山东济南市名校协作体2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一下学期期中考试数学试题 一.选择题 1.己知复数z=2”,则复数2的共轭复数的虚部是( A.-2 B.-2i C.2 D.3 2.已知向量a=(1,2),c=(m,-1),若a1(a-C),则实数m的值为() A.9 B.7 C.17 D.21 3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，CB⊥x'轴， CD∥y轴，C'B'=V2,AB'=5,则△A'BC的原图形的面积为( A.5 B.10C.10W2 D.5V2 4.已知直线1，m,,平面a,B,则下列说法正确的是（) A.若a∥B,m∥a,则m∥B A'0 D'B' B.若1∥B,mMB,1cc,ca,则e什B C.若m⊥a,m⊥B,则n∥a D.若m⊥a,n∥a,则m上n 5.如图是一个直径为2cm的球形容器和巴个底面直径为6cm深8cn的 圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯( A.3杯 B.4杯 C.5杯 D.6杯 6.某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同 一水平面上的A,B两点，测得AB=50V7,在A,B两点观察塔顶 C点，仰角分别为45°和30°，且∠ADB=150°，则宁波天封塔的 高度CD是() A.50m B.40v3m C.30v7m D.50v7m 第1页‘ 暴巴目 姓名： 班级： 7:已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为60°，则此四棱 台的体积为() A.28v6 B.28V6 C.28v3 3 3 D.28V3 8.已知菱形ABCD边长为2，∠ABC=60°，对角线AC折叠成三棱锥B-ACD,使得二面 角B·AC-D为60°，设E为BC的中点，F为三棱锥B-ACD表面上动点，且总满足 AC⊥EF,则点F轨迹的长度为() A.2v5 B.3V3 C./3 D.3/3 -2 二.多选题 9.已知1为虚数单位，则下列说法正确的是() A.若复数z的共轭复数为z,则z·z=z?= B.若a=2-i,a=1-3i,则复数-a的虚部是2i -℃.若复数(（+3m-.4)+（-2m-24)i是纯虚数，则实数m=1或m=-4 D.若复数z满足z-=1,则z的最大值为2 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2 bcosA-a,D在边AC上， 且BD平分∠ABC,若AD=4,CD=2,则下列结论正确的是（) A.∠ABC=日 C.△ABC的面积为183 7 D.BD= 7 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AIB]CID1中，E,F分别是棱B1C1,CD1的中点，P是正方形 A1B1CD1内的动点，则下列结论正确的是() D A.若DP∥平面CEF,则点P的轨迹长度为V2 A B.若A肥三，则点P的轨迹长度为号 B C.二面角A~级~C的正切值为8N2 D.若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41m 共2页) 鬟田全任 2。-。。--2。 高一下学期期中考试数学试题 三.填空题 12.已知平面向量a=(3,4),b=(1,2),c=(1,0).若λ为实数，且aI(b+1c), 则入= 13.一个圆锥的底面直径为4，高为23，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截 去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为 D 14.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上 0 一点，则AP·AB的取值范围为 B 四.解答题： A 15.在复平面内，0是坐标原点，向量0Z1,0Z2对应的复数分别为=1-2i,a=3+ai (a∈R) (1)求|z+的最小值： (2)若0Z1⊥0Z2,求实数a的值： (3)若复数对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。 2Z1 16.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,己知2a-b=2 ccosB. (1)求角C (2)若a=1,点D满足AD=2DB,且CD1=,求△ABC的面积. 17.已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形，AD=DE=2a,AB=a, B F为CD的中点. (1)求证：AF∥平面BCE: (2)求证：平面BCE⊥平面CDE: (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 第2页 影巴赶 姓名： 班级： 18.如图，在四边形BC中，已知△MBC的面积为S1=号(AC2-BC2-AB2),记△AC的 面积为S (1)求∠ABC的大小： (2)若△ABC外接圆半径为V3,求△ABC的周长最大值. (3)设∠BCD=，∠CAD=牙若CD=V3BC,且满足要=成立，求常数入的值。 19.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖隔.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面 ABCD,且PD=CD=2,点E是PC的中点，连接DR、BD、BE. (1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角 (只需写出结论)：若不是，请说明理由； (2)记阳马P-ABCD的体积为M,四面体EBCD的体积为h,求兰的值. (3)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为5，求三棱锥E-BD的 外接球的表面积。 (共2页) 蠡田全任 0-……22-2- 高一数学期中考试参考答案 1…--8 CBBD BAAD 9.AD 10.BCD 11.BCD 12.月 13. 11元 14. [1,1+ 2 8.解：连接AC、BD,交于点O,连接OB,ABCD为菱形，∠ ABC=60°，所以AC⊥BD,OB⊥AC,△ABC、△ACD、△ABC A 均为正三角形，所以∠BOD为二面角B-AC-D的平面角， 于是∠BOD=60°，又因为OB=OD,所以△BOD为正三 角形，所以BD=08=00=2·=V3, D 取OC中点P,取CD中点Q,连接EPEQ、PQ,所以PQ∥OD、EP∥OB, 所以AC⊥EP、AC⊥PQ,所以AC⊥平面EPQ, 所以在三棱锥B-ACD表面上，满足ACL EF的点F轨迹的△EPQ, 因为EP=B，Pg=D,Q=B'Q,所以△EPQ的周长为3.5=3y3, 2 所以点F轨迹的长度为 D 11.解：对于A,如图，取A1D1,A1B1中点N,M,且连接B1D1,NE, A 因为E,F分别是棱B1C1,CD1的中点，由中位线定理得MN∥B1D1, EF∥B1D1,所以MN∥EF,而BD=B1D1,BB1=DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDLB1D1, 所以BD∥EF.因为CD=NE,ND=CE,所以四边形NDCE是平行四边形， 所以ND∥CE,因为NDt面CEF,CEc面CEF,所以ND∥面CEF, 因为BDt面CEF,EFC面CEF,所以BD∥面CEF,而BDOND=D, 所以面MNDB∥面CEF,又P是正方形A1B1CD1内的动点， 且DP∥平面CEF,面MWDB和面CEF相交，MN,EF是交线， 所以P的轨迹为线段MN,由勾股定理得MN=√4+4=2W2,故A错误： 对于B,如图，若AP=√17，此时AA1⊥面A1B1CD1, 所以AA1⊥A41P,由勾股定理得A1P=√17-16=1， 第1面（共 暴巴全赶 所以P的轨迹为在面A1B1CD1内，以A为圆心，1为半径的圆弧。 所以P的轨迹长度为×2π=受放B正确： 对于C,如图，作ET⊥BC,连接A1C1与EF交于点S,连接AE,AF,AC, AF,AS,B1D1,ET,因为正方体ABCD-A1B1CD1,E.F分别是棱B1C1, D CD1的中点，A1C的中点记为V,所以EF是△CD1B1的中位线，所以 EF∥D1B1,而DB1⊥A1C,所以EF⊥A1C1,而由正方体性质得 D CC⊥面A1B1CD1,所以CC⊥EF,而CC∩A1C1=C1,CC, AIC1c面A1ACC1,故EF⊥面AACC1,EF⊥AS,EF⊥CS 而由勾股定理得A1F=AT=2√5，AF=AE=6, 由三线合一性质得S是EF的中点，故S是CV的中点，即S是A1C靠近C的四等分点， 所以由勾股定理得AS=V18+16=V34,CS=√2+16=3V2,AC=V16+16=4W2, 而EF⊥AS,EF⊥CS,面AEF∩面CEF=EF, 所以∠ASC是二面角A-EF-C的平面角，且设该角为日， 在△1c中，由余弦定理得a0=8改号=0- 2√34×3√万 51, 易得0e0.m.所以sin0≥0，而5哥2+stn29=1,解得tn0=8 51 (负根舍去)， 8/34 sing 517 8V2 8v2 所以tan0= c0s8= 517 5 所以二面角A-EF-C的正切值为5， 故C正确： 51 对于D,如图，取PF的中点G,AC的中点H,连接PE,GH,FP, D 因为P是棱A1B1的中点，E,F分别是棱B1C1,CD1的中点， 所以C1F=C1E=B1E=B1P=2,由勾股定理得EF=PE=2W2, 而PF=4,所以EF2+PE2=PF2,所以EF⊥PE, 而GB=PP=2,所以点G到E,R,P的距离相等， 因为GH∥AA1,由正方体性质得AA1⊥面PEF, 所以GH⊥面PEF,所以三棱锥P-CEF的外接球的球心在GH上， (共4页) 紧巴全任 。-2- 高一数学期中考试参考答案 设球心为O.G0=1.则H0=4-k.又GP=2,CH=22, 设三楼性P-CEF的外接球的半径为R.则PO=CO=R, 在直角三角形HC0中，由勾股定理得2=8+(4-)2. 在直角三角形PG0中，由勾股定理得2=A+2. 解得t=多R2=2空+4=安 1 所以三棱锥P-CEF的外接球的表面积为，×4怀=41r,故D正确。 15.解：（I)因为z=1-2i,a=3+ai,所以|a+a=|4+(a-2)=√16+(a-2)2≥4， 当a=2时，|+a取得最小值为4：…4分 (Ⅱ)因为0Z1=(1,-2).0z2=(3,e),若071⊥0Z2,则0Z1022=3-2a=0. 解得a=所以实数a的值为 …8分 (m)因为2=t以=8028=2+告，…10分 21 1-2[ (1-20(1+20 5 因为对应的点在第一象限， 所以3-2a0 解得-6<a<至所以a的取值范围是（-6，》. …13分 (a+6>0 16.解：（1)由2a-b=2 ccos B,根据正弦定理得2sinA-sinB=2 sinCcosB, 2sin (B+C)-sinB=2sinCcosB,2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2sinCcosB, 整理得2 sin/osC-sinB=0,结合sinB>0,解得cosC= 因为Ce(0,),所以C= …6分 (2)根据题意、可得CA·CB=abosC-b. 因为AD=2DB,所以CD-CA=2(CB-CD),化简得GD=CA+子CB, 2 第2页( 暴巴全目 所以cm=I片cA+号cBl=IcA+41clP+4cA.cB=, 整理得1CA2+4CB2+4CA.CB=7,即6+4a+2b=7, 结合a=1.化简得+2b-3=0,解得b=1(b=-3不符合题意，舍去). …12分 所以△MBc的面积-absinC=×1×1x号= 4 ,…15分 4, 17.解：(1)证明：AB⊥平面ACD,DB⊥平面ACD,△ACD为等边三角形， AD=DE=2a,AB=a,F为CD的中点， 取CE的中点G,连接FG、BG,又F为CD的中点，则GF∥DE且GF=DB, 0. 而AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,则AB∥DE,GF∥AB,又AB=DB,则GF=AB, ∴.四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG,而AFt平面BCE,BGC平面BCE, ∴.AF∥平面BCE. …5分 B E 分 D (2)证明：在等边△ACD中，F为CD的中点，则AF⊥CD, 由DE⊥平面ACD,AFC平面ACD,得DE⊥AF, 而BG∥AF,于是DE⊥BG,BG⊥CD,又CDNDE=D,CD,DEC平面CDE, ∴.BG⊥.平面CDE, 又BGC平面BCE,∴.平面BCE⊥平面CDE.…10分 (3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H,连接BH, 算2页（共4页） 紧巴全艇 0-2…-。。-2 以于刀J'1'"9罗9日采 由平面BCE⊥平面CDE,平面BCEn平面CDE=CE,FHC平面CDE, 得FH⊥平面BCE,则∠FBH为BF和平面BCE所成的角， 由AD=DE=2a,AB=a,得CD=2a=DE, PH=GRsn45·=号a,8F=a+A-=、Q2+3ag=2a, 在RAPB中，stnFBH=器=是 41 直线BF和平面BC5所成角的正弦值为 g …15分 18.解（1)由余弦定理得，AC=AB+BC-2 AB-BC cos.∠ABC, 所以AC-AB-BC=-2 AB-BC cos.∠ABC, 所以9(AC-BC-A)=-9ABB6c0s∠hABc-6 in∠4BG 所以-V3cos∠ABC=sinzABC,即tanB=-V3, 又因为∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC= 3 ,…5分 (2)由正弦定理得，2R=n2Aac AC AB BC 又R=V3,所以AC=3,AB=2V3 sinzACB,BC=2W3sin∠BAC, 由(1)可知∠ABC=买，所以LBMG∠ACB=于， 所以△ABC的周长L=AB+BC+CA=2W3sin∠ACB+2V3 sinBAC+3 =23sin(-LBAC)+2v3sinLBAC+3, 第3页( 暴巴目 所以l=V3sin∠BAC3cos∠BAG3=2W3sin（∠BAC+)+3, 因为∠BACe(0,孕，所以∠BAC4∈(5)，所以sin(∠BAc+9∈停，1， 所以△ABC的周长的取值范围是(6,2V3+3], 所以△ABC的周长的最大值为2V3+3.…11分 (3)设∠ACB=a,则∠ACD=受-a,∠CM=g+a,∠CMB行-a. 在△A0m中，由正弦定理得n2D=nC即sin(+a小-子4c 在△AaC中，由正弦定理，=ne即号Csin月-a”4C 因为CD=V3BC,两式作商得，sin(g+a)sin(货-a)= 化简得sin(爱+2a)=主因为a∈(0，，所以+2a∈()， 因此肾+2a=g,故a=至所以S=AC,BC·stn-ACB=竖.AC,BC, &=主ACCDsinZACD=-子ACD受 所以入=是= _3-V 52 XV3x3 .…17分 19.(1)证明：因为PD⊥底面ABCD,BCc平面ABCD,所以PD⊥BC, 因为ABCD为长方形，所以BC⊥CD,因为PDO CD-=D,PD,CDc平面PCD, 所以BCL平面PCD,因为DEc平面PCD,所以BCL DE,因为PD=CD,点E是PC的中点， 所以DB⊥PC,因为PCO BC-=C,PC,BCE平面PBC, 所以DE⊥平面PBC, 由BCL平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖膈， 其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DBC,∠DEB: 第3页（共B页） 紧全年 。-2- 高一数学期中考试参考答案 …5分 解：(2)由己知，PD是阳马P-ABCD的高， Y=SABCD·PD=×BCX CDX PD, 由(1)知，DE是鳖膈D-BCE的高，BC⊥CE, ∴=SABCE DE=名×BC×CB×DE, 在Rt△PDC中，，PD=CD,点E是PC的中点， .DE-CECD. 2 xBCXCDXPD 2CDXPD =4.…10分 。XBCXCEXDE CEXDE (3)解：找DC中点F,连接ER,过F作FG⊥BD,连接EG 因为E,F是PC,DC中点，所以EF⊥平面ABCD,BDC面ABCD, 所以EF⊥BD,又因为FG⊥BD,EFO FG=-FER,FGc平面EFG, 所以BD⊥平面EFG,所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设AD=女，又因为△DR∽△0BG,所以器=品所以FG= 所以tan∠BGF=器=V3,又Er=1,得EF=号 所以。=马，解得t=2, 因为D=2,AD=反，所以BD=V6,DH=号，HB= 所以cos∠DHB==-青sn∠DHB=2, 2.DH-HB 3 设△DB的外接圆半径为，外接圆圆心为O, 则2r=20D=29,r=D0=H0=a0=3 BD 4 过点O作OML CD,OM⊥DH,垂足分别为M,K,连接OR, OM-DK-DH DM -VDOZ-OM2- 又Dr=1,所以FM=是所以P0=县， 第4页（共4 鬟田全任 D FM C K H 设球心为0，设00=入， 若球心和点E位于平面DB异侧， 则R=H01=J52+2=B01=92+a+13, =京 三棱锥E-BD的外接球的半径为R=马， S表=4πR2=7m, E D H 若球心和点E位于平面DB同侧， 则R=H0,=、2+2=B0,=、J92+1-02, 解得1=-（舍去）. 综上，三棱锥E-BD的外接球的表面积为7π，…19分 第4页（共4页） 紧巴全艇 -。2-22-