从而，然后解含角的直角三角形，依次求出的长，再求出的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标． 【详解】解：过点C作轴，垂足为E， 的面积为， 设，则， ， ∴， ， ，，， ， 在中，，即， 在中，， ∴，即，同理，即， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，证明，设，则，根据勾股定理，得，解得，，利用三角函数解答即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，将沿翻折到处，再将沿翻折到处， ∴，，， ∴， ∴ ∴三点共线， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得，， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴ 解得， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 14. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根，零指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的计算和化简，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 2024年秋季学期伊始，深圳市教育局在全市义务教育阶段3年级5年级（部分学校扩展至初中阶段）推出了“每周半天计划”，巧妙融合校外课程与深度阅读，旨在深化教育内涵，全方位促进学生健康成长与全面发展．开设一段时间后，为了解对课程的期待情况，对下列课程进行了抽样调查：A甘坑小凉帽制作；B梧桐山生态寻踪；C蛇口母港探索海洋奥秘；D东江环保科普基地；E百草园认识中草药材．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，某街道共有10800名学生准备参加“每周半天计划”，请估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数； （3）甲学校准备从A、B、D三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，乙学校从B、D、E三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】（1）200人 （2）1080人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数． （2）先求出扇形统计图中B的百分比，再根据用样本估计总体，用10800乘以扇形统计图中B的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为（人）． 故答案为：200人． 【小问2详解】 解：由题意得，扇形统计图中C的百分比为， 扇形统计图中B的百分比为， 估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数约（人）． 【小问3详解】 解：列表如下： B D E A B D   共有9种等可能的结果，其中他们选择相同课程的结果有2种， 他们选择相同课程的概率为． 17. 新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 【答案】（1）； （2）当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元； （3） 这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元 【解析】 【分析】（1）依据题意，由每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，则可设降价为x元，故销量增加量为千克，从而总销量为千克，又此时售价变为元/千克，进而可以计算得解； （2）依据题意，结合，从而可以结合二次函数的性质判断得解； （3）依据题意，令，则或，又二次函数的图象开口向下，结合该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 【详解】解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克， 设降价为x元，则销量增加量为千克 总销量为千克． 又此时售价变为元/千克， 销售额y与x的函数关系式为： （2）由题意，结合 当时，y取最大值，最大销售额为720元． 答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元． （3）由题意，令， 或 二次函数的图象开口向下， ∴时，， ∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，， ∴， 对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元． 18. 如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． （1）尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 【答案】（1）如图1，为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件； （2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于与之间的图形的面积进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过O点作于Q点，于P点，连接， 则，， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理， 该圆位于与之间的图形的面积 ． 19. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 （1）柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； （2）求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； （3）如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 【答案】（1）， （2）喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为： （3）6； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是掌握并能灵活应用知识解决问题． （1）代入，求得的高度，利用二次函数顶点坐标公式求出的最大值即可； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，对称轴关于y轴对称，据此求出左侧抛物线的解析式； （3）①先求出新的过点的抛物线解析式，再求出它与轴正半轴的交点，结合整数要求确定水池半径； ②设过点的直线解析式为，射灯照射出的光线穿过三段水流，两个临界状态分别是直线过G点和直线与新抛物线相切时，求出临界状态时相应的正切值，进而得到正切值的范围． 【小问1详解】 解：当时，； ， 故答案为：，； 【小问2详解】 两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：， ∴设轴左侧的抛物线的解析式为：， ∵两条抛物线关于轴对称， ∴两条抛物线对称轴关于y轴对称， ∴， ， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 根据题意，， 右侧原抛物线， ∵新抛物线与原抛物线形状大小相同， ∴设新抛物线为， ∵过点，且顶点纵坐标为， ∴ 解得：，（舍掉，与原抛物线重合）， 则， 故新抛物线解析式为： ， 令，得 解得：（舍）， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为6米； ②设过点的直线解析式为， 射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态， 设切点为，作轴，轴， 当直线过G点时，在中，， 当直线与新抛物线相切时， ， 即， ∵直线与新抛物线相切， ∴， （舍）， 此时抛物线与直线切点为， ∴此时，在中，， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是． 20. 【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． （1）如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． （2）如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． （3）平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】（1） （2） （3）或或或或或或或． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，在中根据勾股定理求出的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． （2）通过延长和交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得，即可由求出结论． （3）根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． 【小问3详解】 解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，分类讨论是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $