期末复习讲义03 解三角形6大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末复习讲义03 解三角形 【考点一】 余弦定理解三角形 【考点四】 三角面积公式及其应用 【考点二】 正弦定理解三角形 【考点五】 正、余弦定理在几何中的应用 【考点三】 正弦定理求外接圆半径 【考点六】 正、余弦定理的实际应用 一、三角形的基本关系 在中，内角的对边分别为，外接圆半径为，内切圆半径为，半周长。 1. 内角和与边角关系 内角和：（），故，，。 大边对大角：。 三边关系：，，；。 2. 面积公式（高频必考） 基础式：（为边上的高）。 边角式（核心）：。 外接圆式：。 内切圆式：。 海伦公式：。 二、正弦定理 1. 定理内容 公式：（为外接圆半径）。 文字：三角形各边与它所对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径。 2. 常见变形（边角互化核心） 边化角：，，。 角化边：，，。 比例关系：。 3. 适用场景 已知两角及一边，求其余边与角。 已知两边及其中一边的对角，求其余边与角（注意多解）。 边角互化，化简或证明恒等式、判断三角形形状。 4. 易错点：多解判定（期末难点） 已知，解的个数： 为锐角： ① ：无解； ② ：一解（直角）； ③：两解； ④ ：一解。 为钝角/直角： ① ：无解； ② ：一解。 三、余弦定理 1. 定理内容 边的平方： 角的余弦（推论）： 2. 适用场景 已知三边，求三个角。 已知两边及其夹角，求第三边及其他角。 判断三角形形状（通过余弦符号定角类型）： 为锐角； 为直角； 为钝角。 四、正、余弦定理综合应用（期末核心） 1. 解三角形的基本类型与方法 已知条件 解题步骤 所用定理 两角一边 ① 求第三角；② 正弦定理求边 内角和+正弦定理 两边夹角 ① 余弦定理求第三边；② 正弦定理求小角 余弦定理+正弦定理 三边 ① 余弦定理求两角；② 内角和求第三角 余弦定理 两边一对角 ① 正弦定理求对角；② 内角和求第三角；③ 正弦/余弦定理求第三边（注意多解） 正弦定理（+余弦定理） 2. 判断三角形形状（高频） 化边为角：利用正弦定理将边化为角的正弦，结合三角恒等变换判断角的关系（如、）。 化角为边：利用正弦、余弦定理将角化为边，结合代数变形判断边的关系（如、）。 常见结论： ① 等边三角形； ② 直角三角形（）； ③ 且 等腰直角三角形； ④ 钝角三角形。 3. 范围与最值问题（期末压轴） 边的最值：已知一角及对边，用余弦定理+基本不等式求周长或边长最值。 面积最值：已知一角及对边，用+余弦定理+基本不等式求面积最值。 角的范围：利用余弦定理结合余弦函数单调性，或正弦定理结合边角关系求角的范围。 五、实际应用 1. 常见测量模型 距离测量：两点间不可直达（如河两岸），构造三角形，用正、余弦定理求解。 高度测量：底部不可到达（如山峰、高楼），测仰角/俯角，构造直角或斜三角形求解。 角度测量：方位角、方向角问题，按题意画示意图，转化为三角形内角求解。 2. 解题步骤 建模：根据题意画出示意图，确定已知量、未知量，抽象为三角形模型。 选定理：根据已知条件，选择正弦定理或余弦定理。 求解：代入公式计算，注意单位统一。 还原：将结果还原为实际问题答案，检验合理性。 【考点一】余弦定理解三角形 1.（24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 3．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出角，再结合角平分线定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即 ，解得：， 所以，即， 故选：A. 4.（多选）（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理，代入求解方程即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 5．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．的面积最大值为 D．a的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据三角形重心的性质、向量的线性运算即可求解A，根据模长公式以及基本不等式即可求解B,由三角形的面积公式即可求解C ,根据余弦定理，结合不等式即可求解D. 【详解】    设边中点为，因为点为的重心，则 又因为，所以，故选项A正确； 已知，两边平方可得 因为，所以，又则 根据基本不等式，可得，即 所以，故B错误； 因为，，所以 由，可得，当且仅当时取等号，故C正确； 由余弦定理，将变形为代入可得： 因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 6.（24-25高一下·甘肃白银·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则_____. 【答案】3 【分析】利用余弦定理化简可得，然后简单判断即可. 【详解】依题意，，由余弦定理得，整理得. 由于是锐角三角形，所以，则. 故答案为：3 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，________ 【答案】 【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出及. 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理和平面向量数量积运算公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以, 故答案为：. 9.（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，，，. (1)求的值； (2)取一点，使得，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，在和中，分别由勾股定理及直角三角形中正弦和余弦的定义求解即可； （2）过作，交的延长线于,即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理先求出，再利用，即可求出. 【详解】（1）过点作，垂足为. 在中，因为，， 所以. 因为，所以， 在中，由勾股定理可得， ， 因此. （2）因为，所以点为靠近点的三等分点， 因此，. 过作，交的延长线于, 所以即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理可得 ， 发现，因此， 又，因此，于是， 所以，即点到直线的距离为. 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求； （2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） （2）由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 【考点二】正弦定理解三角形 11.（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 12．（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，即，所以. 故选：A 13．（24-25高一下·辽宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由三角形内角和可得， 由正弦定理可得，解得. 故选：D. 14．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】中，若， 则，再应用正弦定理得， 则. 故选：C 15.（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）P是内一点，，，，则________． 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理可得BC的值，在中，由正弦定理可得AB的值，在中，由余弦定理可得AP的值，再由余弦定理可得. 【详解】如图，在中，，，所以； 设，则，可得． 因为，所以，． 在中，，， 所以． 由正弦定理得，即，可得． 在中，由余弦定理得， 可得，所以． 故答案为：． 16．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，在梯形中，，，，，，则______. 【答案】 【分析】先由正弦定理求得，利用诱导公式得，然后在中由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，即， 所以. 在中，由正弦定理得，得. 故答案为： 17．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据正弦定理得. 故答案为： 18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 即， 因为，所以， 即，所以, 所以， 故答案为： 19.（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围； （3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 由余弦定理：， 所以， 即， 所以； （2）由余弦定理得 又因为，所以 所以的取值范围是：； （3）由（2）可得， 所以外接圆， 所以外接圆面积的最小值为. 20．（24-25高一下·云南玉溪·期末）设锐角内部的一点满足，且． (1)证明：； (2)求角； (3)若，，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意知点为三角形外心，根据圆周角和圆心角的关系，以及数量积的定义，证明等式； （2）根据向量的减法以及对向量等式进行数量积运算，化简可得，结合三角形形状可求出角； （3）先根据几何知识求出，再根据余弦定理求出，然后根据三角不等式即可求出线段长的最大值. 【详解】（1） 如图所示，锐角内部的一点满足，则为的外接圆的圆心， ， 又， ． （2） 设的外接圆的半径为， 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即， 所以，因为，所以或，所以或． （3），由（2）可得，， 由正弦定理可得，， 易知， 所以， ，当且仅当、、三点共线时取得最大值， ． 【考点三】正弦定理求外接圆半径 21.（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 22．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径. 【详解】因为， 根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径. 所以三角形外接圆直径为. 故选：A. 23．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 24．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出外接圆直径. 【详解】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 25．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 26.（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 27．（多选）（24-25高一下·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．四边形的面积为 C．的外接圆的周长为 D． 【答案】ABC 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 【详解】由题意得：，，A正确， ，， ，， 过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，，， 四边形的面积为，B正确 在直角三角形AEC中，， 设外接圆的半径为R，由正弦定理，解得，故外接圆的周长为，C正确； ，，， ，D错误 故选：ABC 28.（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】// 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 29．（24-25高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别为，若，，则外接圆的周长为______． 【答案】 【分析】由，可得，由，可得，由正弦定理可得，即可得答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 所以． 又，所以． 所以外接圆直径， 所以周长为． 故答案为： 30．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 【答案】 【分析】根据两角和差的余弦公式，化简求，再根据正弦定理求三角形外接圆的半径，即可求圆的面积. 【详解】，则， 根据正弦定理，则， 所以外接圆的面积为. 故答案为： 【考点四】三角面积公式及其应用 31.（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A 32．（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 33．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的平分线的长为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理，得， 所以，所以 因为，， 所以，即. ， 所以， 所以，即，所以， 所以，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 34.（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由题可得，由三角形面积公式得解；对B，在中，由正弦定理，结合条件运算得解；对CD，在，中，分别由余弦定理，得，，得或，讨论当时不合题意，运算得解. 【详解】对于A，，， 所以，即，故A正确； 对于B，由正弦定理，得，又， 所以，即，故B正确； 对于C，D，在中，由余弦定理， ， 在中，，则， 化简整理得，又，所以， 解得或， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，故C错误，D正确. 故选：ABD. 35．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 【答案】AC 【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，由等面积法验算即可；对于C，由公式验算即可；对于D，将所求转换为即可. 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确； 对于B，当为边上的高线时，由等面积法有， 即，解得，故B错误； 对于C，当为边上的中线时， ，故C正确； 对于D，当为角的角平分线时，设， 由三点共线可知，，解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 36.在中，若，则__________. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式直接计算. 【详解】因为， 所以. 故答案为：9 37．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则______． 【答案】2 【分析】由及三角形面积公式求，进而求即可. 【详解】 由题设，，又， 所以， 则，可得，故. 故答案为：2 38．（24-25高一下·山东临沂·期末）在中，，，记，，，则_______. 【答案】 【分析】利用等面积法结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 故, 即, 故， 所以. 故答案为： 39.（24-25高一下·内蒙古·期末）已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． （2）由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． （3）由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 40．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 【考点五】正、余弦定理在几何中的应用 41.（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 42．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，利用三角形三边关系及余弦边角关系列不等式求边长的范围. 【详解】由三角形三边关系有，又三角形为锐角三角形， 若，则，可得，即， 若，则，可得，即， 综上，. 故选：D 43．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 44.（多选）（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断；对于B，由余弦定理求出,利用三角形面积公式即可求解；对于C，利用余弦定理即可求解；对于D，由，结合正弦定理求,可得是直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】对于A，由,可得,故A正确， 对于B，若，则，所以，则的面积为，故B正确； 对于C，若，则，即,解得：或，满足条件， 当时，则是等腰三角形， 当时，则是直角三角形，故C不正确； 对于D，若，则，由正弦定理可得：, 所以，因为，所以，，， 则是直角三角形，，故D正确； 故选：ABD 45．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；利用数量积的定义、余弦定理、三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】在圆内接四边形中，连接，，，    对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 46.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 47．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【详解】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 48.在平面四边形中，，，，，则_____.    【答案】 【分析】根据正弦定理求得，再根据已知条件求得，利用余弦定理即可求得的长. 【详解】由题意，在中，由正弦定理得， 即， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， ，解得. 故答案为：. 49.（25-26高一上·浙江金华·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理可得； （2）由正弦定理和三角恒等变换得到，所以，由余弦定理和基本不等式得到，得到周长最大值； （3）由余弦定理得，因为，所以，所以，故. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为，所以， ，展开化简得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为； （3）因为，所以，又因为， 所以所以， 所以， 因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以或， 所以或（舍去）， 故. 50．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 【考点六】正、余弦定理的实际应用 51.（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 52．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路的距离即可. 【详解】作于，如图： 则，而，即， 解得，所以塔尖C距离地面. 故选：B 53．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 54．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为，朝山顶沿坡度为15°的斜坡向上走4km到点B处，此时测得山顶P的仰角为，则山高为（    ） km A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据题设条件，结合图形，推出，借助于与，利用三角函数的定义即可求得山高. 【详解】如图， ，则，过点作于， 则，， 则，，则， 因， ， 故. 故选：C. 55．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【详解】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 56.（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 57．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 【答案】 【分析】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 58．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 59．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为______米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高. 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米. 故答案为： 60.（24-25高一下·广东汕头·期末）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 【答案】(1) (2)无触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方向角的定义在图中确定岛的位置； （2）通过解三角形求出岛到货轮航行路线的距离，与8海里比较大小，判断有无触礁危险. 【详解】（1） （2）在中， （海里）， ． 由正弦定理得， 又， 所以（海里）． 故A到航线的距离为（海里）． 由， 则，所以货轮无触礁危险． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义03 解三角形 【考点一】 余弦定理解三角形 【考点四】 三角面积公式及其应用 【考点二】 正弦定理解三角形 【考点五】 正、余弦定理在几何中的应用 【考点三】 正弦定理求外接圆半径 【考点六】 正、余弦定理的实际应用 一、三角形的基本关系 在中，内角的对边分别为，外接圆半径为，内切圆半径为，半周长。 1. 内角和与边角关系 内角和：（），故，，。 大边对大角：。 三边关系：，，；。 2. 面积公式（高频必考） 基础式：（为边上的高）。 边角式（核心）：。 外接圆式：。 内切圆式：。 海伦公式：。 二、正弦定理 1. 定理内容 公式：（为外接圆半径）。 文字：三角形各边与它所对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径。 2. 常见变形（边角互化核心） 边化角：，，。 角化边：，，。 比例关系：。 3. 适用场景 已知两角及一边，求其余边与角。 已知两边及其中一边的对角，求其余边与角（注意多解）。 边角互化，化简或证明恒等式、判断三角形形状。 4. 易错点：多解判定（期末难点） 已知，解的个数： 为锐角： ① ：无解； ② ：一解（直角）； ③：两解； ④ ：一解。 为钝角/直角： ① ：无解； ② ：一解。 三、余弦定理 1. 定理内容 边的平方： 角的余弦（推论）： 2. 适用场景 已知三边，求三个角。 已知两边及其夹角，求第三边及其他角。 判断三角形形状（通过余弦符号定角类型）： 为锐角； 为直角； 为钝角。 四、正、余弦定理综合应用（期末核心） 1. 解三角形的基本类型与方法 已知条件 解题步骤 所用定理 两角一边 ① 求第三角；② 正弦定理求边 内角和+正弦定理 两边夹角 ① 余弦定理求第三边；② 正弦定理求小角 余弦定理+正弦定理 三边 ① 余弦定理求两角；② 内角和求第三角 余弦定理 两边一对角 ① 正弦定理求对角；② 内角和求第三角；③ 正弦/余弦定理求第三边（注意多解） 正弦定理（+余弦定理） 2. 判断三角形形状（高频） 化边为角：利用正弦定理将边化为角的正弦，结合三角恒等变换判断角的关系（如、）。 化角为边：利用正弦、余弦定理将角化为边，结合代数变形判断边的关系（如、）。 常见结论： ① 等边三角形； ② 直角三角形（）； ③ 且 等腰直角三角形； ④ 钝角三角形。 3. 范围与最值问题（期末压轴） 边的最值：已知一角及对边，用余弦定理+基本不等式求周长或边长最值。 面积最值：已知一角及对边，用+余弦定理+基本不等式求面积最值。 角的范围：利用余弦定理结合余弦函数单调性，或正弦定理结合边角关系求角的范围。 五、实际应用 1. 常见测量模型 距离测量：两点间不可直达（如河两岸），构造三角形，用正、余弦定理求解。 高度测量：底部不可到达（如山峰、高楼），测仰角/俯角，构造直角或斜三角形求解。 角度测量：方位角、方向角问题，按题意画示意图，转化为三角形内角求解。 2. 解题步骤 建模：根据题意画出示意图，确定已知量、未知量，抽象为三角形模型。 选定理：根据已知条件，选择正弦定理或余弦定理。 求解：代入公式计算，注意单位统一。 还原：将结果还原为实际问题答案，检验合理性。 【考点一】余弦定理解三角形 1.（24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 4.（多选）（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．的面积最大值为 D．a的最小值为 6.（24-25高一下·甘肃白银·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则_____. 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，________ 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 9.（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，，，. (1)求的值； (2)取一点，使得，求点到直线的距离. 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 【考点二】正弦定理解三角形 11.（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·辽宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 15.（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）P是内一点，，，，则________． 16．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，在梯形中，，，，，，则______. 17．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则______． 19.（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 20．（24-25高一下·云南玉溪·期末）设锐角内部的一点满足，且． (1)证明：； (2)求角； (3)若，，，求的最大值． 【考点三】正弦定理求外接圆半径 21.（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 23．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 24．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 26.（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 27．（多选）（24-25高一下·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．四边形的面积为 C．的外接圆的周长为 D． 28.（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 29．（24-25高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别为，若，，则外接圆的周长为______． 30．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 【考点四】三角面积公式及其应用 31.（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的平分线的长为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34.（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 36.在中，若，则__________. 37．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则______． 38．（24-25高一下·山东临沂·期末）在中，，，记，，，则_______. 39.（24-25高一下·内蒙古·期末）已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 40．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【考点五】正、余弦定理在几何中的应用 41.（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 42．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 44.（多选）（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 45．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 46.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 47．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 48.在平面四边形中，，，，，则_____.    49.（25-26高一上·浙江金华·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求证：. 50．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【考点六】正、余弦定理的实际应用 51.（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 52．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 53．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为，朝山顶沿坡度为15°的斜坡向上走4km到点B处，此时测得山顶P的仰角为，则山高为（    ） km A． B． C． D． 55．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 56.（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 57．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 58．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 59．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为______米． 60.（24-25高一下·广东汕头·期末）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $