山东省济南市天桥区2025-2026学年第二学期期中阶段性检测八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中阶段性检测八年级数学试题 本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置。考试结 束后，按要求上交答题卡。 注意事项： 1.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂。 2.答非选择题时，必须使用0.5m黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题 卡题号所指示的答题区域内作答。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.下面是4个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B D 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( A.1(a-2)=m-2m B.4x2-1=(2x+1)(2x-1) C.x2+3x-5=x(x+3)-5 D.-1=40- 3.下列分式是最简分式的是() 8 1 x2-x A. B. c D. Aa x-y 4.如果a<b,那么下列不等式中一定成立的是() A.a+5>b+5 B.a>b C.-3a>-3b D.a-b>0 33 5.将点P(-2,3)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（) A.1,1) B.(-5,1) C.(1,5) D.(-5,5) 6.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE,点D恰好在BC上.若∠CAE=54°， 则∠ADE的度数为() A.45° B.54° C.60° D.63° 1V◆ B y=ax+b B A B 1V=77x十2 D 第6题 第8题 第10题 7.某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能 源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同.设现在平均每天组装x辆新能源汽 车，根据题意，下面所列方程正确的是() A. 900600 B.900、600 C. 900600 D.900 600 xx+30 xx-30 x-30 x+30 8.如图，直线y=m+b和直线y=x+n交于点Q,2),则关于x的不等式(a-m)x>n-b的解集为 ()A.x>2 B.x<2 C.x>1 D.x<1 9.关于x的分式方程++2m=3的解为正实数，则实数m的取值范围是() x-22-x A.<-6且≠2B.>6且m≠2 C.<6且≠-2D.<6且≠2 10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形0ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形0A,B,C,依此方 式，将正方形0ABC绕点0连续旋转2026次得到正方形0A2026B226C2026,如果点A的坐标为(1,0)，那 么点B2026的坐标为() A.(1,1) B.(0,V2) C.(-V2,0) D.(-1,1) 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11.因式分解：x2+5x= 12.若分式x-2的值为0，则x的值为 x-2 13.若关于x的不等式(m-1)x>m-1的解集为x<1,则m的取值范围是 14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC的方向平移13c到 达三角形DEF的位置，若AB=5C,BC=lOcm,则阴影部分的面积为 cm2. 15.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时 针旋转60°得到CF.连接AF,EF,DF,则△CDF周长的最小值是 D C E 第14题 第15题 三、解答题（本大题10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)因式分解：(1)3ax2+6ay+32;（2)x2(x-y)+y(y-x). 17.(6分)计算：(1)20+2：(2)6g.10e a+1a+1 5c23b 5 18.(6分)解方程： =3 2x-33-2x 3x+7≥5(x-1) 19.(6分)解不等式组 3x-2 ,并写出其整数解。 >x+1 20.(8分)先化简，再求值： 1+2） x-1 x+2x+1,其中x=√反-1 x-1 21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点分别是A1,3), B(4,4,C(2,1). (1)把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△AB,C,请画出平移后的△AB,C,: (2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A,B,C,,请画出旋转后的△A,B,C2; (3)观察图形可知，△AB,C与△A,B,C,关于点（一，）中心对称. Ay B A 0 -r -r-1--- 22.（12分)根据以下素材，探究完成任务， 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展 了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作 为奖品。 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元：若买 15个玩偶和15个徽章共需405元. 素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折： 方式二：非会员所有商品打9折. 解决问题 任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个 (0<m<35), 若林老师按方式一购买，共需 元； 若林老师按方式二购买，共需 元. (均用含m的代数式表示) 任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围 内时，选择方式一更划算？ 23.(10分)宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的 基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价 比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙 种点茶器具套装数量的1.5倍， (1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价： (2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预 算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 24.(12分)【定义新知】给定两个不等式P和Q,若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一 个解，则称不等式P为不等式Q的“子集” 例如：不等式P:x>4是Q:x>2的子集. 同理，给定两个不等式组M和N,若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称 不等式组M为不等式组N的“子集” x>2 例如：不等式组M: 是不等式组N: x>-2 x>1 的子集。 x>-1 【新知应用】 (1)请写出不等式x<2的一个子集 (2)若不等式组A: x-1<5,不等式组B: x+1>4 2x-1>1 x>-3 ,则其中不等式组 x>2 是不等式组M: x>1 的“子集”（填：A或B); (3)若关于x的不等式组 x>a,是不等式组 x>2 x>-1 x>1 的“子集”，则a的取值范围是一： (4)若a,b,c,d为互不相等的整数，a<b,c<d,下列三个不等式组D:a≤x≤b,E:c≤x≤d, F:4<x<9,满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a(b+c+d)的值为： (5)已知不等式组G: 2x≥心有解，且不等式组H:1<x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为 3x<n 正整数，则心的最大值为 25.(12分)阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5，求∠APB的 度数. 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP三△ABP,这样就可 以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=一： (2)基本运用 1D1 B B B 图① 图② 图3 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证： EF2=BE2+FC2; (3)能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO, BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值.参考答案与试题解析 一。选择题（共10小题） 1.下面是4个A1“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() B D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做 中心对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形： 据此逐项判断即可， 【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B. 【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键. 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(a-2)=a1L-21L B.4x2-1=(2x+1)2x-1) C.x2+3x-5=x(x+3)-5 D.4-1=40-安 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即 可. 【解答】解：(a-2)=aw-2L是乘法运算，则A不符合题意， 4x2-1=(2x+1)(2x-1)符合因式分解的定义，则B符合题意， x2+3x-5=x(x+3)-5中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 4-1=0-衣中在不是整式。，则刀不袋合思意， 故选：B. 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键。 3.下列分式是最简分式的是() 第1页（共21页) A.8 B.1 C.x-y x2-y2 D.-x Aa x-V 【分析】根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分. 【解答】解：A、 8-2,故不是最简分式，不符合题意： Aa a B、1是最简分式，符合题意： x-V C、y 一，故不是最简分式，不符合题意： x2-y2 x+y D、-=x-1,故不是最简分式，不符合题意： 故选：B 【点评】本题主要考查了最简分式，熟练掌握该知识点是关键。 4.如果a<b,那么下列不等式中一定成立的是() A.a+5>b+5 Bg号 C.-3a>-3b D.a-b>0 【分析】不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变：不等式两边同时 乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的 整式，不等号方向改变，根据不等式的性质对选项逐个判断即可 【解答】解：不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变：不等式两边 同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0的整式，不等号方向改变，则： A、如果a<b,则a+5<b+5,不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意： B、如果<b:则？<？，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不行 合题意： C、如果a<b,则-3a>-3b,不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确， 符合题意； D、如果a<b,则a-b<0,不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意： 故选：C. 【点评】本题考查不等式的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键. 5.将点P(-2,3)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为() A.1,1) B.(5,1) C.1,5) D.(-5,5) 【分析】根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少进行解答即可. 第2页（共21页） 【解答】解：根据向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减得，P(-2,3)向右平移3个单位，再向下平移2 个单位，得到的点的坐标(2+3,3-2)，即1,1). 故选：A, 【点评】本题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知平移规则是解题的关键 6.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE,点D恰好在BC上.若∠CAE=54°， 则∠ADE的度数为() A D A.45 B.54° C.60° D.63° 【分析】根据旋转的性质及角的等量代换求得∠BAD=∠CAE=54°，△ABD是等腰三角形，求出∠B即可 解答 【解答】解：：△ABC绕点A旋转得到△ADE, ·∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠B=∠ADE, '∠BAC=∠BAD+∠CAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE=54°， AB=AD, .△ABD是等腰三角形， ∠B=180°-∠BAD_180°-540 =63°， 2 2 ·.∠ADE=∠B=63°. 故选：D 【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的 关键. 7.某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车 所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同.设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意， 下面所列方程正确的是() A.900、600 B. 900_600 C.900-600 D. 900_600 xx+30 xx-30 x-30x x+30x 第3页（共21页） 【分析】设现在平均每天组装x辆新能源汽车，则原计划平均每天组装(x-30)辆，找到“现在组装900 辆的时间与原计划组装600辆的时间相等”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程， 【解答】解：根据题意可列方程为：900600 xx-30 故选：B, 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键， 8.如图，直线y=ax+b和直线y=x+n交于点(1,2)，则关于x的不等式(a-m)x>n-b的解集为() v=ax+b y=7x十n A.x>2 B.x<2 C.x>1 D.x<1 【答案】C 【分析】根据函数图象交点右侧直线y=+b图象在直线：y=x+n图象的上面，即可得出 (a-mx>n-b的解集. 【解答】解：，直线y=r+b和直线y=x+n交于点1,2)， .不等式+b>x+n为：x>1. 即关于x的不等式(a-)x>n-b的解集为x>1, 故选：C. 9.关于x的分式方程x++,2心=3的解为正实数，则实数m的取值范围是() x-22-x A.<-6且m≠2B.m>6且m≠2 C.m<6且m≠-2D.m<6且m≠2 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可. 【解答】解：++2心=3， x-22-x 方程两边同乘(x-2)得，x+m-2m=3x-6, 解得，x=6- 2 6- -≠2， 2 .l≠2， 由题意得，6-业>0， 2 第4页（共21页） 解得，m<6, 实数m的取值范围是：<6且m≠2. 故选：D. 【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无 解的判断方法是解题的关键， 10.【答案】D; 【解析】 此题主要考查了坐标规律探索、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理，求出B(2,1),连接OB,由勾股定 理可得0B=V2,由旋转的性质可得0B=0B1=OB2=0B3=…=V2,求出B0,V2,B2-1,1),B(-√2,0)， B4(-1,-1,B50,-V2),B6(1,-1),B,W2,0,Bg(1,1,,由此可得，8次一循环，计算即可得解，正 确得出规律是解此题的关键. 【详解】解：点A的坐标为(2,0)， 0A=1, .四边形0ABC为正方形， ∴.∠OAB=90°，AB=0A=1, .B(1,1, 如图，连接OB, y B B B B A B、 B 由勾股定理可得：OB=V√OA2+AB2=√2， 由旋转的性质可得：0B=OB1=OB2=0B3=.=V2, 将正方形0ABC绕点0逆时针旋转45后得到正方形0A1B1C1依此方式， ∴相当于将线段0B绕点0逆时针旋转45°，依次得到∠A0B=∠B0B1=∠B1OB2=.=45, ∴.B10,V2),B2(-1,1,B3(-V2,0),B4(-1,-1,B50,-V2),B6(1,-1,B7W2n0,Bg1,1, 由此可得，8次一循环， .2026÷8=253.2, 点B2026的坐标为(-1,1小， 故选：D 二.填空题（共5小题） 11.因式分解：x2+5x=x(x+5)一. 【分析】利用提公因式法因式分解. 第5页（共21页） 【解答】解：x2+5x =x(x+5). 故答案为：x(x+5). 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法. 12.若分式-2的值为0，则x的值为-2. x-2 【分析】根据题意得到]x-2=0,x-2≠0，计算即可求出. 【解答】解：由条件可知x-2=0,x-2≠0， x=2,x≠2， .x=-2, 故答案为：-2. 【点评】本题主要考查分式的概念及性质，熟练掌握该知识点是关键。 13.若关于x的不等式(m-1)x>-1的解集为x<1,则m的取值范围是_m<1一， 【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得-1<0， 解不等式即可求解， 【解答】解：：关于x的不等式(-1)x>-1的解集为x<1, .-1<0, .<1, 故答案为：<1. 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键， 14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC的方向平移13Cm到达三角 形DEF的位置，若AB=5c,BC=10cm,则阴影部分的面积为40cm2. Q B E 【分析】根据平移的性质可得四边形ABED是长方形，AD=13C,再用长方形的面积减去△ABC的面积 即可 【解答】解：由题意可知，四边形ABED是长方形，AD=13Cm, 所以阴影部分的面积为： AD.AB--BC.AB 2 第6页（共21页） 2x10x5 =13×5- =65-25 =40(cm2). 故答案为：40. 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键。 15.【答案】3+35， 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质：轴对称-最短路线问题：旋转的性质 【专题】推理填空题；运算能力；推理能力 【分析】分析已知，可证明△BCE=△ACF,得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF=30° 的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果. 【解答】解：，△ABC是等边三角形， ·.AC=BC=6,∠ABC=∠BCA=60°， .∠ECF=60°， ∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF, .CE=CF, .△BCE=△ACF(SAS), .∠CAF=∠CBE, :△ABC是等边三角形，BD是高， :∠CBE=1∠ABC=30°，CD=1AC=3, 过C点作CG⊥AF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接AH,DH,DH与AG 交于点I,连接CI,FH, 则∠ACG=60°，CG=GH= AC=3, ∴.CH=AC=6, .△ACH为等边三角形， .DH=CD.tan60°=3v3, AG垂直平分CH, .CI=HI,CF=FH, 第7页（共21页） :CI+DI=HI+DI=DH=33, CF+DF=HF+DF2DH, .当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=3√5， .△CDF的周长的最小值为3+3√3. 故答案为：3+33. H D 三。解答题（共9小题） 16.因式分解： (1)3ax2+6a0y+3y2: (2)x2(x-y)+y2(y-). 【分析】(1)先提公因式3a,再利用完全平方公式分解因式即可； (2)先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可. 【解答】解：(1)3r2+6y+32 =3a(x2+2y+y2) =3a(x+y)2; (2)x2(x-y)+y2(y-x) =x2(x-y)-y2(x-) =(x-y(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2. 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键. 第8页（共21页） 17.计算： (1)2a+2 a+1a+1 (2) 6ab 10c 5c23b 【分析】(1)根据同分母分式的加法运算法则计算即可： (2)根据分式的乘法运算法则计算即可. 【解答】解：(1)2a+2 a+1'a+1 =2a+2 a+1 2(a+1) a+1 =2; (2)6ab.10c 5c23b 6×10abc 5×3bc2 【点评】本题考查了分式的加减法，分式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键 18.解方程： 5 =3. 2x-33-2x 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算. 【解答】x+5 =3, 2x-3'3-2x x-5=3(2x-3), x-5=6x-9, 解得：1号 检验：当x=4时，2x-3≠0， 5 ·原方程的解为x= 5 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键. 3.x+7≥5(x-1)） 19.解不等式组 3x-2、 2>x+1 ，并写出其整数解。 第9页（共21页） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找 不到确定不等式组的解集 3x+7≥5(x-1)① 【解答】解： 3x-2 2>x+1② 2 解不等式①，得：≤6， 解不等式②，得：x>4, .不等式组的解集为4<≤6， 则此不等式组的整数解为5,6. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小：大小小大中间找：大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。 20.先化简，再求值： 1+2） x-1 x2+2x+1,其中x=√2-1. x-1 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可. 【解答】解：原式=-1+2 x-1 x-1x2+2x+1 +1 x-1 x-1(x+1)2 1 x+1? 当x=√2-1时，原式= 1 √2-1+12 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 21.如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点分别是AQ,3),B(4,4),C(2,1), (1)把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△ABC,请画出平移后的△AB,C,: (2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A,B,C,请画出旋转后的△A,B,C2; (3)意察闲形可知，A4C与△AC关于点(-，一)中心对称。 第10页（共21页） 2 【分析】(1)分别作出点A,B,C向左平移5个单位后的点A,B,C,再顺次连接即可： (2)分别作出点A,B,C绕原点O旋转180°后得到的点A,B2,C2,再顺次连接即可； (3)连接BB,C,C2,交点T即为对称中心，再求出直线B,B,和直线CC,的表达式，然后求出交点即可， 【解答】解：(1)如图，△ABC即为所求： ◆y B B (2)△A,B,C,即为所求： (3)连接B,B2,CC2,交点T即为对称中心， A1,3),B(4,4), .B(-1,4),B2(-4,-4, 设直线BB2:y=k+b, 第11页（共21页） 「-k+b=4 则 -4k+b=-4' 解得 b、20 3 直线BB,y=兮x+ 8.,20 3 同理可求直线CC2:y=-2x-5, y= y=-2x-5 解得，-25 y=0 △4B,C与△4B,C,关于点(，0)中心对称， 放答案为：一20， 5 【点评】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形，一次函数等知识，熟练掌握相关知识是解 题关键. 22.根据以下素材，探究完成任务. 背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展 了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与微章等文创品作 为奖品， 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买 15个玩偶和15个徽章共需405元. 素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折： 方式二：非会员所有商品打9折. 解决问题 任务 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶个 (0<<35), 第12页（共21页） 若林老师按方式一购买，共需_(384+2.4m一元； 若林老师按方式二购买，共需元. (均用含m的代数式表示) 任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围 内时，选择方式一更划算？ 【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据 “线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”， 可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (任务二)利用总价=单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表 示出林老师按方式一及方式二购买所需费用； (任务三)根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合 0<<35,即可得出结论. 【解答】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， [10x+20y=390 根据题意得： 15x+15y=405 解得： [x=15 y=12 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元： (任务二)根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8+12×0.8(35-m=(384+2.4m(元)： 若林老师按方式二购买，共需15×0.91+12×0.9(35-m)=(378+2.7四（元). 故答案为：(384+2.4m,(378+2.7m: (任务三)根据题意得：384+2.4m<378+2.7m, 解得：>20， 又：0<m<35, ..20<m<35. 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20<m<35时，选择方式一更划算 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任 务一)找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（任务二）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表 示出林老师按方式一及方式二购买所需费用：（任务三）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等 第13页（共21页） 式. 23.宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗 茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的 单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍. (1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价： (2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超 过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【分析】(1)设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是(x+30)元，根据花2220 元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程 即可： (2)设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装(30-)套，根据经费预算不超过5000 元，列出一元一次不等式，解不等式即可. 【解答】解：(1)设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是(x+30)元， 根据题意得： 220_1780×1.5, xx+30 解得：x=148, 经检验，x=148是所列方程的解，且符合题意， .x+43=178, 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元： (2)设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装(30-心套， 根据题意得：148(30-)+178≤5000， 解得：≤18二 m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套。 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系， 正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式. 24.【定义新知】 给定两个不等式P和Q,若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的 “子集” 例如：不等式P:x>4是0：x>2的子集。 第14页（共21页） 同理，给定两个不等式组M和N,若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式 组M为不等式组N的“子集”. x>2 例如：不等式组M: 是不等式组W: x>1 (x>2的子集. x>-1 【新知应用】 (1)请写出不等式x<2的一个子集一x<1(答案不唯一)； x+1>4 (2)若不等式组A: /x-15不等式组B:2x-1>1 ,则其中不等式组一是不等式组M: x>2 x>-3 的“子 x>1 集”（填：A或B); (3)若关于x的不等式组>0是不等式组x>2的“子集”，则a的取值范围是 x>-1 x>1 一； (4)若a,b,c,d为互不相等的整数，a<b,c<d,下列三个不等式组D:a≤r≤b,E:c≤≤d,F:4<x<9, 满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a(b+c+的值为一； (5)已知不等式组G: 2x之"有解，且不等式组H:1<K3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数， 3x<n 则严的最大值为一· 【分析】(1)根据定义写一个任意一个解都是不等式x<2的一个解的不等式即可： (2)分别求得三个不等式组的解集，看A和B两个不等式组中哪个不等式组的解集的任意一个解，都是 不等式组M的一个解即可； (3)易得后一个不等式组的解集为x>2,根据关于x的不等式组是后一个不等式组的“子集”，可得关 于x的不等式组的解集为：x>a,那么可得关于a的不等式，求解即可： (4)根据所给条件和新定义可判断出a、b、c、d的值，代入代数式求解即可： (5)易得不等式组的解集.根据不等式组H:1<≤3是不等式组G的“子集”，可得m和的取值范围， 进而根据m,n为正整数，求业的最大值可得m和n的值，相除即可得到的最大值。 【解答】解：(1)x<1的任意一个解都是不等式x<2的一个解， .不等式x<2的一个子集为：x<1.（答案不唯一). 故答案为：x<1.(答案不唯一) (2)解不等式组A得：3<x<6: 解不等式组B得：x>1: 第15页（共21页） 解不等式组M得：x>2. :不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， .不等式组A是不等式组M: x>2 的“子集”. x>1 故答案为：A. x>2 (3):不等式组 的解集为：x>2,关于x的不等式组 x>a是不等式组 x>2 的“子集”， x>1 x>-1 x>1 .关于x的不等式组的解集为x>a. a≥-1 a≥2 .心2. 故答案为：心2. (4)E:c≤≤d,F:4<x<9,E是F的“子集”，a,b,c,d为互不相等的整数， .5≤≤8 c=5,d=8. D是E的“子集”，D:a≤≤b, .6≤≤7. .a=6,b=7. .a(b+c+d=6(7+8+5)=120. 故答案为：120. (5)不等式组G: 2x2有解， 3x<n 解矣为：空<兮 3 不等式组H:1<≤3是不等式组G的“子集”， （业) 2 [m≤2 解得： n>9 第16页（共21页） :m,n为正整数，求业的最大值， m最大为2，n最小为10. :心的最大值= 5 数答实：青 【点评】本题综合考查不等式（组）中新定义的应用.理解新定义的意义是解决本题的关键。 25.阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5，求∠APB的度数. 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP=△ABP,这样就可以利用 旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=150°一： (2)基本运用 A D B B E 图① 图② 图③ 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题 己知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证： EF2=BE2+FC2: (3)能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO,BO, CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值. 【分析】(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以 及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； (2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',根据旋转的性质可得AE'=AE,CE=BE, ∠CAE=∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE=90°，再求出∠E'AF=45°，从而得到∠EAF=∠EAF,然后利 用“边角边”证明△EAF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF,再利用勾股定理列 式即可得证. 第17页（共21页) (3)将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'OB处，连接OO,根据直角三角形30°角所对的直角边等于 斜边的一半求出AB=2AC,即AB的长，再根据旋转的性质求出△BOO是等边三角形，根据等边三角形 的三条边都相等可得BO=O0,等边三角形三个角都是60°求出∠BO0=∠BOO=60°，然后求出C、O、 A、O四点共线，再利用勾股定理列式求出AC,从而得到OA+OB+OC=AC. 【解答】解：(1)，△ACP=△ABP, .AP=AP=3、CP=BP=4、∠APC=∠APB, 由题意知旋转角∠PAP'=60°， .△APP为等边三角形， PP=AP=3,∠APP=60°， 易证△PPC为直角三角形，且∠PP'C=90°， .∠APB=∠APC=∠APP+∠PP'C=60°+90°=150°： 故答案为：150°： (2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE', 由旋转的性质得，AE=AE,CE=BE,∠CAE=∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE=90°， ,·∠EAF=45°， .∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°， ∠EAF=∠EAF, 在△EAF和△EAF中， 「AE=AE ∠EAF=∠EAF AF=AF .△EAF≡△EAF(SAS), .E'F=EF, .∠CAB=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， .∠E'CF=45°+45°=90°， 由勾股定理得，EF2=CE2+FC2, 即EF2=BE2+FC2. (3)如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'OB处，连接OO', 第18页（共21页） A 4 图3 B 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， AB=2, ..BC=AB2-AC2=3, :△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， .△A'OB如图所示： ∠ABC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， .AB=2AC=2, :△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△AOB, ..A'B=AB=2,BO=BO',A'O=AO, .△BOO是等边三角形， ·.BO=OO',∠BOO'=∠BOO=60°， ,·∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， ,.∠COB+∠BOO'=∠BOA+∠BOO'=120°+60°=180°， C、O、A、O四点共线， 在Rt△A'BC中，AC=VBC+AB2-VW32+22=√万， ∴.OA+OB+OC=AO+OO+OC=AC=√7. 图2 第19页（共21页） 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题 目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键， 第20页（共21页) 第21页（共21页)