2.4 幂函数与二次函数导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按定义、图象、性质逻辑梳理知识清单，通过自主诊断夯实基础，考教衔接部分以命题点解析（如幂函数定义域值域、二次函数解析式求法）和跟踪训练构建复习体系，实现考点梳理、方法指导与真题演练的有机结合。 资料采用分层设计与素养导向教学，如二次函数单调性讨论中，通过对称轴与区间位置关系分类培养逻辑推理能力，幂函数图象辨析提升几何直观（数学眼光），设置基础巩固与能力提升练习，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四节　幂函数与二次函数 知识清单 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调________； ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调________． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝________________． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 ________ 值域 [，＋∞) (－∞，] 对称轴 直线x＝________ 顶点坐标 ________________ 奇偶性 当b＝0时是________函数，当b≠0时是________函数 单调性 在(－∞，－]上________； 在[－，＋∞)上________ 在(－∞，－]上________； 在[－，＋∞)上________ 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　) 2．(人教A版必修一P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(x)＝(　　) A．y＝()x B．y＝ C．y＝log2x　 D．y＝sin x 3．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则函数f(x)的图象大致为(　　) 4．(人教A版必修一P100T4改编)如果函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间(3，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　幂函数的图象与性质 例1 (1)(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(0，＋∞) C．f(x)为偶函数 D．f(x)是其定义域上的减函数 (2)(2026·郑州模拟)若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，实数m的值为________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断； (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 　跟踪训练　 (1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C.－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 (2)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．m＝4或m＝－1 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 命题点二　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的解析式 例2 设实数k>0，已知f(x)＋g(x)＝x2＋16x＋13，其中f(x)为二次函数，且当x＝k时，f(x)有最大值5.又g(x)的最小值为－2，且g(k)＝25，求f(x)的解析式． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值，宜选用顶点式； (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 　跟踪训练　已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________． 考向2　二次函数的图象 例3 (多选)(2026·蚌埠模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论，其中正确的是(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．若y>0，则x∈(－3，1) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向． (2)二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置． (3)三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等． 　跟踪训练　已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 考向3　二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R. (1)若f(x)在区间[4，6]上具有单调性，求m的取值范围； (2)当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)求解与二次函数有关的单调性问题，应根据二次函数图象的开口方向与对称轴确定单调区间． (2)二次函数在某区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．第一类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来解决，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论． 　跟踪训练　(1)函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．(－∞，5) D．[3，＋∞) (2)0≤x≤1时，函数y＝x2－2ax＋a的最小值为－2，则实数a的值为________． 提示：请完成课时作业9 第四节　幂函数与二次函数 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)y＝xα　(3)②(1，1)　递增　③(1，1)　递减 2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n)　(2)R　－　偶　非奇非偶　单调递减　单调递增　单调递增　单调递减 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：设f(x)＝xα，则2α＝，所以α＝，所以f(x)＝.故选B. 答案：B 3．解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，由其图象经过点，得2α＝，解得α＝－2，于是f(x)＝x-2＝. 方法一　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，排除A，D；因为f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C. 方法二　因为α＝－2，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除AD；又f(－1)＝1>0，排除C.故选B. 答案：B 4．解析：f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a，且开口向上，因为函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，则a≤3，故a的取值范围为(－∞，3]. 答案：(－∞，3] 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)设f(x)＝xa，其图象经过点，则3a＝，解得a＝－2，故f(x)＝x-2＝y>0}，故B正确；因为f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故C正确；因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误．故选BC. (2)因为f(x)＝(m2－m－1)x2m-3是幂函数，所以m2－m－1＝1⇒(m－2)(m＋1)＝0，解得m＝2或m＝－1.又因为幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m-3在(0，＋∞)上单调递增，所以2m－3>0，故m＝－1舍去，所以m＝2. 答案：(1)BC　 答案：(2)2 跟踪训练　解析：(1)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1.当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. (2)函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1，当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，排除AB；所以f(x)＝x≠0}关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C. 答案：(1)D　 答案：(2)C 例2　解析：因为f(x)为二次函数，且当x＝k时，f(x)有最大值5，所以设f(x)＝a(x－k)2＋5，其中a<0，则g(x)＝x2＋16x＋13－f(x)＝(1－a)x2＋(16＋2ak)x＋8－ak2，所以由题意可得因为k>0，所以所以f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3，所以f(x)的解析式为f(x)＝－2x2＋4x＋3，k的值为1. 跟踪训练　解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x. 答案：x2＋2x 例3　解析：由函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，∴a<0，Δ＝b2－4ac>0，∴A正确；由对称轴方程为x＝－＝－1，可得2a＝b，∴2a－b＝0，∴B不正确；由f(－1)>0，可得a－b＋c>0，∴C不正确；由图象可得f(－3)＝0，根据函数的对称性，可得f(1)＝0，由y>0可得－3<x<1，∴D正确．故选AD. 答案：AD 跟踪训练　解析：由题意，函数y＝ax2＋bx＋c，因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1，0)．又由a>b>c，可得a>0，c<0，所以抛物线的开口向上，可排除BD项，令x＝0，可得y＝c<0，可排除C项．故选A. 答案：A 例4　解析：答案：(1)因为二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m，且f(x)在[4，6]上具有单调性， 所以当f(x)在[4，6]上单调递减时，m≤4；当f(x)在[4，6]上单调递增时，m≥6. 所以实数m的取值范围是(－∞，4]∪[6，＋∞)． 答案：(2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m， ①当m≤1时，f(x)在[1，3]上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m， 因为当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，即－m2＋2m＝－8， 解得m＝4或m＝－2，所以m＝－2； ②当1<m<3时，f(x)在(1，m)上单调递增，在(m，3)上单调递减， 此时f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1＝－8，无解，所以m不存在； ③当m≥3时，f(x)在[1，3]上单调递增， 此时f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8， 因为当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8， 所以－m2＋6m－8＝－8，解得m＝6或m＝0，所以m＝6. 综上所述，m＝－2或m＝6. 跟踪训练　解析：(1)由题意，二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口向上，对称轴方程为x＝1－a，因为函数y＝f(x)在区间(－∞，4)上单调递减，所以1－a≥4，解得a≤－3.故选B. (2)二次函数y＝x2－2ax＋a的图象开口向上，其对称轴为x＝a，当a≤0时，x＝0，ymin＝f(0)＝a＝－2，则a＝－2；当0<a<1时， ymin＝f(a)＝－a2＋a＝－2，解得a＝－1或a＝2，因为0<a<1，所以此种情况不存在；当a≥1时，x＝1，ymin＝f(1)＝1－a＝－2，解得a＝3综上实数a的值为－2或3. 答案：(1)B　(2)－2或3 学科网（北京）股份有限公司 $