精品解析：2025年河南省驻马店市遂平县第一中学九年级第二次模拟考试数学试卷

2025年河南省驻马店市遂平县第一中学九年级第二次模拟考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 要了解一批灯泡的使用寿命，从总体中任意抽取50个灯泡进行试验，在这个问题中，50是( ) A. 个体 B. 总体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 3. 如图是月牙纹彩陶罐，是仰韶村遗址第三次发掘出土唯一一件完整的彩陶罐，现藏于三门峡庙底沟博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同 4. 李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表： 每天步数/万步 1.3 1.2 1.1 0.9 天数 3 4 2 1 李老师这10天平均每天“健步走”的步数为（ ） A 1.2万步 B. 11.8万步 C. 1.18万步 D. 1.15万步 5. a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 6. 如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，，在线段边上取点，构造正方形，其中点在射线上，设的长度为，与正方形重叠部分的面积为，已知与之间的函数关系如图所示，则图象拐点处的横坐标的值是（    ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为__________． 12. 如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为________． 13. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为______． 14. 如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则_________． 15. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ______． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外的一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应任务． （1）“作法一”中的“依据”是指_________________________________． （2）请根据作法二的作图步骤，给出证明过程； （3）在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 18. 如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）求阴影部分的面积． 19. 郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分． （1）求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式． （2）一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 22. 综合与实践 折纸是同学们喜欢手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动． 【动手操作】如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；过点M，C折叠纸片，使点B落在点处；再沿过点C的直线折叠纸片使得与重合，折痕交于点E．求知小组的同学们通过观察猜测E是的三等分点，并进行证明，过程如下： 设，则 ，． ∵四边形是正方形，∴． 由折叠的性质，得， ∴，即M，，E三点在同一条直线上 在中，，可列方程① ， 整理，得 ②． ∴，即E是的三等分点． （1）请将上述过程补充完整：① ；② 【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为，交于点． （2）判断点G是否为 的三等分点，并说明理由． 【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交边于点；再沿过点的直线折叠，使与重合，折痕交边于点，将沿折叠，得到． （3）若正方形的边长为6，当点P落在的边上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省驻马店市遂平县第一中学九年级第二次模拟考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， ， 故选：． 2. 要了解一批灯泡的使用寿命，从总体中任意抽取50个灯泡进行试验，在这个问题中，50是( ) A. 个体 B. 总体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行解答即可. 【详解】在这个问题中，50是指样本的容量， 故选D． 考查的对象是一批灯泡的使用寿命，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【点睛】本题主要考查了具体问题中的总体、个体、样本、样本容量，关键是明确样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位． 3. 如图是月牙纹彩陶罐，是仰韶村遗址第三次发掘出土的唯一一件完整的彩陶罐，现藏于三门峡庙底沟博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，掌握几何体的三视图概念是解题关键． 【详解】解：由实物图，可知月牙纹彩陶罐的主视图和左视图相同，俯视图与主视图、左视图均不相司， 故选：C． 4. 李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表： 每天步数/万步 1.3 1.2 1.1 0.9 天数 3 4 2 1 李老师这10天平均每天“健步走”的步数为（ ） A. 1.2万步 B. 11.8万步 C. 1.18万步 D. 1.15万步 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，直接利用加权平均数进行计算即可． 【详解】解：（万步）， 故选：C． 5. a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组整数解．解出不等式组的解集，在根据a是不等式组的一个整数解，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ， ∴不等式组有整数解， ∵a是不等式组的一个整数解， ∴或， 故选：C． 6. 如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据菱形的性质，得到，圆周角定理得到，圆内接四边形得到，求解即可． 【详解】解：∵点为上的点，四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴； 故选C． 7. 如图所示，在中，，在线段边上取点，构造正方形，其中点在射线上，设的长度为，与正方形重叠部分的面积为，已知与之间的函数关系如图所示，则图象拐点处的横坐标的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，根据的最大值为9，可知此时重叠的部分恰好为，则由三角形面积计算公式和已知条件可求出，；由图2可知，当时，此时点E恰好落在线段上，则可证明，利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：由图2可知，的最大值为9，则此时重叠的部分恰好为， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 由图2可知，当时，此时点E恰好落在线段上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 9. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是从图象中获取信息，理解所对应的自变量的范围是解本题的关键． 【详解】解：由题图，可知时，， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到∠A＝90°，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是CG的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值．先利用完全平方公式把所求的代数式变形得到，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，求出，易证是等边三角形，推出，求出，再由即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则， ∵将沿弦折叠， ∴点都在以为圆心，半径为6的圆上， ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形中，即的度数为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形面积；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 13. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移距离的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质等，分、和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，是直角三角形，且， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 延长交于点，延长交于点， ∵将沿射线平移得， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得， ∴； 如图，是直角三角形，且，则， ∵， ∴； ∵，且是锐角， ∴， ∴不存在是直角三角形，且的情况； 综上所述，移的距离的长度为或， 故答案为：或． 14. 如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，利用相似建立等式求解． 【详解】如解图，过点C作于点F， ， ， ， 则， 即． ． 故答案为：． 15. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含直角三角形的性质，勾股定理，连接，设的半径为，根据，，得，结合切线的定义可知，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，负整数幂，绝对值，再加减即可； （2）首先把括号里面的部分通分相加，根据分式除法法则把除法转化为乘法，然后再约去分子、分母的公因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外的一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指_________________________________． （2）请根据作法二的作图步骤，给出证明过程； （3）在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 【答案】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据尺规作图可证，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知：“作法一”中的“依据”是指经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 18. 如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是关键． （1）证明，则，由得到，则，即可证明结论成立； （2）求出和，根据即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接． 四边形是平行四边形， ，． ． ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ， ； 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ． 19. 郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分． （1）求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式． （2）一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数表达式为，把点代入求出，即可求解； （2）无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，由题意可得，证明四边形为矩形，得到，由，推出，得到，设点的坐标为，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 彩虹桥中间拱形的二次函数表达式为； 【小问2详解】 存在． 如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点， 无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为， ， 又， 四边形为矩形． ， 由题意得：， ， ， ， 设点的坐标为． ， 解得：（舍去），， 当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍． 20. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2）C （3）乙山楂园，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． （1）根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以200即可求解； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）根据直方图的数据分析即可． 【小问1详解】 解：， 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组． 故答案为：C． 【小问3详解】 解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下： 由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）点在反比例函数的图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2) 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，.进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． 【小问1详解】 解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ∴． 把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 22. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动． 【动手操作】如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；过点M，C折叠纸片，使点B落在点处；再沿过点C的直线折叠纸片使得与重合，折痕交于点E．求知小组的同学们通过观察猜测E是的三等分点，并进行证明，过程如下： 设，则 ，． ∵四边形正方形，∴． 由折叠性质，得， ∴，即M，，E三点在同一条直线上 在中，，可列方程① ， 整理，得 ②． ∴，即E是的三等分点． （1）请将上述过程补充完整：① ；② 【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为，交于点． （2）判断点G是否为 的三等分点，并说明理由． 【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交边于点；再沿过点的直线折叠，使与重合，折痕交边于点，将沿折叠，得到． （3）若正方形的边长为6，当点P落在的边上时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）点是的三等分点，理由见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）将、、的代竖式代入中，即可得方程，利用完全平方公式将式子化简即可得到； （2）由折叠可得：，，，设，，则，，，在中，，即，整理得，得到，推出，得到，推出，即可求解； （3）分情况讨论：①当点落在边上时，当点落在边上时，分别根据折叠的性质和三角函数求解即可． 【详解】解：（1）可列方程①：， ②整理方程如下： ， 故答案为：，； （2）点是的三等分点． 理由如下： 如图： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，，， 设，，则， 则，， 在中，，即， 整理得：， ， ， ． ， ， ，即． ， 即点G是的三等分点； （3）四边形是正方形， ，， 分情况讨论： ①如图1，当点落在边上时， 由折叠的性质得：， ， ， ， ； ②如图2，当点落在边上时，如图： 由折叠的性质得：， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握折叠的性质并分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$