精品解析：广西南宁市江南区2025--2026学年下学期学业水平质量监测八年级数学试题

2026年春季学期期中学业水平质量监测 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 8，15，17 3. 如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点分别为M，N，并测出的长约为40米，由此可知A，B间的距离约为（ ） A. 80米 B. 60米 C. 40米 D. 20米 4. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A. 164 B. 6 C. 36 D. 8 8. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 11. 如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ） A. B. C. D. 12. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 14. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是_______________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______. 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图1，中，，D是边上的点，且． （1）证明：； （2）若E、F分别是的中点且，如图2，求的长． 19. 如图，某农家乐有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 20. 如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 21. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． （1）求证：； （2）请通过计算说明海港C会受台风影响； （3）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 22. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 23. 阅读与应用 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上． （1）如图1，的长度为________，求的面积； （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以； 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由； （3）如图4，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期中学业水平质量监测 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式 且被开方数不含分母，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴2，3，4不是“勾股数”，不符合题意； B．∵，，，∴4，5，6不是“勾股数”，不符合题意； C．不是正整数，故1，，2不是“勾股数”，不符合题意； D．∵，，∴，∴8，15，17是“勾股数”，符合题意； 3. 如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点分别为M，N，并测出的长约为40米，由此可知A，B间的距离约为（ ） A. 80米 B. 60米 C. 40米 D. 20米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是的中位线， ∴米． 4. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得． 【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键． 5. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可． 【详解】解：由勾股定理可知， ∵OB=， ∴这个点表示的实数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 7. 三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A. 164 B. 6 C. 36 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求出直角边的长和斜边长，再根据勾股定理求出另一直角边长即可得出结论． 【详解】解：面积为的正方形的边长为，面积为36的正方形的边长为， 由勾股定理得，正方形A的边长， ∴正方形A的面积为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，掌握以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积是解题的关键． 8. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 9. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 11. 如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知小明所走的路程为一个正多边形的周长，而该正多边形的一个外角为，根据正多边形的外角和为360度求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了． 12. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 14. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是_______________． 【答案】540° 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°即可求出结果. 【详解】黑色正五边形的内角和为: (5- 2)×180° = 540°， 故答案为：540°. 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______. 【答案】5 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴则斜边AB2=BC2+AC2， BC=3，AC=4， 则AB= 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图1，中，，D是边上的点，且． （1）证明：； （2）若E、F分别是的中点且，如图2，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，再根据三角形外角的性质得到，从而得到，即可得出结论； （2）连接，先得到是直角三角形，再由F是的中点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知，， 又∵E是的中点， ∴， ∴是直角三角形， ∵F是的中点，， ∴． 19. 如图，某农家乐有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为元 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的周长； 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 解：由题意得，蔬菜地的面积， ∴销售收入（元）． 答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为元． 20. 如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， , ∵， ， 又， ， ， 即点是线段的中点， 为的中点， 是的中位线， 又 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）得， ∴， 由（1）得是的中位线， ， 又， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出，利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出是的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）结合（1）的结论，得到，利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． （1）求证：； （2）请通过计算说明海港C会受台风影响； （3）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2） 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； （3） 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【解析】 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 23. 阅读与应用 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上． （1）如图1，的长度为________，求的面积； （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以； 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由； （3）如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2） 解：理由如下： 构造如图所示： 由勾股定理，得：， 在中， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，利用割补法求出即可； （2）依据题意构造 由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）依据题意，作点关于的对称点，连接，， 可得 判断是等腰直角三角形，且从而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接，， ， 由勾股定理得， ∴，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $