湖南株洲市第十三中学2025-2026学年下学期高二三月测试数学试题

2026年上学期高二三月测试 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆与抛物线的一个交点，定义.设定点，若直线与曲线恰有两个交点与，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在区间内恰好有5对关于轴对称的点，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 10. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 11. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 13. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则_________；若，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. （1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； （2）求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； （3）若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 16. 在中，，D为中点， . （1）若，求的长； （2）若 ，求的长. 17. 已知菱形ABCD中，，四边形BDEF为正方形，满足，连接AE，AF，CE，CF． （1）证明：； （2）求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）函数有两个极值点，，其中，求证：． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 2026年上学期高二三月测试 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【16题答案】 【答案】（1）2 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：如图，取CF的中点M，EF的中点N，连接AC，交BD于点O，连接EM，CN，AM，ON． ∵菱形ABCD中，， ∴△ABD为等边三角形，∴． ∵四边形BDEF为正方形， ∴． 又∵，， ∴在△ABF中，由余弦定理可得． ∴，又M为CF的中点，∴①． ∵四边形ABCD为菱形，∴． 又∵四边形BDEF为正方形，，，则， ∴，又，ON、AC在面ONC内，故平面ONC． ∵，∴平面ONC，NC在面ONC内，∴， 由N为EF的中点，得． ∵，，，． 又∵，∴为等边三角形，∴． 又，，∴为等边三角形． 又∵M为CF中点，∴②． 由①②，且，EM、AM在面AEM内，得平面AEM， 又AE在面AEM内，故． （2） 【18题答案】 【答案】（1） ，则 令，则， 在上，单调递减，在上，单调递增． 所以， 综上，，即在上单调递增，故， 即时，成立． （2） 由题设，有两个极值点，，则①， 要证成立，即证成立． 令，，即证成立． ①式可化为，则， 令，， 在上，单调递增，在上，单调递减． ，要使有两个零点，则， 当时，，若与交于，则， 当时，由（1）知，若与交于，则，， 所以成立，则． 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明：由题意将与双曲线联立，，化简得， ， ，同理将与双曲线联立，，同理可得， ， ，同理， ， ，．从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递增， ， ，又因为时，， ．从而可证． AI 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $