专题三 函数与基本初等函数11二次函数 导学案-2027届高考数学一轮总复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了二次函数专题，涵盖解析式三种形式、图像性质、根的分布及单调性、最值等应用考点，通过知识梳理填空和问题链设计，引导学生自主构建知识网络，体现考点的系统性和层次性。 亮点在于诊断性变式训练和分层任务设计，如类型应用中设置基础到综合的变式题，培养学生的数学思维和模型观念。每个模块配有例题解析和错题归因表，帮助学生自主诊断提升，教师可通过学情数据精准指导，支持因材施教。

高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数11二次函数 1、 考情分析 本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 2、 知识梳理 知识点一 二次函数及其性质 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：． 顶点式：，顶点坐标为． 零点式：，，为的零点． （2）二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 对称轴 坐标顶点 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 知识点二 一元二次方程根的分布 （1）方程有两个实数根 （2）方程有同号两根 （3）方程有异号两根 （4）韦达定理及应用： , 三、类型应用 类型一 求二次函数解析式 例1:已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式． 【答案】或． 【知识点】求二次函数的解析式 【分析】利用给定点求出c，设出图象与轴交点的横坐标，结合一元二次方程根与系数的关系求出b得解. 【详解】由二次函数的图象与轴交于点知，， 设二次函数的图象与轴交点的横坐标为，则是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系知，，则，解得， 所以所求二次函数的表达式为或. 变式训练1-1：已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 变式训练1-2：图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 变式训练1-3：若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 类型二 二次函数的图像 例2：不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 变式训练2-1：已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】二次函数的图象分析与判断、一次函数的图像和性质、函数图像的识别 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知，，，所以二次函数的图象开口向上， 且对称轴为,又时，，故C符合题意，ABD不符合题意. 故选：C. 变式训练2-2：已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 类型三 二次函数的单调性 例3：下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、对数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 变式训练3-1：函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式训练3-2：若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 所以，. 则实数的取值范围是. 变式训练3-3：已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），据此作答即可． 【详解】二次函数的对称轴为， 要使二次函数在上单调， 则或， 即或， 故选：B． 类型四 二次函数的最值 例4：已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由题意可得为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）分，和三种情况，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，所以为方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）由于的对称轴为， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上单调递增， 此时； 当时，即时， 在区间上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在区间上单调递减， 所以， 综上所述：. 变式训练4-1：函数在区间上的值域是________. 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的单调性可确定最值点，由此可得值域. 【详解】， 在上单调递增，在上单调递减，且关于直线对称， 当时，，， 所求值域为. 故答案为：. 变式训练4-2：设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法可得函数的解析式，分情况讨论函数单调性与最值情况，即可得解. 【详解】由已知，， 则，， 又函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当，即时，函数在上单调递减， 则的最小值为，即此时； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 综上所述. 故答案为：. 类型五 与二次函数有关的复合函数问题 例5：函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 变式训练5-1：函数的单调递减区间为______． 【答案】 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 变式训练5-2：设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】令，，由复合函数法可知内层函数在上为增函数，对任意的，恒成立，结合二次函数的单调性与参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】令，， 因为函数在区间上单调递增， 外层函数在上为增函数，所以内层函数在上为增函数， 所以，可得， 且对任意的，恒成立，可得，故， 综上所述，. 故选：C. 例6：函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、与二次函数相关的复合函数问题 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 变式训练6-1：已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【知识点】求对数函数的最值、与二次函数相关的复合函数问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 变式训练6-2：已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合函数的最值、复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 例7：已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、对数型复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 变式训练7：已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 类型六 二次方程根的分布 例8：已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 变式训练8-1：若方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题、函数与方程的综合应用 【分析】由题，问题转化为方程有两个不等实根，等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点，根据函数的单调性求解. 【详解】因为在区间上，方程有两个不等实根，可转化为方程有两个不等实根， 等价于函数与函数的图象在区间上有两个交点， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式训练8-2：已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 变式训练8-3：方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 变式训练8-4：若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】将的两个极值点均为正数转化为有两个正根，由一元二次方程根的分布可求得结果. 【详解】由，则， 由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然， 故需满足，解得. 故答案为：. 变式训练8-5：关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 类型七 数学情境 1．在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关的思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】求二次函数的解析式、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据将点代入函数的解析式，求得的值，即可得到的解析式； （2）（i）求得对称轴的方程为，结合题意，得到，即可求解； （ii）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性，求得最值，进而得到的表达式. 【详解】（1）由过点，可得， 解得，所以函数的解析式为. （2）（i）由函数，可得对称轴的方程为， 因为函数在不单调，可得，解得， 即实数的取值范围为； （ii）由函数的对称轴的方程为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递递增，所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 所以， 综上可得， 3、 素养提升 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题、判断命题的必要不充分条件 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 2．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 3．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求二次函数的值域或最值 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 4．已知函数． (1)若，且，求的值域； (2)若集合，求实数的取值范围； (3)非空集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数零点的个数求参数范围、与二次函数相关的复合函数问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，代值得参数的值，由二次函数的性质，从而求出的值域； （2）对于嵌套函数，先讨论不同范围下，外函数小于0时的解，在谈论内函数的最小值不在此范围内即可求解； （3）将A、B集合化简，分别得和，若两集合相等，则方程无解或者与同解，分类讨论即可. 【详解】（1）， ， ， 当时，取最小值，当时，取最大值6， ； （2）由得， ， 当时，恒成立，显然成立； 当时，设，由得， 由得，故； 当时，由得， 由得，故； 综上所述，； （3）由得， 由得，即 ， 记， ， ， 得或， 又， 方程无解或者与同解， 当时，； 当时，的解为，代入， 检验得，符合； 当时，； 综上所述，或. 5给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中. (1)根据基本事实，求的值； (2)根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】函数新定义、求二次函数的值域或最值、函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由所给函数的性质，赋值即可得解； （2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数求解即可； （3）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，由的图象关于对称，则只需，分类讨论求得值域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）由定义在上函数的图象关于点对称及基本事实， 得到为定义在上的奇函数， 则， 即对恒成立， 令，得. （2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数. 即 为奇函数， 所以解得. （3）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 . 由，可知，，，，， 所以，，则在上单调递增； 因此，在区间上的值域为， 记在上的值域为B，对任意，总存在，使得成立知. 由的图象关于对称，则只需即可. ①当，时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， 故在上单调递增，只需即可，故满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故或， 当时，只需要 解得， 又，所以满足题意； ③当，时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， 所以在上单调递减，只需即可，所以满足题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数11二次函数 1、 考情分析 本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 2、 知识梳理 知识点一 二次函数及其性质 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：______． 顶点式：，顶点坐标为______． 零点式：，，为的零点． （2）二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 ______ 值域 对称轴 ______ 坐标顶点 ______ 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上是______函数； 在上是______函数 在上是______函数； 在上是______函数 知识点二 一元二次方程根的分布 （1）方程有两个实数根 （2）方程有同号两根 （3）方程有异号两根 （4）韦达定理及应用： 三、类型应用 类型一 求二次函数解析式 例1:已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式． 变式训练1-1：已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-2：图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-3：若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 类型二 二次函数的图像 例2：不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-1：已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．   D．   变式训练2-2：已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 类型三 二次函数的单调性 例3：下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 变式训练3-1：函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 变式训练3-3：已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四 二次函数的最值 例4：已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值． 变式训练4-1：函数在区间上的值域是________. 变式训练4-2：设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 类型五 与二次函数有关的复合函数问题 例5：函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-1：函数的单调递减区间为______． 变式训练5-2：设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6：函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 变式训练6-1：已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 变式训练6-2：已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 例7：已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练7：已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六 二次方程根的分布 例8：已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 变式训练8-1：若方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练8-2：已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练8-3：方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式训练8-4：若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 变式训练8-5：关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 类型七 数学情境 1．在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关的思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 3、 素养提升 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)若，且，求的值域； (2)若集合，求实数的取值范围； (3)非空集合，若，求实数的取值范围． 5.给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中. (1)根据基本事实，求的值； (2)根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $