数学（山西卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 以航天科技、AI辅助学习、打铁花非遗等时代与文化情境为载体，通过统计分析、函数建模、几何探究等题组，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、轴对称、运算、几何性质、统计量|航天图标考轴对称（第2题），自动养生壶考函数应用（第9题）| |填空题|5/15|因式分解、代数式、坐标对称、概率、几何计算|充电桩数量代数式（第12题），展览馆出入口概率（第14题）| |解答题|8/75|计算、函数、统计、应用方程、解直角三角形、几何综合|AI使用时间统计分析（第18题），打铁花运动轨迹二次函数模型（第22题），几何平移旋转探究（第23题）|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[AJ[B][CJ【DJ 10.(AJ[BI[C][D1 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 冒看大系：瓜后 HGED B 图1 图2 21.(9分) A A 0 ------ N M B 1 P B D E 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) 5m 024m- -24im 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) D D B B E E 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示： 县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市 最低气温 其中当天最低气温最高的县区是（   ） A．迎泽区 B．小店区 C．阳曲县 D．古交市 【答案】A 【分析】利用负数比较大小的方法即可得到结果． 【详解】解：，，，，且 ， ∴ ， ∴最高的最低气温为 ，即当天最低气温最高的县区是迎泽区． 2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项法则和幂的乘方法则，逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，该项错误； B．根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，该项错误； C．与不是同类项，不能合并，该项错误； D．根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变，可得，该项正确． 4．汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 光线经反光镜反射后均平行于地面射出， ， ，， ． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】计算判别式的值后与0比较大小，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， 计算根的判别式得， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 6．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据作图步骤得出四边形为菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设直线与交于点， 由作图步骤可知，、， ， 四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 7．如图，，是的两条弦，与交于点，且点是的中点，连接，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，则，根据三角形的内角和定理可得，结合邻补角的性质和，计算出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8．某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 9．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 10．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 【答案】/ 【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴， ∴. 14．如图是某展览馆的平面示意图，该展览馆有B，E两个入口，A，C，D，F四个出口，若小明随机从一个入口进去，随机从一个出口出来，则小明从E口进去，从C口出来的概率是______． 【答案】 【分析】先列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式解答． 【详解】解：列表如下： 出口                            入口 B E A C D F 一共有8种可能出现的结果，小明从E口进去，从C口出来只有1种， ∴小明从E口进去，从C口出来的概率是． 15．如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定；分别过点，作，，垂足分别是，，由角平分线的性质可得，，进而可证明，设，则，在中，利用，建立方程可求出，最后利用，得出，即可求出． 【详解】解：∵在Rt中，，， ， 如图所示，分别过点，作，，垂足分别是，， 平分，， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即，解得：， ， ∵在中，，， ， ， ∴在中，， ，， ， ， ． 3、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】（1）根据零指数幂，负指数幂进行计算即可； （2）根据分式的加减与乘法运算法则进行化简，再代数求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当时，原式． 17．（7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)；m的值为6 (2)点D的坐标为 【分析】（1）把代入可求出，把代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，连接，设点D的坐标为，根据列式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ，                     ∴反比例函数的表达式为；                 将代入，得． （2）解：由（1）可知点B的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为， ， 如图，连接， 设点D的坐标为， ， ， 解得， ∴点D的坐标为． 18．（8分）随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图． 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． (2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． (3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)；10； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据频率之和等于1，频数等于样本容量乘以频率，圆心角的计算办法，求解即可． （2）根据加权平均数的定义求解即可． （3）根据学习的需要去解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，, 故； D组的人数为； B组所在扇形圆心角的度数为． （2）解：根据题意，得 ． （3）解：学生使用大模型辅助学习超过了规定时间，应予以管理； 建议学生合理安排使用大模型辅助学习，避免过度依赖，把时间控制在合理范围内． 19．（7分）科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 20．（8分）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 【答案】(1)纪念碑的高度约为40米 (2)10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，线段的比例．利用数形结合思想，根据三角函数定义设未知数列方程是解题关键． （1）延长交于点M，由四边形和四边形是矩形得到，，设，则，，利用列方程求解，得到，最后将和加起来即可． （2）由纪念碑按等比例缩小，利用求解即可． 【详解】（1）解：如解图，延长交于点M，易得四边形和四边形均为矩形， ，，                 设， 则，，                     在中，， ，解得，                 ．                     答：纪念碑的高度约为40米； （2）解：由（1）得纪念碑的高度约为40米， ∵纪念碑按等比例缩小， ∴他打印出的模型高度为． 21．（9分）阅读与思考 问题：已知：如图1，中，是底边上的任一点（不与、重合），于，于，于．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的证明过程：如图2，过点作于，，四边形是矩形， （依据一），， ，，，，， （依据二） ，则 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)①小明的证明过程中，依据一_____；依据二_____ ②根据小颖的思路方法写出推理过程 (2)如图4，四边形中，，，，是上任意一点，于，于，试利用上述结论求的值． 【答案】(1)①三个角是直角的四边形是矩形；角角边；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据矩形的判定方法，全等三角形的判定即可解答； ②连接，根据，，，即可解题； （2）作，，易求得的长，易求，即可求得，可得，同理可得，即可解题． 【详解】（1）①解：根据证明过程可得依据一为“三个角是直角的四边形是矩形”；依据二为“角角边”； ②证明：连接， ，，，， ， ， ； （2）解：如图，作于F，于G， ，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，同理， ． 22．（13分）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由见解析 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解； （3）由（1）所得抛物线向上平移5个单位长度可得新的抛物线，再令求出落地点与表演台中心水平距离，再求出安全距离，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． （3）解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 23．（13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形，见解析 (2)①，见解析；②或 【分析】（1）利用平移的性质可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到结论； （2）①根据旋转的性质以及菱形的性质证明即可解答．②分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别画出图形，根据菱形的性质、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形．理由如下： 线段平移至线段， ，， 四边形是平行四边形， 在中，，点是的中点， ， 为菱形． （2）①，理由如下： 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 又，， ， ． ②a．∵,， ∴， ∵为菱形， ∴， ∴，即， 由上述证明得到，， 由旋转得到，为等腰直角三角形， ∴当绕B顺时针旋转时，如图：过点作交的延长线于点， ∵点是的中点，， ∴，，， 由（1）可得：为菱形， ∴，则四边形为正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵, ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（负值舍去）； b．由①可得，如图：当绕B顺时针旋转时，相当于绕B逆时针旋转，点在的延长线上，连接， ∵且，为菱形， ∴四边形为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由（2）①可知， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 综上，线段的长度为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 3 4 8 D A B 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-2xx-2)(x+2 12.3n+6)/八6+3n】 13.-13 14.8 15. 413 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 【详解】(1)解：原式=1-3+4x1+5 (3分) =1-3+4+5 =7； (5分) (2)解：原式= 4+-2 x-2x-2(x+2)2 =x+2 x-2(x+2)2 x (8分) (x-2)(x+2) -1 当x=-1时， 原式= (-1-2)(-1+2)3 (10分) 17.(7分) 【详解】1)解：“点42,3)在反比例函数y=的图象上， k=2×3=6, (2分) “反比例函数的表达式为y= (3分) 将Bm,)代入y= 6,得m=6 (4分) 1/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：由(1)可知点B的坐标为(6,1， 设直线AB的函数表达式为y=ax+ba≠0)， 3=2a+b 代入A(2,3),B(6,1),得 1=6a+b' a=- 解得 2， b=4 :直线AB的函数表达式为y= 2+4, (5分) 令x=0,得y=4, 点C的坐标为(0,4) (6分) 0C=4, 如图，连接OB, B D 设点D的坐标为(n,0)n>0), S图边形ODBc=S△0Bc+S△oDB=14, 24+ 1 xoy=12+5n=14, 2 解得n=4, 点D的坐标为(4,0). (7分) 18.(8分) 【详解】(1)解：根据题意可知a=0.2,b=0.2, 故m=1-0.2-0.2-0.2-0.3=0.1: D组的人数为50×20%=10： B组所在扇形圆心角的度数为360°×0.2=72 (3分，每空1分) 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：根据题意，得x=45×0.2+75×0.2+105×0.3+135×0.2+165×0.1 (5分) =9+15+31.5+27+16.5=99(min）. (6分 (3)解：学生使用大模型辅助学习超过了规定时间，应予以管理； 建议学生合理安排使用AI大模型辅助学习，避免过度依赖，把时间控制在合理范围内， (8分) 19.(7分) 【详解】解：设原计划每个月制作x台机器人，则实际每个月制作1.5x台机器人， (1分) 根据题意得180-_180=2，解得x=30， (4分) x1.5x 经检验：x=30是原方程的解， (6分) :实际每个月制作机器人1.5x=1.5×30=45(台). 答：实际每个月制作机器人45台. (7分) 20.(8分) 【详解】(1)解：如解图，延长DE交AB于点M,易得四边形MBCD和四边形GFCD均为矩形， 分) .BM =CD=FG=1.5m DG CF=6m, M--------- H.GE D B 设MG=xm, 则AM=MG,tan60°=√3x(m),MD=(x+6)m, (2分) 在Rt△AMD中， AM =tan53.7°， MD 3x ≈1.36， (4分) x+6 8.16 解得x≈5-136 (5分) :AB AM+BM =3x+1.5s40(m). 答：纪念碑的高度AB约为40米； (6分) (2)解：由(1)得纪念碑的高度约为40米， 3/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :纪念碑按1：400等比例缩小， .他打印出的模型高度为40×100×- =10(cm) (8分) 400 21.(9分) 【详解】(1)①解：根据证明过程可得依据一为“三个角是直角的四边形是矩形”；依据二为“角角边”； (2 分) ②证明：连接AP, (3 D x-4B-CD,Sw号4BPE,Se=方4AC-PF,5e=5a+5e C F P 图3 分) IAB-CD=1AB-PE+AC.PF, (4分) :AB=AC, :CD=PE+PF (5分) (2)解：如图，作AF⊥BC于F,DG⊥BC于G, (6分) D M N ∠ABC=60°，AB=AD=CD=2,ADBC, B F E G 图4 :四边形ABCD是等腰梯形， (7分) .∠DCB=∠ABC=60°， LBAF=∠CDG=30°， :.CG=BF=1, ADI BC, ∠DAF=180°-∠AFG=90°，∠BAD=∠ADC=180°-∠ABC=120°， LDAF=∠AFG=LFGD=90°， 4/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :四边形AFGD为矩形， :AD =FG, .BC=BF+FG+CG=4, (8分) 片AD=AB, ∠ABD=∠ADB=30°， ∠CBD=30°， .BE=2EM,同理CE=2EN, ∴.EM+EN= (BE+CE)= 2 BC=2 2 (9分) 22.(13分) 【详解】(1)解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为(12,16)， 设该抛物线的表达式为y=a(x-12)2+16, (1分) 把0(0,0)代入，得0=a(0-12)2+16, 1 解得a= (3分) 9 :该抛物线的表达式为y=)x-12+16。 (4分) C2解：当y12时，12=x-12+16, (6分) 解得：x=6,x2=18, 9<0, :当6≤x≤18时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于12m, :距离地面高度不低于12m的水平飞行距离为18-6=12m. (8分) (3)解：与表演台中心水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为y=-x-12}+16+5=-（x-12y+21, (10分) 9 9 当=0时，0=-gx-12+21, (12分) 解得：x1=12+3V21,x2=12-3V21(不符合题意，舍去)， 12+3V21+4=29.749>28, :与表演台中心水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内。 (13分) 23.(13分) 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(I)解：四边形CDBE为菱形.理由如下： :线段DC平移至线段BE, .DC∥BE,DC=BE, :四边形CDBE是平行四边形， (2分) :在R1△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， :CD AD =BD, (1分) ∴CDBE为菱形. (4分) (2)①DF=AE,理由如下： 由旋转得LABF=a,BA=BF, (5分) ∠BAF=∠BFA=180°-Q 2 :∠BAF=LBAC, ∠BAC=180-a 2 :AD=CD, ∠ACD=∠BAC=180°-& 2 ∠CDB=∠ACD+LBAC=180°-a, :四边形CDBE为菱形， BE=BD,CD∥BE, .∠CDB+∠ABE=180°， ·∠ABE=a=LABF, (6分) 又：BA=BF,BE=BD, △ABE≌△FBD(SAS), (7分) .DF=AE. (8分) ②a.AC=BC,∠ACB=90°， .∠ABC=∠BAC=45°， :CDBE为菱形， .LABC=LCBE=45°， ∴.∠DBE=∠CBD+LCBE=90°，即AB⊥BE, 由上述证明得到，LABE=∠FBD=90°， 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由旋转得到，△ABF为等腰直角三角形， :当BA绕B顺时针旋转90°时，如图：过点E作EH⊥AC交AC的延长线于点H, A D E :点D是AB的中点，AC=BC=4, ∠CDB=90,∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，CD=AB, 2 2 由(1)可得：CDBE为菱形， .∠DCE=90°，则四边形CDBE为正方形， ∠HCE=180°-∠DCE-∠ACD=45°， ,EH⊥AC, .△CEH是等腰直角三角形， :D是AB的中点，∠ACB=90°， :.CD=1AB=CE=BD,BF=AB, 2 AC=BC=4, AB=AC2+BC2=42, CD-14B-CE-BD-2,BF=AB=4 -EH-V2CE=2.AH -AC+CH-6.AF-VAB :∠DBF=90°，∠ADM=∠FDB .∠AMD=LDBF=90°，即DF⊥AE, :LAFB=LCAB=45°， .∠AFB-∠BFD=∠CAB-∠BAE,即LAFM=∠CAE, :∠AFM=∠EAH,∠AMF=∠AHE=90°， △FAM∽△AEH, 器地即兴丝 62 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .FM =3AM, 在Rt△AFM中，由勾股定理得AM'+FM2=AF2, AM2+(3AM)'=82,解得：AM=4i0 (负值舍去)： (10分) 5 b.由①可得LABE=∠ABF=90°，如图：当BA绕B顺时针旋转270°时，相当于绕B逆时针旋转90°，点 F在AC的延长线上，连接DE, :AC=BC=4且∠BAF=∠BAC=45°，CDBE为菱形， :四边形CDBE为正方形， :BCF是等腰直角三角形， .AF=8,AB=BF=42, 由(2)①可知△ABE≌△FBD, .BD BE, AD=BD, ÷EF=8E=8F=25. .DE为△ABF的中位线， DE∥A8,DE=r=4 △DEM∽aFAM, AM=AF=2,即AM=2ME, ME DE 六AM=2AE, 3 在RtAABE中，AE=√BE2+AB2=20, AM-24E- 10 (12分) 3 8/9 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上，线段AM的长度为4i0或4i0 (13分) 5 3 9/92026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[][B][GI[D 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) 11 12. 13 14 15. 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(7分) 20.(8分) 曾香大系范在绍 B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) D E G AF B B P 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) 5m 0-24im 0-24m 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) D E 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（7分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示： 县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市 最低气温 其中当天最低气温最高的县区是（   ） A．迎泽区 B．小店区 C．阳曲县 D．古交市 2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 6．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，是的两条弦，与交于点，且点是的中点，连接，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 9．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 10．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解______． 12．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 14．如图是某展览馆的平面示意图，该展览馆有B，E两个入口，A，C，D，F四个出口，若小明随机从一个入口进去，随机从一个出口出来，则小明从E口进去，从C口出来的概率是______． 15．如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 3、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 17．（7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 18．（8分）随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图． 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． (2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． (3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 19．（7分）科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 20．（8分）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 21．（9分）阅读与思考 问题：已知：如图1，中，是底边上的任一点（不与、重合），于，于，于．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的证明过程：如图2，过点作于，，四边形是矩形， （依据一），， ，，，，， （依据二） ，则 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)①小明的证明过程中，依据一_____；依据二_____ ②根据小颖的思路方法写出推理过程 (2)如图4，四边形中，，，，是上任意一点，于，于，试利用上述结论求的值． 22．（13分）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 23．（13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示： 县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市 最低气温 其中当天最低气温最高的县区是（   ） A．迎泽区 B．小店区 C．阳曲县 D．古交市 2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 6．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，是的两条弦，与交于点，且点是的中点，连接，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 9．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 10．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解______． 12．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 14．如图是某展览馆的平面示意图，该展览馆有B，E两个入口，A，C，D，F四个出口，若小明随机从一个入口进去，随机从一个出口出来，则小明从E口进去，从C口出来的概率是______． 15．如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 3、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 17．（7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 18．（8分）随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图． 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． (2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． (3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 19．（7分）科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 20．（8分）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 21．（9分）阅读与思考 问题：已知：如图1，中，是底边上的任一点（不与、重合），于，于，于．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的证明过程：如图2，过点作于，，四边形是矩形， （依据一），， ，，，，， （依据二） ，则 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)①小明的证明过程中，依据一_____；依据二_____ ②根据小颖的思路方法写出推理过程 (2)如图4，四边形中，，，，是上任意一点，于，于，试利用上述结论求的值． 22．（13分）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 23．（13分）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 男满入系NA信 图1 图2 21.(9分) A A A D D B D B C P D E 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) 0-24m- _24m 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) A D D C B E E 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026年中考考前最后一卷 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示： o 县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市 最低气温 -7℃ -10℃ -12℃ -13C : : 其中当天最低气温最高的县区是( A.迎泽区 B.小店区 C.阳曲县 D.古交市 2.中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧.以下航天图标中，是轴对称 图形的是( : 3 下列运算正确的是() A.a2+a=a B.(a2）3=a : C.3a+2b=5ab D.2ad+3a2=5a2 4.汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成.如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后 : 均平行于地面射出，已知∠2=42°，∠3=130°，则∠1的度数为() 反光镜 : A.809 B.88 C.90° D.93° 5.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是（) 焦点 : A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 : C.没有实数根 D.只有一个实数根 6.如图，按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心，2c长为半径画弧，分别交AM, AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，2CIm长为半径画弧，两弧交于点C;④连接BC,CD,BD, AC.若BD=2cm,则AC的长是() : 试题第1页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做赶费：就限彩是格 A.√5cm B.25cm C.3cm D.2v3cm 7.如图，AB,CD是OO的两条弦，AB与CD交于点E,且点C是AB的中点，连接BC,BD.若∠AEC=105°， 则∠CBD的度数为(). 6 A.55 B.75° C.85o D.95 8.某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分)：6,7,7,8,8,8,8,9,9,10. 乙店(10人评分)：5,6,7,7,8,8,9,9,10,10. 丙店(10人评分)：7,7,7,8,8,8,8,8,9,9. 下列基于统计量的判断，正确的是() A.甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B.乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C,丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D.甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 9.某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高， 待加热到100℃，养生壶自动停止加热.小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间x/nin 0 2 水温y/C 20 30 40 50 则下列说法正确的是() A.加热到70C用时6min B.y与x之间的函数表达式为y=x+20 c.加热过程中，水温高于50℃的时间为7min D.小林在8：06可以接到不低于70C的水 10.如图，矩形ABCD中，分别以点A,C为圆心，AB,BC的长为半径画弧，与AD分别交于点E,F.若 AB=1,BC=√2，则图中阴影部分的面积为() A.π2-1 B.π+2+1 22 2”2 C. π2W2-1 D.元2V2+1 22 22 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做概卷：就限是普 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.因式分解-2x3+8x= 12.截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到2069.8万个.某小区2026年安装了 一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了 (用含n的代数式表示)个充电桩. B6 第12题 第14题 第15题 13.在平面直角坐标系中，若点A(-7,6)与点B(a,b)关于x轴对称，则a+b= 14.如图是某展览馆的平面示意图，该展览馆有B,E两个入口，A,C,D,F四个出口，若小明随机从一 个入口进去，随机从一个出口出来，则小明从E口进去，从C口出来的概率是」 15.如图，在△ABC中，AB=AC,过点B作BD⊥BC,连接AD,CD,AD交BC于点E,且DA恰好是 ∠BDC的平分线.若BD=5,BC=12,则AE的长为一 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分)计算 国计算：(03引i6x6-对+周 (2)先化简，再求值： 其中x=-1. 17.(7分)如图， 反比例函数y=仁化>0，x>0)的图象经过点A(2,3),B(m,1),直线AB与y轴交于点C. (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值： (2)D为x轴正半轴上一点，连接BD,若四边形ODBC的面积为14，请直接写出点D的坐标. 18.(8分)随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，A1大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教” 或“知识伙伴”，其核心目标是利用AI激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能 力造成冲击，某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用虹大模型辅 试题第3页（共6页） 助学习的时间（单位：in),将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图. : 一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 O : 组别 A/大模型辅助学习时间x/min 频率 周使用A大模型辅助学习 A 30≤x<60 02 时间扇形统计图 B 60≤x<90 02 E A D 20% 90≤x<120 a 20% B C D 120≤x<150 b : 30% E 150≤x<180 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中=_一，其中D组的人数为一，B组所在扇形圆心角的度数为_一 (2)若将A,B,C,D,E五组数据的平均数分别取45min,75min,105mim,135min,165min,请求这 50名学生一周使用AI大模型辅助学习时间的平均数. 样 (3)若学校规定：一周使用A大模型辅助学习的时间低于90min比较合理.根据本次调查的数据结果，请对 游 该校学生AI大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议。 19.(7分)科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大 S 健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的 转变.某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务， 项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1.5倍.若最终 提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量。 世 20.(8分)百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场 O 所，某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度， 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角∠ADE=53.7°，向纪念碑的方向 前进6m到达点F处，测得纪念碑项点A的仰角∠AG=60°，已知测角仪CD=FG=1.5m. 图1 图2 试题第4页（共6页） : 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，CD,FG均垂直于地面BC,请根据上述数据，计算纪念碑的高 O 度AB（结果精确到1m.参考数据：sin53.7°≈0.81，c0s53.7°≈0.59，tan53.7°≈1.36，√5≈1.73)： (2)宣宣回家后想按(1)中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑 按1：400等比例缩小，则他打印出的模型高度为_cm. 21. (9分)阅读与思考 问题：已知：如图1，△ABC中，AB=AC,P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D, : PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.求证：CD=PE+PF, : E E 图1 图2 图3 图4 : .: 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明 的证明过程：如图2，过点P作PG⊥CD于G, ·: :∠PED=∠PGD=∠CDB=90°，∴四边形PEDG是矩形， O O 小颖的思路方法是：连接PA（如图3)，则 (依据一)PG∥AB,.PE=DG,∠B=∠GPC SABC=SAB+SAC,再由三角形的面积公 AB=AC,.∠B=∠ACB,.∠GPC=∠ACB, 式便可证得CD=PE+PF, ∠CGP=∠CFP=90°，PC=PC, △PCG≌△CPF(依据二) : .PF=CG,CD=DG+GC=PE+PF 拟 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. : 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： O (1)①小明的证明过程中，依据一；依据二 : ②根据小颖的思路方法写出推理过程 : (2)如图4，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=60°，AB=AD=CD=2,E是BC上任意一点，EM⊥BD 于M,EN⊥AC于N,试利用上述结论求EM+EN的值. 22.（13分)综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）.表演者将高温铁水击向空中，铁水在重 : 力作用下散开，形成绚丽的火花.某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经 验证，该模型能较好地吻合实际路径， : 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做怒德：就限美是禁 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上.铁水运动路径的最高点距地面16， 表演台中心与铁水落地点的水平距离为24m. 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其项点为N,对称轴为直线1，铁水落地点为A,以表演台中 心为原点O,水平向右为x轴正方向，过点O且竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系 5m -24m -24m 图1 图2 问题解决： (1)求该抛物线的表达式. (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于12m的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面5m高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁 水.己知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变.为保障观众安全，观赏区需设置在 落地点4m以外的区域.请判断观众席中，与表演台中心水平距离为28的位置是否在观赏区安全范围内， 并说明理由.（参考数据：√21=4583） 23.(13分)综合与探究 问题情境：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接DC,将线段DC平移得到线 段BE,点D,C的对应点分别是点B,E,连接CE, D 图1 图2 备用图 (1)猜想验证：判断四边形CDBE的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段BA绕点B按顺时针方向旋转α(0°<α<360)，得到线段BF,点A的对应点为点F, 连接AF,DF,AE,且∠BAF=∠BAC. ①如图2，若0°<<180°，判断线段DF与AE的数量关系，并说明理由： ②若AC=BC=4,在旋转的过程中，直线DF与直线AE相交于点M,请直接写出线段AM的长. 试题第6页（共6页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1. 根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示： 县区 迎泽区 小店区 阳曲县 古交市 最低气温 -7℃ -10℃ -12℃ -13℃ 其中当天最低气温最高的县区是() A.迎泽区 B.小店区 C.阳曲县 D.古交市 2.中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧.以下航天图标中，是轴对称图 形的是() 3.下列运算正确的是() A.a'ta=a B.(a)=a C.3a+2b=5ab D.2ad+3a2=5a2 4.汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成.如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均 平行于地面射出，已知∠2=42°，∠3=130°，则A的度数为() 反光镜】 焦点 A.80° B.88° C.90 D.93° 5.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 119 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.如图，按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心，2cm长为半径画弧，分别交AM, AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点C;④连接BC,CD,BD, AC.若BD=2cm,则AC的长是() M 3 D A.5cm B.25cm c.√5cm D.2√3cm 7.如图，AB,CD是OO的两条弦，AB与CD交于点E,且点C是AB的中点，连接BC,BD.若∠AEC=105°， 则∠CBD的度数为()· C E D A.55 B.75° C.85° D.95 8.某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店(10人评分)：6,7,7,8,8,8,8,9,9,10. 乙店(10人评分)：5,6,7,7,8,8,9,9,10,10. 丙店(10人评分)：7,7,7,8,8,8,8,8,9,9. 下列基于统计量的判断，正确的是() A.甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B.乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C.丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D.甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 9.某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高， 待加热到100C,养生壶自动停止加热.小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间x/min 0 2 4 水温y/C 20 30 40 50 60 则下列说法正确的是() A.加热到70°C用时6min B.y与x之间的函数表达式为y=x+20 C.加热过程中，水温高于50℃的时间为7min D.小林在8：06可以接到不低于70°C的水 219 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.如图，矩形ABCD中，分别以点A,C为圆心，AB,BC的长为半径画弧，与AD分别交于点E,F.若 AB=1,BC=√2，则图中阴影部分的面积为() E D A.亚V2-1 B.π+V2+1 2 2 2 c.π.22-1 D. π2W2+1 22 22 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.因式分解-2x3+8x= 12.截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪)总数达到2069.8万个.某小区2026年安装了 一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了一（用 含n的代数式表示)个充电桩. 13.在平面直角坐标系中，若点A(-7,6)与点B(a,b)关于x轴对称，则a+b= 14.如图是某展览馆的平面示意图，该展览馆有B,E两个入口，A,C,D,F四个出口，若小明随机从一 个入口进去，随机从一个出口出来，则小明从E口进去，从C口出来的概率是 B D 15.如图，在△ABC中，AB=AC,过点B作BD⊥BC,连接AD,CD,AD交BC于点E,且DA恰好是∠BDC 的平分线.若BD=5,BC=12,则AE的长为一 319 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分)计算 @计算：()1-3引i6x6-周： 其中x=-1 17.(7分)如图，反比例函数y=k>0,x>0)的图象经过点A(2,3),B(m,1),直线AB与y轴交于点C. B D (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值： (2)D为x轴正半轴上一点，连接BD,若四边形ODBC的面积为14，请直接写出点D的坐标. 419 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(8分)随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，AI大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教” 或“知识伙伴”，其核心目标是利用AI激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能 力造成冲击.某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用AI大模型辅助 学习的时间（单位：min),将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图. 一 周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间x/min 频率 A 30≤x<60 0.2 B 60≤x<90 0.2 90≤x<120 a D 120≤x<150 b E 150≤x<180 一周使用A大模型辅助学习 时间扇形统计图 E 20% 20% B C 30% 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中=， 其中D组的人数为一，B组所在扇形圆心角的度数为 。 (2)若将A,B,C,D,E五组数据的平均数分别取45min,75minm,105min,135mim,165min,请求这 50名学生一周使用AI大模型辅助学习时间的平均数. (3)若学校规定：一周使用AI大模型辅助学习的时间低于90min比较合理.根据本次调查的数据结果，请对 该校学生AI大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议. 519 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(7分)科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大 健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的 转变.某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务， 项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1.5倍.若最终提 前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量. 20.(8分)百团大战纪念馆位于山西阳泉师脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场 所.某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度. 数据收集：如图1，宣宜站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角∠ADE=53.7°，向纪念碑的方向 前进6m到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角∠AG=60°，已知测角仪CD=FG=1.5m. 了而六黄包在缩 B 图1 图2 数据应用： (I)己知图2中各点均在同一竖直平面内，CD,FG均垂直于地面BC,请根据上述数据，计算纪念碑的高 度AB(结果精确到1m.参考数据：si53.7°≈0.81，cos53.7°≈0.59，tan53.7°≈1.36，√5≈1.73)； (②)宣宣回家后想按（1)中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑 按1：400等比例缩小，则他打印出的模型高度为_cm, 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(9分)阅读与思考 问题：已知：如图1，△ABC中，AB=AC,P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D, PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.求证：CD=PE+PF 4 A D M B E 图1 图2 图3 图4 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明 的证明过程：如图2，过点P作PG⊥CD于G, :∠PED=∠PGD=∠CDB=90°，.四边形PEDG是矩形， 小颖的思路方法是：连接PA（如图3)， (依据一)PG∥AB,PE=DG,∠B=∠GPC 则S。Ac=S,As+SPaC,再由三角形的面积 AB=AC,.∠B=∠ACB,.∠GPC=∠ACB, 公式便可证得CD=PE+PF. :∠CGP=∠CFP=90°，PC=PC, ∴.△PCG≌△CPF(依据二) .PF=CG,CD=DG+GC=PE+PF 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)①小明的证明过程中，依据一；依据二 ②根据小颖的思路方法写出推理过程 (2)如图4，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=60°，AB=AD=CD=2,E是BC上任意一点，EM⊥BD 于M,EN⊥AC于N,试利用上述结论求EM+EN的值. 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(13分)综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）·表演者将高温铁水击向空中，铁水在 重力作用下散开，形成绚丽的火花.某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型， 经验证，该模型能较好地吻合实际路径， 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上.铁水运动路径的最高点距地面16， 表演台中心与铁水落地点的水平距离为24m, 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为N,对称轴为直线l,铁水落地点为A,以表演台中心 为原点O,水平向右为x轴正方向，过点O且竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系 5m 241m 24m 图1 图2 问题解决： (1)求该抛物线的表达式， (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于12m的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面5高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁 水.已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变.为保障观众安全，观赏区需设置在 落地点4m以外的区域.请判断观众席中，与表演台中心水平距离为28的位置是否在观赏区安全范围内， 并说明理由.（参考数据：√21=4.583） 819 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(13分)综合与探究 问题情境：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接DC,将线段DC平移得到线段 BE,点D,C的对应点分别是点B,E,连接CE. B B E E 图1 图2 备用图 (1)猜想验证：判断四边形CDBE的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段BA绕点B按顺时针方向旋转a(O°<a<360),得到线段BF,点A的对应点为点F, 连接AF,DF,AE,且∠BAF=∠BAC. ①如图2，若0°<<180°，判断线段DF与AE的数量关系，并说明理由： ②若AC=BC=4,在旋转的过程中，直线DF与直线AE相交于点M,请直接写出线段AM的长. 9/9