期末复习讲义01 平面向量8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末复习讲义01 平面向量 【考点一】向量概念 【考点五】平面向量基本定理 【考点二】向量的加减法 【考点六】向量坐标表示与运算 【考点三】向量的数乘 【考点七】向量平行的坐标表示 【考点四】向量的数量积 【考点八】向量应用 一、向量的概念 1. 定义与表示 向量：既有大小、又有方向的量；向量不能比较大小（模可以比较）。 表示：几何：有向线段 （起点，终点） 字母： 模：向量的长度，，。 2. 特殊向量 零向量：，，方向任意；**与任意向量平行**。 单位向量：；方向上的单位向量：。 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量；。 相等向量：且方向相同，。 相反向量：且方向相反，；。 3. 易错点警示 向量≠有向线段（向量可平移，无固定起点）。 共线向量≠四点共线（向量平行，直线可平行）。 零向量方向任意，平行、相等时需单独说明。 二、向量的线性运算 设 为向量，。 1. 加法 法则 三角形： 平行四边形： 运算律 交换律： 结合律： ， 2. 减法 定义：。 法则：起点相同， 由 终点指向 终点。 模不等式：（三角不等式）。 3. 数乘 定义： 是向量； 长度： 方向： 同向； 反向； 时 运算律： 4. 共线定理（核心） ，则 ，使 。 三点共线： 共线 ； 若 ，则 共线 （**鸡爪定理**）。 三、平面向量基本定理 基底： 不共线，则对任意 ，存在唯一一对实数 ，使。 正交基底： 且 （即坐标基底）。 易错：**不共线**才是基底；共线向量不能作基底。 四、向量的坐标表示 建立直角坐标系， 为单位正交基底；，。 1. 坐标运算 线性： 模：；。 2. 平行与垂直（高频） 平行：（交叉相乘相等）。 垂直：（数量积为0）。 五、向量的数量积 夹角为 （）。 1. 定义与坐标 定义：（**数量，无方向**）。 坐标：。 投影： 在 上的投影：。 2. 性质（高频） 。 ，。 夹角公式：。 （柯西）。 3. 运算律 交换： 数乘： 分配： 4. 极化恒等式（期末压轴常用） 平行四边形：。 三角形（为中点）：。 六、向量的应用 1. 平面几何 证明平行/垂直：用共线定理、数量积为0。 求长度/角度：用模、夹角公式。 中点/重心： 中点：重心： 2. 物理应用 力、位移、速度的合成与分解（平行四边形法则）。 功：。 【考点一】向量概念 1.（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 3.（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【考点二】向量的加减法 5.（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 8．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（24-25高一下·湖北·期末）给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 10.（多选）（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高一上·湖北荆州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 12.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【考点三】向量的数乘 13.（24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 17.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 20.（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知为所在平面内一点． (1)若为边的中点，且，判断与的关系，并且证明你的猜想．（提示：采用数形结合的思想解决问题）； (2)若，且的面积为，求的面积． 【考点四】向量的数量积 21.（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 23．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 25.（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 26.．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 27.（25-26高一上·广东深圳·期末）已知单位向量与的夹角为，且. (1)求； (2)求. 28.（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【考点五】平面向量基本定理 29.（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 31．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 33.（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 34.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    35．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为________. 36.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【考点六】向量坐标表示与运算 37.（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 38．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 39．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 41.（23-24高一下·安徽阜阳·期末）若向量满足，则向量的夹角为______. 42．（24-25高一下·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 43.（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 44．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【考点七】向量平行的坐标表示 45.（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 46．（23-24高一下·四川达州·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·辽宁·期末）已知平面向量，，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 48．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 49.（24-25高一下·湖南娄底·期末）已知向量，，若，则的值为_______. 50．（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 51.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 52．（25-26高一上·北京房山·期末）设向量与不共线. (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 【考点八】向量应用 53.（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 54．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 55．（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57.（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为________. 58．已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 59.（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 60．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义01 平面向量 【考点一】向量概念 【考点五】平面向量基本定理 【考点二】向量的加减法 【考点六】向量坐标表示与运算 【考点三】向量的数乘 【考点七】向量平行的坐标表示 【考点四】向量的数量积 【考点八】向量应用 一、向量的概念 1. 定义与表示 向量：既有大小、又有方向的量；向量不能比较大小（模可以比较）。 表示：几何：有向线段 （起点，终点） 字母： 模：向量的长度，，。 2. 特殊向量 零向量：，，方向任意；**与任意向量平行**。 单位向量：；方向上的单位向量：。 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量；。 相等向量：且方向相同，。 相反向量：且方向相反，；。 3. 易错点警示 向量≠有向线段（向量可平移，无固定起点）。 共线向量≠四点共线（向量平行，直线可平行）。 零向量方向任意，平行、相等时需单独说明。 二、向量的线性运算 设 为向量，。 1. 加法 法则 三角形： 平行四边形： 运算律 交换律： 结合律： ， 2. 减法 定义：。 法则：起点相同， 由 终点指向 终点。 模不等式：（三角不等式）。 3. 数乘 定义： 是向量； 长度： 方向： 同向； 反向； 时 运算律： 4. 共线定理（核心） ，则 ，使 。 三点共线： 共线 ； 若 ，则 共线 （**鸡爪定理**）。 三、平面向量基本定理 基底： 不共线，则对任意 ，存在唯一一对实数 ，使。 正交基底： 且 （即坐标基底）。 易错：**不共线**才是基底；共线向量不能作基底。 四、向量的坐标表示 建立直角坐标系， 为单位正交基底；，。 1. 坐标运算 线性： 模：；。 2. 平行与垂直（高频） 平行：（交叉相乘相等）。 垂直：（数量积为0）。 五、向量的数量积 夹角为 （）。 1. 定义与坐标 定义：（**数量，无方向**）。 坐标：。 投影： 在 上的投影：。 2. 性质（高频） 。 ，。 夹角公式：。 （柯西）。 3. 运算律 交换： 数乘： 分配： 4. 极化恒等式（期末压轴常用） 平行四边形：。 三角形（为中点）：。 六、向量的应用 1. 平面几何 证明平行/垂直：用共线定理、数量积为0。 求长度/角度：用模、夹角公式。 中点/重心： 中点：重心： 2. 物理应用 力、位移、速度的合成与分解（平行四边形法则）。 功：。 【考点一】向量概念 1.（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 3.（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 【考点二】向量的加减法 5.（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 6．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合向量的加减法法则即可得解． 【详解】解：由于四边形为矩形，所以 故， 故选：D 8．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 9.（24-25高一下·湖北·期末）给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项. 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立; 对于B，当或为零向量时，命题不成立； 对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立； 对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立. 故选：A. 10.（多选）（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选）（25-26高一上·湖北荆州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的相关概念判断ABC，利用判断D项. 【详解】A选项：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小（仅模可比较），故A为假命题； B选项：根据零向量的性质，零向量与任意向量共线，故B为真命题； C选项：互为相反向量的两个向量方向相反且模相等，故C为真命题； D选项：由向量模的三角不等式，代入，得，故D为真命题。 综上，真命题为BCD. 故选：BCD 12.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【答案】1 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 【考点三】向量的数乘 13.（24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 14．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 16．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 17.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解. 【详解】在中，，A选项正确； ，B选项正确； 在中，为边的中点，则，C选项错误； ，所以D选项错误； 故选：AB. 18．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】重 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 20.（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知为所在平面内一点． (1)若为边的中点，且，判断与的关系，并且证明你的猜想．（提示：采用数形结合的思想解决问题）； (2)若，且的面积为，求的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）直接根据中点的性质得到结论； （2）先通过构造点，利用点的性质得到，再据已知得到结果. 【详解】（1）由于为边的中点，故. 所以. 这就得到，即. （2） 如图，设点满足，则点在射线上，从而. 而，且由于， 故点在直线上. 所以，得. 【考点四】向量的数量积 21.（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 22．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】由题意可得，结合向量的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】解：由题意可得，      所以. 故选：D. 23．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 24．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 25.（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 【答案】2 【分析】利用投影向量的定义可得答案. 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 26.．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【分析】由求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 27.（25-26高一上·广东深圳·期末）已知单位向量与的夹角为，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再求模； （2）利用数量积运算律计算. 【详解】（1）由题可得， 则； （2） . 28.（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义和向量垂直进行求解； （2）利用平面向量夹角公式求解. 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则； （2）， 设与的夹角为， 则， 与的夹角的余弦值为. 【考点五】平面向量基本定理 29.（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 30．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 31．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 32．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性表示及向量的数量积运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， ，分别是，的中点，N是上一点，且， 则 . 故选：D. 33.（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 34.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 35．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为________. 【答案】4 【分析】设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解． 【详解】设， 因为， 所以， 因为，，三点在同一条直线上， 所以，所以， 所以． 故答案为：4. 36.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 【考点六】向量坐标表示与运算 37.（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直求出数量积，结合向量线性运算坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，向量， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：A 38．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 39．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示得出和，再结合向量线性运算的坐标表示得出，利用两向量垂直，数量积为0，即可解出实数的值. 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 即， 解得. 故选：B. 40．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 41.（23-24高一下·安徽阜阳·期末）若向量满足，则向量的夹角为______. 【答案】 【分析】设，由、求出向量的坐标，再由向量夹角的坐标表示可得答案. 【详解】设， 由， ， 可得，解得，所以， 设向量的夹角为，则， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 42．（24-25高一下·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 43.（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量的坐标公式求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，所以. （2）因为，且， 所以， ，解得. 44．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【详解】（1）； （2）； （3）已知，因为， 即，所以. 【考点七】向量平行的坐标表示 45.（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 46．（23-24高一下·四川达州·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量平行与垂直的坐标表示可判断AB；计算出模长判断C；线性坐标运算得，即可判断D． 【详解】对于A，，不平行，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 47．（25-26高一上·辽宁·期末）已知平面向量，，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得， 所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 48．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 49.（24-25高一下·湖南娄底·期末）已知向量，，若，则的值为_______. 【答案】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，故，解得. 故答案为：. 50．（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 【答案】 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【详解】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 51.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意画出图形，根据题意设点，然后写出的坐标，根据求出即可； （2）根据题意分别写出的坐标，再利用向量共线建立方程求出即可. 【详解】（1）如图所示：    因为，所以， 设，则， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以点D的坐标为. （2）因为为的中点，所以， 由， 且， 所以， 所以， 因为，所以， 解得. 52．（25-26高一上·北京房山·期末）设向量与不共线. (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求解，根据向量模的计算公式求解模； （2）根据向量共线定理求解. 【详解】（1），所以； （2）， 因为三点共线，所以，， 即， 又与不共线， 所以，解得， 即实数的值为. 【考点八】向量应用 53.（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 54．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 55．（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到，同理可得，解得，根据向量乘法可求得，代入到可求得. 【详解】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到 ， 同理可得， 又因，可得， 可解得， ，所以， 则. 故选：A 56．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 57.（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 58．已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 【答案】 【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】如图，令，则： 三点共线； 与共线反向，； ；- 解得．    故答案为：. 59.（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解； （2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； （2）设，因为四边形为矩形，所以，， 又，，， 得， 则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 60．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）以为基底表示出，再利用求解即可； （2）由（1）得出和，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 又，， 所以，解得． （2）由（1）可得，则，即． 因为，即， 所以，即，所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $