2026年中考数学复习讲义专题3.1线与角、相交线与平行线（题型归纳+知识梳理+常考题型）.

专题3.1线与角、相交线与平行线中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 线段公理、中点及线段和差计算。 度分秒 60 进制换算，余角、补角、对顶角、邻补角性质与角度计算。 垂线定义、垂线段最短及其实际应用。 精准识别同位角、内错角、同旁内角。 平行线三大判定定理、三大性质定理。 平行线间距离特征，平移的线段、角度、图形不变性。 二、考情分析 题型：以选择、填空为主，分值固定；偶尔作为简答基础证明，常为几何大题铺垫。 难度：整体基础送分题，难点集中在三线八角识图、平行线拐点模型、折叠与三角板拼接综合求角。 高频考向：度分秒换算、余补角及对顶角求角、垂线段实际应用、平行线性质与判定计算、拐点模型、折叠 + 三角板结合求角、平移性质求值。 命题特点：立足教材基础，常结合直尺三角板、图形折叠、生活场景命题，侧重几何识图与简单逻辑推理。 题型归纳 题型1直线、射线、线段的定义 题型2线段中点的有关计算 题型3线段之间的数量关系 题型4与线段有关的动点问题 题型5最短路径问题 题型6角的相关概念 题型7钟面角与方向角 题型8角的度数大小比较 题型9实际问题中角度计算问题 题型10角平分线有关计算 题型11余角和补角 题型12角n等分线的有关计算 题型13相交线及其所成角度的计算 题型14垂线段最短 题型15点到直线的距离 题型16同位角、内错角、同旁内角 题型17根据平行线的判定与性质求角度 题型18根据平行线的判定与性质证明 题型19根据平行线的性质探究角的关系 题型20平行线的性质在生活中的应用 考点梳理 考点1.直线、射线、线段 （1）直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． （2）相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交．这个公共点叫做它们的交点． （3）两点的所有连线中，线段最短． 简称：两点之间，线段最短． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （4）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点． （5）直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量． 考点2.角 1、邻补角与对顶角（1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边． （2）角的度量 1°=60′，   1′=60″        （3）角的分类 ①锐角（0°< α < 90°） ②直角（α = 90°） ③钝角（90°< α < 180°） ④平角（α =180°） ⑤周角（α =360°） （4）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． （5）角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （6）余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角． 性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角． 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角． 对顶角相等． 考点3.垂线 （1）定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （4）、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角． 考点4.平行线 （1）定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线． （2）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （3）平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． （4）平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 核心考点解析 题型1直线、射线、线段的定义 1．下列说法中，正确的有（    ） ①经过两点有且只有一条直线； ②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ④两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中大于直角的那个角叫做这两条直线的夹角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各图中，表示“延长线段”的是（    ） A． B． C． D． 3．已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为______． 4．在方格纸中，已知点、、、都在格点上，每个小正方形的边长都为1．用直尺、圆规按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)按要求画图：①画直线；②画射线； (2)连接，在射线上作线段，使； (3)在直线上确定一点，使的和最小； (4)比较线段大小：__________．（填“”或“”或“”） 题型2线段中点的有关计算 1．如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B． C．若，则点是线段的中点 D．晚上8点整，钟表的时针与分针的夹角是120° 3．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 4．如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 题型3线段之间的数量关系 1．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 4．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 题型4与线段有关的动点问题 1．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（    ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 4．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 题型5最短路径问题 1．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 2．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 4．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．在图①中按要求，作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求： (1)线段的长为___________； (2)在图中的线段上找两点，使，且的值最小． 题型6角的相关概念 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 2．下列语句中正确的是（　　）． A．角的边越长，这个角越大 B．互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，那么互为补角 3．如图，三角形被直线截去了，则的度数为___________． 4．如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 题型7钟面角与方向角 1．实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某港口O观测到货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 3．钟表是日常生活中的计时工具．我们观察钟表可以发现钟表中有许多有趣的数学问题．钟表从开始，设分针经过分钟与时针所成的锐角为，则的最小值为________分钟． 4．如图，三地在同一直线上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，在的北偏西方向，且，求与之间的距离． 题型8角的度数大小比较 1．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知的余角是，的补角是，则_____ （填“”、“”或“”）． 4．如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 题型9实际问题中角度计算问题 1．如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的度数为______． 4．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 题型10角平分线有关计算 1．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，有下列结论：①若，则；②；③；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 4．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 题型11余角和补角 1．如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（  ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角尺与一个直尺按照如图所示的方式放置，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，为过点的一条直线，过点作于点，且，则的度数_______． 4．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 题型12角n等分线的有关计算 1．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 4．如图，在中，，点，分别在和上． (1)当平分，平分时，求证：； (2)如果，，那么吗？如果，呢？由此你能得到一个什么结论？ 题型13相交线及其所成角度的计算 1．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与相交于点E，，，则的度数为________． 4．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 题型14垂线段最短 1．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是（   ） AI A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．垂线段最短 2．如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 3．如图，在中，，，为边上的一个动点，过点作于点，于点，则长的最小值为________． 4．如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 题型15点到直线的距离 1．下列命题中正确的个数有（    ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 3．在边长为的正方形中，点在直线上，点到直线的距离为，则线段的长为_____． 4．某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 题型16同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是同旁内角 2．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 4．如图为某巷子的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点和“丁字路口”点，经过测量已知． (1)与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 题型17根据平行线的判定与性质求角度 1．如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，则______． 4．如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型18根据平行线的判定与性质证明 1．直角三角形和直角三角形位置如图，，交于F，，，，下列结论中不正确的是（  ） A． B． C．如果，则有 D．如果，则有 2．如图，在中，，．现将沿方向平移得到，与相交于点D，若点恰好在的平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，、分别平分外角，内角．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是_____（填序号）． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型19根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，直线、被直线所截，且，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 4．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 题型20平行线的性质在生活中的应用 1．武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．我们的祖先在两千多年前运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥（）子（用于称量贵金属，药材，香料等）．某杆秤称物时状态如图所示，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 4.2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1线与角、相交线与平行线中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 线段公理、中点及线段和差计算。 度分秒 60 进制换算，余角、补角、对顶角、邻补角性质与角度计算。 垂线定义、垂线段最短及其实际应用。 精准识别同位角、内错角、同旁内角。 平行线三大判定定理、三大性质定理。 平行线间距离特征，平移的线段、角度、图形不变性。 二、考情分析 题型：以选择、填空为主，分值固定；偶尔作为简答基础证明，常为几何大题铺垫。 难度：整体基础送分题，难点集中在三线八角识图、平行线拐点模型、折叠与三角板拼接综合求角。 高频考向：度分秒换算、余补角及对顶角求角、垂线段实际应用、平行线性质与判定计算、拐点模型、折叠 + 三角板结合求角、平移性质求值。 命题特点：立足教材基础，常结合直尺三角板、图形折叠、生活场景命题，侧重几何识图与简单逻辑推理。 题型归纳 题型1直线、射线、线段的定义 题型2线段中点的有关计算 题型3线段之间的数量关系 题型4与线段有关的动点问题 题型5最短路径问题 题型6角的相关概念 题型7钟面角与方向角 题型8角的度数大小比较 题型9实际问题中角度计算问题 题型10角平分线有关计算 题型11余角和补角 题型12角n等分线的有关计算 题型13相交线及其所成角度的计算 题型14垂线段最短 题型15点到直线的距离 题型16同位角、内错角、同旁内角 题型17根据平行线的判定与性质求角度 题型18根据平行线的判定与性质证明 题型19根据平行线的性质探究角的关系 题型20平行线的性质在生活中的应用 考点梳理 考点1.直线、射线、线段 （1）直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． （2）相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交．这个公共点叫做它们的交点． （3）两点的所有连线中，线段最短． 简称：两点之间，线段最短． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （4）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点． （5）直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量． 考点2.角 1、邻补角与对顶角（1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边． （2）角的度量 1°=60′，   1′=60″        （3）角的分类 ①锐角（0°< α < 90°） ②直角（α = 90°） ③钝角（90°< α < 180°） ④平角（α =180°） ⑤周角（α =360°） （4）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． （5）角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （6）余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角． 性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角． 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角． 对顶角相等． 考点3.垂线 （1）定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （4）、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角． 考点4.平行线 （1）定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线． （2）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （3）平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． （4）平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 核心考点解析 题型1直线、射线、线段的定义 1．下列说法中，正确的有（    ） ①经过两点有且只有一条直线； ②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ④两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中大于直角的那个角叫做这两条直线的夹角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①经过两点有且只有一条直线，是直线的基本公理，该说法正确； ②该说法缺少“在同一平面内”的前提，说法错误； ③点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，说法错误； ④两条直线夹角的范围是大于且不大于，不是大于直角的角，说法错误； ∴只有1个说法正确． 2．下列各图中，表示“延长线段”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了线段，射线，直线的表示方法，准确识图，熟练掌握线段，射线，直线的表示方法是解决问题的关键．根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．此图表示线段，故A不符合题意； B．此图表示既延长线段，也延长线段，故B不符合题意； C．此图表示延长线段，故C不符合题意； D．延长线段，故D符合题意． 故选：D． 3．已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了线段之间的和、差．根据已知得出，由此求出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：如图，反向延长线段到点，使，再延长到点，使． ∵线段，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 4．在方格纸中，已知点、、、都在格点上，每个小正方形的边长都为1．用直尺、圆规按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)按要求画图：①画直线；②画射线； (2)连接，在射线上作线段，使； (3)在直线上确定一点，使的和最小； (4)比较线段大小：__________．（填“”或“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)． 【分析】本题考查了画射线，画直线，画线段，两点之间线段最短以及线段长短的比较； （1）根据直线和射线的定义，画出图形，即可求解； （2）根据题意，在射线上，截取，即可求解； （3）设交于点，根据两点之间线段最短可得，的和为的长，则点即为所求； （4）根据网格可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线；射线，即为所求 （2）解：如图所示，线段，即为所求 （3）解：设交于点，根据两点之间线段最短可得 的和为的长，此时最小 （4）解：根据网格可得     ∴， 故答案为：． 题型2线段中点的有关计算 1．如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据中点定义由求出，由求出，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵E为的中点，， ∴， ∵D为的中点，， ∴， 在中，， ∴．. 2．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B． C．若，则点是线段的中点 D．晚上8点整，钟表的时针与分针的夹角是120° 【答案】D 【分析】本题结合射线定义、度分单位换算、线段中点定义、钟表夹角计算方法，逐个判断选项正误即可得到结论； 【详解】对于选项：射线端点为，方向沿延伸，射线端点为，方向沿延伸，二者端点和方向均不同，不是同一条射线，故错误； 对于选项：，即，故错误； 对于选项：若点不在线段上，即使，点也不是线段的中点，该结论不成立，故错误； 对于选项：∵钟表一圈共，平均分为12个大格，每个大格对应度数为，8点整时，时针指向8，分针指向12，二者间隔个大格，夹角为，故正确． 3．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 4．如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 【答案】/ 【分析】设厘米，得到厘米，厘米，厘米，，进而推导出（厘米），，得到，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设厘米，则厘米，厘米， ∴厘米，， ∵点M为的中点，厘米， ∴（厘米），， ∴， 解得， ∴厘米． 题型3线段之间的数量关系 1．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义，证明可得，进而可得答案． 【详解】解：①∵点D是线段上一点，， ∴点D是线段的中点． ② ∵C是线段的中点， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴，即点D是线段的中点； 故②正确； ③点是的中点，， ，无法确定与关系，故不能确定D为中点； ④点是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴，点D是线段的中点， 综上所述：能确定点D是线段的中点的有①②④，共3个． 2．如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键，中点得到，进而得到，根据，得到，推出，进而得到，得到即可． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的定义、线段的和差计算以及分类讨论的数学思想，熟练掌握线段中点的性质和折中点的定义，并能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 先根据中点的定义求出的长度，再分两种情况讨论折中点的位置，利用折中点将折线分成两等份的性质，分别建立等式求出的长度． 【详解】解：∵为线段的中点，且， ∴． 情况一：当在上时， ∵， ∴． ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴． 情况二：当在上时， ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 4．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 题型4与线段有关的动点问题 1．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（    ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，数轴以及绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握数形结合的思想． ①利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； ②利用线段中点的定义进行判断即可； ③画出图形，利用线段的和差进行判断即可； ④借助数轴，令点对应数轴上的实数为0，假设点对应数轴上的实数为，表示出相关点对应的数，利用两点之间的距离表示出线段的长度即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，， 故①正确； ②当点B与点O重合时， ， ∴点C恰好为线段的中点， 故②正确； ③如图所示，点B与点A重合， ∴， ∴ ， 故③正确； ④如图所示，令点对应数轴上的实数为0，则点对应数轴上的实数为4， 假设点对应数轴上的实数为，则点对应数轴上的实数为， ∵点M为线段的中点， ∴点对应数轴上的实数为； ∵点N为线段的中点， ∴点对应数轴上的实数为； ∴线段的长度为， ∴线段的长度不变， 故④正确； 综上，正确选项为①②③④， 故选：D． 2．如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理以及分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可；②时，点P从A到C运动，则，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可． 【详解】解：①当时，点P从C到A运动，则，， ∵， ∴，即，解得：； ②当时，点P从A到C运动，则， ∵， ∴，即，解得：． 综上所述：当或时，和全等． 故答案为：2或4． 3．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，可得开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：． 故答案为：4 4．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或16 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据线段中点的定义可得，再根据新定义，即可求解； （2）①求出时，，，再根据新定义，即可求解； ②根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 题型5最短路径问题 1．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 【答案】C 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 2．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 3．如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 【答案】4 【分析】过C点作，交于，过作，根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：过C点作，交于，过作， ∵平分，，， ∴， ∴的值最小， ∵，， ∴． 4．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．在图①中按要求，作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求： (1)线段的长为___________； (2)在图中的线段上找两点，使，且的值最小． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）根据勾股定理，即可解答； （）先构造出与平行且长度为的线段，再作点关于的对称点，将转化为，通过连接与的交点得到，连接，取格点，连接，交于点，则且的值最小. 【详解】（1）解：根据勾股定理，点和点的横向水平距离为，纵向垂直距离为， ； （2）解：将点沿方向向右平移个单位长度，得到格点； 作点关于直线的对称点（格点，利用网格容易作出）； 连接，交于点，连接，则， 再分别将点向左平移个单位长度，分别得到格点，交于点，连接， 此时，且， 根据两点之间线段最短，此时的值最小，、即为所求； 如图②，点即为所求． 题型6角的相关概念 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 2．下列语句中正确的是（　　）． A．角的边越长，这个角越大 B．互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，那么互为补角 【答案】C 【分析】本题考查角的基本性质与补角的定义． 【详解】解：∵角的大小与边的长度无关，只和两边张开程度有关，∴选项错误； ∵两个直角和为，也可以互补，此时两个角都不是锐角也不是钝角，∴选项错误； ∵锐角是小于的角， ∴两个锐角的和一定小于，因此两个锐角不能互为补角，∴选项正确； ∵互为补角是两个角之间的关系，定义中只针对两个角，∴选项错误； 故选：． 3．如图，三角形被直线截去了，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过，，可得，然后可知等于，从而得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 4．如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 【答案】(1) (2) (3)47 【分析】本题考查了平角，直角有关的计算，熟练掌握平角，直角是解题的关键． （1）根据题意得出，，进而得出； （2）由题意得，，即可得到； （3）由（2）知，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：,，， , 故答案为： ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ， ， ， 故答案为：． 题型7钟面角与方向角 1．实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时针和分针的转动规律，分别计算二者转过的角度，再求夹角即可． 【详解】解：∵钟表一圈为，分针60分钟转一圈，时针12小时转一圈， ∴分针每分钟转，时针每小时转，即每分钟转， 12点30分时，分针从12点位置转过的角度为 ， 时针从12点位置转过的角度为 ， ∴时针与分针所成的角为． 2．如图，某港口O观测到货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向得到，，即可得到答案； 【详解】解：∵货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向， ∴，， ∴． 3．钟表是日常生活中的计时工具．我们观察钟表可以发现钟表中有许多有趣的数学问题．钟表从开始，设分针经过分钟与时针所成的锐角为，则的最小值为________分钟． 【答案】10 【分析】根据钟面角的意义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的最小值． 【详解】解：由题意可得，分针每分钟转动角度为 ，时针每分钟转动角度为 当分针第一次和时针所成夹角为时，此时t最小，即， 解得 所以t的最小值为10分钟． 4．如图，三地在同一直线上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，在的北偏西方向，且，求与之间的距离． 【答案】 【分析】过点作交于点，先证得是等边三角形，求出，再证得是等腰直角三角形，最后由勾股定理求解即可得到与之间的距离． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 由题意可知，， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，，则， ，则由勾股定理可得， ， ， 在中，，，则， 即是等腰直角三角形， ， 答：与之间的距离为． 题型8角的度数大小比较 1．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据的换算关系将两个角度统一单位，再比较大小． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 2．如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量角器的测量角的方法和对顶角性质，可得所测零件的内角的度数． 【详解】由图可知，量角器所量的角的一边指向量角器的 刻度线，另一边指向 刻度线，量的角为， 零件的内角与所量的角是对顶角， ∴所量的零件的内角的度数为 ． 故选：C． 3．已知的余角是，的补角是，则_____ （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，根据余角和补角的定义，分别求出和的度数，再比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 因为的补角是， 所以， 因此， 故答案为：． 4．如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【答案】(1)，，，；，；，，， (2)，，，；， 【分析】本题主要考查角度的测量及大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． （1）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可； （2）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可． 【详解】（1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 题型9实际问题中角度计算问题 1．如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的计算，角度制，根据方位角的描述可得，再根据平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向， ∴， ∵点C在射线的反向延长线上， ∴． 故选：A． 3．如图，，，，，则的度数为______． 【答案】/13度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角的和差关系，根据已知条件证明，得出，再利用已知条件通过角的和差关系求得的度数． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 题型10角平分线有关计算 1．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，有下列结论：①若，则；②；③；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由角平分线的定义可得，，结合题意证明出，可判断③；再由平行线的性质即可判断①；求出，即可判断②；根据角平分线的定义及平行线的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ①若，则， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴， ∴，即，故②正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 3．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 4．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行，即可证明； （2）由（1）知，再求得，利用平角的性质列式计算求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得， ∴． 题型11余角和补角 1．如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先，根据，得，，再根据平角的定义得，然后，由，得，进而得，最后，可得的度数为． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．将一个直角三角尺与一个直尺按照如图所示的方式放置，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】识别图形中的同位角和同旁内角，并结合直角三角尺的角进行角度的转换和计算． 【详解】解：∵直尺上下边互相平行， ∴，故A选项正确； ，故B选项正确； 观察图形可知，，故，但没有条件能证明，故C选项错误； ∵，，， ∴，故D选项正确． 3．如图，在中，，，为过点的一条直线，过点作于点，且，则的度数_______． 【答案】/度 【分析】先利用直角三角形内角和求出和，再通过角的和差关系求出，最后利用平角的定义求出． 【详解】解：在中，，， ， 于点，且， ， ， ． 4．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明： （已知）， （垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ∴（补角性质）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 题型12角n等分线的有关计算 1．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 3．如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据，得出的度数，由三等分线，得出的度数，再结合题意得，最终可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的三等分线， ∴， 又∵射线与相交的夹角为， ∴， ∴． 4．如图，在中，，点，分别在和上． (1)当平分，平分时，求证：； (2)如果，，那么吗？如果，呢？由此你能得到一个什么结论？ 【答案】(1)证明过程见解析； (2)；；如果，，那么． 【分析】（1）由等边对等角，结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； （2）由等边对等角，结合已知可得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 如果，， 那么， 在和中， ， ∴， ∴． 如果，， 那么， 在和中， ， ∴， ∴． 由此可得，如果，，那么． 证明：∵， ∴， 如果，， 那么， 在和中， ， ∴， ∴． 题型13相交线及其所成角度的计算 1．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知比例求出 的度数，再利用对顶角相等得出 的度数，最后根据 即可求解． 【详解】解：， 与 的度数之比为 ， ， 直线 、 相交于点 ， ， ， ， ． 3．如图，直线与相交于点E，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先由邻补角的定义求出，再根据垂线的定义得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】根据余角的定义求出的值，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：，， ． ， ． 平分， ． 题型14垂线段最短 1．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是（   ） AI A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，解题的关键是识别出点到直线的垂线段并理解其性质． 观察图形可知，，，根据垂线段最短的性质，村庄到河流的最短路径为垂线段，因此村民选择垂足处取水． 【详解】解：A、两点确定一条直线，与题意无关，此选项不符合题意； B、两点之间，线段最短，描述的是两点间距离，与点到直线的距离无关，此选项不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，与题意无关，此选项不符合题意； D、垂线段最短，与题意相符，此选项符合题意． 故选：． 2．如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 3．如图，在中，，，为边上的一个动点，过点作于点，于点，则长的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：根据勾股定理，可得， 根据过点作于点，于点， 可得， 又， 四边形是矩形， 如图连接，根据矩形的对角线相等可得， 根据垂线段最短可得时，线段的值最小， 有， ， 长的最小值为． 4．如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】（1）过点作直线即可； （2）过点作线段即可； （3）由连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即可得出结果． 【详解】（1）解：下图中即为所作： （2）解：下图中即为所作： （3）解：由图可知， ∴到的距离为垂线段的长度， ∴． 题型15点到直线的距离 1．下列命题中正确的个数有（    ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】逐个判断四个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故①错误． ②点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，垂线段本身是图形，不是距离，故②错误． ③平移变换中，对应点连成的线段可能共线，命题只说平行，表述错误，故③错误． ④在同一平面内讨论直线位置关系，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，当时，，故④正确． 综上，正确的命题只有1个． 2．下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查初中几何基础概念，包括对顶角性质，点到直线的距离定义，平行公理，同旁内角互补的条件，只需要逐一根据相关概念判断命题真假，统计假命题的个数即可． 【详解】解：命题①：对顶角相等，是真命题． 命题②：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，原命题是假命题． 命题③：平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在符合要求的平行线，原命题是假命题． 命题④：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，原命题是假命题． 命题⑤：点到直线的距离中，垂线段最短，因此点到直线的距离一定不大于，且不一定是垂线段，因此距离不一定是，原命题是假命题． 综上，假命题共4个． 3．在边长为的正方形中，点在直线上，点到直线的距离为，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，利用等面积法，根据点到直线的距离为求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，，由题意可得，， 点在直线上，则到的距离等于正方形的边长，为， 则，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 当在线段上时，， 当在线段延长线上时，， 则线段的长为：． 4．某小区的两个喷泉，的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)____________； (2)求供水点到喷泉的距离； (3)请求出喷泉到小路的最短距离． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 题型16同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】利用相交线的“三线八角”定义，进行逐个分析即可． 【详解】解：A、和不是同位角，故不符合题意； B、和不是内错角，故不符合题意； C、和是邻补角，不是同旁内角，故不符合题意； D、和是同旁内角，故符合题意． 2．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：和是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，不能判定，故A错误； 对于选项B：不符合“三线八角”的模型，不能判定，故B错误； 对于选项C：和是直线和直线被直线所截形成的内错角，不能判定，故C错误； 对于选项D：根据“内错角相等，两直线平行”可判定，故D正确． 3．如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： （1）与成同位角的是________； （2）与成内错角的是________； （3）图中有________对同旁内角，分别是________． 【答案】 2 与，与 【详解】解：（1）由图可知：与成同位角； （2）由图可知：与成内错角； （3）由图可知：图中有2对同旁内角，分别是与，与． 4．如图为某巷子的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点和“丁字路口”点，经过测量已知． (1)与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角． 【分析】（1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 题型17根据平行线的判定与性质求角度 1．如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直线，求得，根据，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：作直线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，由平行线的判定与性质，数形结合求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ①②得， ，， ． 3．如图，已知，，，则______． 【答案】 【分析】作，得到，进而得到，，根据角的和差关系列出等式，进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知证明 ， 即可证明 ； （2）由垂线的定义得到，根据角平分线的定义求出 ，再结合平行线的性质可得 ，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ． 题型18根据平行线的判定与性质证明 1．直角三角形和直角三角形位置如图，，交于F，，，，下列结论中不正确的是（  ） A． B． C．如果，则有 D．如果，则有 【答案】A 【分析】根据特殊三角形的有关性质、余角、补角的性质、平行线的判定与性质逐选项判断即可． 【详解】解：A选项：根据已知条件可得，， 但无法证得， ∴无法证得，选项A不正确，符合题意； B选项：∵，， ∴，选项B正确，不符合题意； C选项：∵， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∵， ∴，选项D正确，不符合题意． 2．如图，在中，，．现将沿方向平移得到，与相交于点D，若点恰好在的平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，从而把的周长转化为计算求解即可； 【详解】解：， ， ， 点恰好在的平分线上， ， ， ， 的周长为：， ，．现将沿方向平移得到， ， ， 的周长为：； 3．如图，在中，，、分别平分外角，内角．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是_____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据角平分线的定义得出，结合已知得出，进而证明，即可判断①，根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可判断②，由推出，进而得到，推出，由得到，推出，可判断③④． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平分， ， ，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，即不平分，故③错误； ，， ，故④正确， 故答案为：①②④． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型19根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，直线、被直线所截，且，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等），故A选项正确； （两直线平行，内错角相等），故B选项正确； （两直线平行，同旁内角互补），故D选项正确； ∵，， ∴， ∴不一定成立，故C选项错误，符合题意． 2．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理求出，接着证明是等腰三角形，求出，然后根据即可求解． 【详解】解：点D，E分别是边的中点， 是的中位线． ， ，， 又为的平分线， ． ． ． 3．如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据平移的性质，即可判断①正确；②根据平行的性质进行求解即可；③根据平移的性质，进行求解即可；④先求出，根据，，即可得出答案． 【详解】解：①∵三角形平移得到三角形， ∴，故①正确； ②过点O作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据平移可得：，， ∴阴影部分的周长为： ，故③正确； ④过点A作于点N，如图所示： ∵， ∴， 当时，， ，， ∴， ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 4．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； （2）①过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数； ②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； （2）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ； ②， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型20平行线的性质在生活中的应用 1．武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． 2．我们的祖先在两千多年前运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥（）子（用于称量贵金属，药材，香料等）．某杆秤称物时状态如图所示，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角的定义求出即可得答案． 【详解】解：如图，由题意可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 4.2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 【答案】60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105 【分析】根据题意，对每个步骤填写结论和依据． 【详解】解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，． ，， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ，． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $