精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高二下学期4月阶段检测数学试题 一、单选题 1. 设全集，集合A满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知奇函数的定义域为R，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. 0.33 D. 0.1 6. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 等差数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题 9. 下列说法其中正确的是（ ） A. 对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好； B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3； C. 已知随机变量，若，则的值为； D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势． 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在点，使得 C. 若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数 D. 若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 三、填空题 12. 在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为__________. 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 14. 某校排球队的12名队员来自高一、高二年级共9个班级，其中高一（1）班2人，高二（1）班3人，其余班级各1人．若从这12人中随机选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为_______．（结果用最简分数表示） 四、解答题 15. 如图，在四边形中，，，，，与的交点为． （1）求的长度； （2）求的面积． 16. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入个小球，其中个黑球，个红球． 模型①为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入红球，使红球数为原来红球数的倍； 模型②为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中． （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型②的前提下： （i）若取出一个红球就停止抽球，否则继续抽取，但取球的次数最多不超过次，记为抽球的次数，求的数学期望；结果用分数表示 （ii）求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率．结果保留三位小数 参考数据：；；；；；． 17. 已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在以为直径的圆上，求的值. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 19. 设函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：当时， （3）若有三个零点，写出的范围（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高二下学期4月阶段检测数学试题 一、单选题 1. 设全集，集合A满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意可得， 所以. 故选：C 3. 随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 所以. 故选：C. 4. 已知奇函数的定义域为R，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及，分析可得函数为周期为4的周期函数；据此分析可得计算可得答案． 【详解】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则图象关于点中心对称，则， 又由满足，变形可得：，即函数为周期为4的周期函数； 则， 故选：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于中档题． 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. 0.33 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. 【详解】解：由全概率公式可得： 可得，解得：. 故选：A. 6. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 7. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构角，根据条件，利用余弦的和角公式和辅助角公式得，，即可求出结果. 【详解】由题意可得： ， 所以，得到，， 所以，， 故选：A. 8. 等差数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点求出导函数为0求出，再结合等差数列得出，最后计算对数. 【详解】函数的极值点是，， 导函数为，所以， 等差数列中，，所以， 则. 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法其中正确的是（ ） A. 对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好； B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3； C. 已知随机变量，若，则的值为； D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势． 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布、回归分析等，对选项逐个分析判断即可. 【详解】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误， 对于B，由两边取对数得，设，则，因为，所以，得，所以B正确， 对于C，因为随机变量，，所以由正态分布的性质可知，，所以，所以C正确， 对于D，通过回归直线及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误， 故选：BC 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在点，使得 C. 若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数 D. 若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，利用椭圆的定义及基本不等式即可判定； 对于B项，设点P坐标利用向量数量积的坐标表示，计算即可； 对于C项，利用圆的切点弦方程联立椭圆方程，用点P坐标表示出点T坐标，计算即可； 对于D项，利用条件可得G点坐标，继而判定. 【详解】对于A项，由题意及椭圆对称性质可得： ，故A错误； 对于B项，设点，易知， 则，而，故B正确； 对于C项，由圆与椭圆相切，故该切点到原点的距离恰好为椭圆上距离原点的最近的点的距离，不妨设切点为，则，显然最小距离为，即，故圆. 这里再补充圆的切线方程与切点弦方程， ①设圆O：，则过圆上一点的切线方程为：； 证明：取过P的切线上任一点M， 则 ； ②设圆O：，则过圆外一点作圆的两条切线，则切点连线方程为：； 证明：设切点分别为，由上可知， 而P点是其公共点，故，即是方程的两组根，故在直线上，即. 在本选项中，由上可知，设切，则联立椭圆方程 化简可得： 故，即C正确； 对于D项，易得，则与椭圆联立可得，显然，故D正确. 故选：BCD 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故A正确； 对于B：因为正实数，满足，所以，又，解得， 所以，当时，有最小值为，此时，故B正确； 对于C：，因为， 所以，即最大值为，等号成立条件是，，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理、内角和定理、两角和正弦公式、特殊角的三角函数化简等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式解出最大值； 【详解】， 所以， 余弦定理可知 ，当时，等号成立 即， 则面积为 则面积的最大值为. 故答案为：. 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 某校排球队的12名队员来自高一、高二年级共9个班级，其中高一（1）班2人，高二（1）班3人，其余班级各1人．若从这12人中随机选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为_______．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求基本事件总数，再求6人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这6人来自不同班级的概率． 【详解】由题得从12名成员中选6人有种选法，即基本事件总数为，这6人来自不同班级有三种情况： a.两人分别来自高一（1）班和高二（1）班，余下4人来自其它4个不同班级， b. 1人来自高一（1）班或高二（1）班，余下5人来自其它5个班级， c.6人来自除高一（1）班和高二（1）班各的其它6个班级， 基本事件个数为， 故6人来自不同班级的概率为. 故答案为: 四、解答题 15. 如图，在四边形中，，，，，与的交点为． （1）求的长度； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形边角关系及余弦定理解三角形； （2）利用正弦定理及直角三角形三边关系求边长，再求得面积. 【小问1详解】 ， ，， ，， ，， ，， ， 在中，由余弦定理可得 ． 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， ， 为锐角， ， ， ， ， 的面积为. 16. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入个小球，其中个黑球，个红球． 模型①为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入红球，使红球数为原来红球数的倍； 模型②为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中． （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型②的前提下： （i）若取出一个红球就停止抽球，否则继续抽取，但取球的次数最多不超过次，记为抽球的次数，求的数学期望；结果用分数表示 （ii）求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率．结果保留三位小数 参考数据：；；；；；． 【答案】（1）模型①下取到红球的概率为，在模型②下取到红球的概率为． （2），（ii） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式分模型计算即可； （2）（i）应用独立事件的乘法公式得出随机变量的分布列进而得出数学期望；（ii）应用独立事件概率乘积的公式计算概率再结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 记在模型①下，取到红球的概率为，则 记在模型②下，取到红球的概率为，则． 【小问2详解】 由题意可知，的取值依次是、、、， ， ， ， ． 所以； （ii）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球， 则． 所以第次抽到第二个红球的概率为： ， 利用等比数列求和公式即可得： ． 17. 已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在以为直径的圆上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点可求出，由离心率为及椭圆中，可求得，即可得到椭圆方程； （2）先由条件得到的坐标，再得到过的直线方程，代入双曲线得到的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，再利用点既在圆上，又在椭圆上，化简整理即可求出的值. 【小问1详解】 因为椭圆过点， 所以，即. 因为椭圆的离心率为，所以，， 又因为椭圆中，代入可得， 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 如图所示，因为关于轴的对称点为，，所以， 因为，所以，所以， 所以过点与轴平行的直线为， 将直线代入椭圆方程， 可得，即， 所以，， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 因为点在圆上，所以， 即， 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入可得 ， 化简后可得，解得或（舍）， 所以. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①； ②，理由：不妨令，， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出. （2）①法1，把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解；法2，利用零点的意义，构造新函数，利用导数，结合零点存在性定理求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在处的切线方程为，得，解得， 经验证，符合题意，所以. 【小问2详解】 ①方法一：函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为 方法二：令， 由方程有两个不同的解，得函数有两个不同的零点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，解得， 而，， 令，求导得，函数在上递减， ， 所以. ②略 19. 设函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：当时， （3）若有三个零点，写出的范围（直接写出结果） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到求解即可； （2）通过二次求导，确定函数单调性即可求证； （3）求导，确定导数为0的点，通过单调性，极值的正负，进而可求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 即， 所以 【小问2详解】 由（1）， 求导可到， 令，则， 易知当时，恒成立， 即在单调递增，又， 所以恒成立， 所以在单调递增，又， 所以，得证； 【小问3详解】 有三个零点， 需满足有两个变号零点， 令， 即， 构造函数，求导可得：， 易知当时，，此时在单调递增， 当时，，此时在单调递减， 在取得最小值， 且当时，，且， 当时，， 函数图像如下： 所以即有两根， 需满足，即， 设两根为，由图可知， 当时，，当，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，所以极大值，极小值， 所以当，函数存在三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $