精品解析：河南驻马店市遂平县2025—2026学年下期期中学业水平测试九年级数学

2025-2026学年下期期中学业水平测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 下列各式中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 3. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，表示即可． 【详解】解：1908万； 故选：D． 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 5. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 【详解】解：设“少林寺”表示为A，“龙门石窟” 表示为B，“云台山”表示为C，“殷墟” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的结果有2种， 这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是． 6. 下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 7. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为和列式运算即可； 【详解】解：∵， 展开计算， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数，且根的判别式， ∵，，， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为 且． 8. 如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 点分别是边上靠近点的三等分点， ， 以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点， ， ， ， 阴影部分的周长． 9. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，，，由矩形的性质可得点是的中点，点是的中点，由三角形中位线定理可得，由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形，四边形都是矩形，是的中点， ∴点是的中点，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= （x<0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x>0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（ ） A. 8 B. 10 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图，连接O A′,由点A和点A′关于y轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB；又因点C与点C′关于x轴的对称，所以点A、A′、C′三点在同一直线上．设点A的坐标为（m，），直线AC经过点A，可求的直线AC的表达式为．直线AC与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k＜0时为（mk，），当k＞0时为（-mk，）,根据△ABC的面积等于6可得，解得．或，解得，所以y=．根据反比例函数比例系数k的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为1，△CO C′的面积为9，所以线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10，故答案选B． 考点：反比例函数与一次函数的综合题；反比例函数与一次函数的交点坐标；反比例函数比例系数k的几何意义和轴对称的性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a、b满足，那么_______，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题关键，根据偶次方和绝对值的非负性，得到，，再根据二次根式和分式有意义的条件，得到，分别求解即可． 【详解】解：， ，，， 或（舍）， ， 故答案为：，． 12. 数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，先求出原始数据的中位数和众数，然后逐一检验去掉每个数后中位数和众数是否保持不变． 【详解】解：原始数据排序后为5，5，6，7，8，9，10，中位数为7，众数为5． 去掉一个数后，数据个数为6，中位数为第3和第4个数的平均值． 若去掉5（任一），众数改变； 去掉6、8、9、10时，中位数均不为7； 只有去掉7时，剩余数据排序后为5，5，6，8，9，10，众数为5，中位数为，保持不变．故去掉的数可能是7． 故答案为： 13. 若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集的取值范围求出参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵， ∴不等式组的解集为， 解得， ， ∵解集中的任意x都能使不等式成立， ∴， 解得． 14. 如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与扇形面积公式的综合应用，关键是将阴影部分转化为半圆的面积与空白部分的面积差，而空白部分的面积为的面积减去扇形的面积． 根据等腰直角三角形的性质求出相关角度和线段长度，再分别计算两部分阴影的面积，最后相加得到结果． 【详解】解：在中，，， ，，． 以为圆心，为半径的扇形，圆心角，半径， ， 空白部分的面积为； 以为直径的半圆，半径， ， 该部分阴影面积为； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴在点P的运动过程中，面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切是解题的关键． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算、因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂，零次幂，二次根式的化简以及特殊角的锐角三角函数值求解； （2）利用完全平方公式以及十字相乘法进行因式分解 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位． 其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A 0.3 B 35 0.35 C 31 D 4 0.04 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）请补全条形统计图； （3）若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人； （4）张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率． 【答案】（1）30；0.31 （2）补充完整的条形统计图如图所示： （3）480 （4） 【解析】 【分析】（1）先根据B求出样本容量，再乘以频率求解，再频数除以样本容量求解频率； （2）根据求解的即可补全条形统计图； （3）用总数乘以占比即可； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的样本容量为：， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 补充完整的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：该校学生喜爱“”的学生人数为（人）； 【小问4详解】 解：画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“”的结果有2种， ∴抽取的2人均喜爱“”的概率为． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）求m，k，b的值； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入得，把代入得，把，代入得，即可求出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数的交点得出答案即可； （3），求出，即可得到C点坐标为． 【小问1详解】 解：把代入得， 把代入得， 把，代入得，解得， 综上，，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由图知时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：由题得，解得， 由（1）知， 向下平移个单位长度，即， C点坐标为． 19. 如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D． （1）以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）连接，，，与交于F，根据勾股定理求得，再由垂径定理的推论可知，，从而得到为的中位线，求得，进而得到，最后在和利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，分别连接，，，与交于F， ∵为直径， ∴在中，,，， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴，， 又∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴． 20. 为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？ 【答案】（1）购买一个A、B种品牌的足球分别需要50元、80元； （2）这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球22个，B种足球28个；方案二：购买A种足球23个，B种足球27个；方案三：购买A种足球24个，B种足球26个．方案三资金最少． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元，根据购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元，列出方程组，解方程组即可； （2）设第二次购买A种足球个，则购买B种足球个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个种品牌的足球分别需要50元、80元； 【小问2详解】 解：设第二次购买A种足球个，则购买种足球个， 依题意得： ， 解得：， 即可以取值为：22，23，24， 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球22个，B种足球28个， 方案二：购买A种足球23个，B种足球27个， 方案三：购买A种足球24个，B种足球26个， ， 当，时，（元）， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， 为了节约资金，学校应选择方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，资金最少．最少资金是3168元． 21. 年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到） 【答案】（1）； （2）乙同学先到达校门C处； 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是作出辅助线得到特殊角直角三角形： （1）过作交于点，根据得到即可求出，结合角即可得到，即可得到答案； （2）过作交于点，由（1）求出，，再在，中求出，，从而求出，，结合路程速度求出时间即可得到答案； 【小问1详解】 解：过作交于点， ∵， ∴， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∵甲同学从D向南偏东方向经景观大道前往C处， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：过作交于点， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，， ∵甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分， ∴，， ∴， ∴乙同学先到达校门C处． 22. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【小问1详解】 解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． 【小问3详解】 根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，证明：； （2）由（1）得可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为______； （3）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】 （4）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 【答案】 （1）证明： 四边形是正方形， ， ， ； （2） （3） （4）的值与无关，理由如下： 四边形是菱形，， ， O是的垂直平分线与的交点， ， ， ， ， 在中，， ， 将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到， ， ，， ，， ， ， 的值与无关． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和两角对应相等两三角形相似证明即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理求得，再根据k为相似比求解即可． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，根据，可得，，进而可证，再根据即可得解． （4）根据菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角函数可得，由可得，，进而可证，根据即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， 可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到， ； （3）解：四边形是正方形， ， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到， ， ，， ，， ， ； （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期中学业水平测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 下列各式中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（    ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= （x<0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x>0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（ ） A. 8 B. 10 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a、b满足，那么_______，_____． 12. 数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______． 13. 若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为__________． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算、因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 17. 国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位． 其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A 0.3 B 35 0.35 C 31 D 4 0.04 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）请补全条形统计图； （3）若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人； （4）张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）求m，k，b的值； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标． 19. 如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D． （1）以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长． 20. 为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？ 21. 年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到） 22. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，证明：； （2）由（1）得可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为______； （3）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】 （4）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $