湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题

湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ） A. 18 B. 21 C. 63 D. 64 5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 8. 是函数的极值点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线垂直 B. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 13. 的展开式中的常数项为________． 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 湖南株洲市第四中学等校2025-2026学年高二下学期四月测试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】70 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）； （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）（i）证明： 因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又， 所以点在球的球面上； （ii）或 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【19题答案】 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） （3）证明：令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $