山东省枣庄市 2025-2026学年九年级中考模拟数学试卷（二）

2026年初中数学模拟二 一、选择题(每题3分，共10题，总分30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一个正方体切去后剩下几何体，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将先向下平移3个单位，再绕原点O按逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题(每题3分，共6题，总分18分） 11. 计算： 因式分解：______．在函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练．在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员________的成绩更加稳定． 13. 如图，点在轴的正半轴上，以为边在左侧作菱形，且，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积是12，则的值为______． 14. 如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于_______． 15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝ 7，点M为平面内一动点，连接AM、BM、CM，若∠A MC＝45°，则BM的最小值为___________ 第13题 第14题 第15题 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 三、解答题(共7题，总分72分） 17. （8分）（1）解不等式组：； （2）化简求值：，其中． 18. （8分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为______度，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上学生人数： （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 19. （10分）在“乡村振兴”行动中，某企业用A，B两种农作物为主要原料开发了一款有机产品，A原料的单价是B的倍，用相同资金9000元收购A原料比B原料少．生产1件产品需A原料和B原料，每件还需其他成本9元．市场调查发现：产品每件售价是60元时，每天可销售500件；每降价1元，每天多销售20件． （1）求每件产品的成本； （2）求每天的利润W（元）与产品的售价单价是x（整数元）的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； （3）若每件产品的售价为n元（不低于成本，不高于60的常数、整数），确认每天的最大利润． 20.（10分）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，． （1）求旋转角的度数； （2）若，求的长度． 21. （12分）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点D，点O为所在圆的圆心． 小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为． 小华同学记录量筒上点A处的高度为． 完成下列任务： （1）连接，求证：． （2）若，求的长． 22.（12分） 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 23. （12分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求该函数图象的对称轴及顶点坐标； （2）当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围： （3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 参考答案 一、选择题 1.【答案】C伯努利双纽线既是轴对称图形，又是中心对称图形。心形线（卡尔·琴线）仅轴对称而非中心对称；阿基米德螺线不具有这两种对称性。 2.【答案】D分析各选项：A. x³+x³=2x³≠2x⁶，错误；B. x²·x³=x⁵≠x⁶，错误；C. (-2x)³=-8x³≠-6x³，错误；D. x⁶÷x³=x³，正确。 3.【答案】B正方体切去一角后，左视图应该是一个矩形，其中有一条从左上到右下的对角线（或从左下到右上，取决于切去的位置）。 4.【答案】C由|a|=|c|可知a与c关于原点对称，即a=-c。由数轴位置可知a<0<b<c，且|a|=|c|>b。A. a+c=0不是>0，错；B. a-b<0（a在b左边），错；C. a+b<0（|a|>|b|，负数绝对值大），正确；D. ab<0（异号），错误。 5.【答案】B设买m本笔记本、n支碳素笔，则3m+2n=28。由m=(28-2n)/3≥1，n≥1，且m为整数。经检验：n=2时m=8；n=5时m=6；n=8时m=4；n=11时m=2。共4种方案。 6.【答案】A由题意：每人出10钱多6钱→ 10x-y=6；每人出9钱少十钱→ y-9x=10。方程组为选页A。 7.【答案】C将△ABC先向下平移3个单位，再绕原点逆时针旋转90°。设原C坐标为(x,y)，平移后为(x,y-3)，旋转90°后C'为(3-y, x)。结合图中原坐标可得答案。 8.【答案】D四边形ABCD内接于圆O，AB为直径。由円内接四边形对角互补：∠ABC=180°-125°=55°。∠ABC对弧ADC，弧ADC=2×55°=110°。弧ABC=360°-110°=250°，又AB为直径弧AB=180°，敀弧BC=70°。∠BEC对弧BC=70°，敀∠BEC=35°。 9.【答案】B由作图可知MN是BD的垂直平分线，则EB=ED。设BE=x，则EC=4-x。在Rt△ECD中：EC²+CD²=ED²，即(4-x)²+2²=x²，展开得16-8x+x²+4=x²，20-8x=0，x=5/2。 10.【答案】A分析图象可得：◬O半径为1cm；A、B之间距离可通过图象最大值或终值判断；运动速度=弧长/时间；∠AOB的度数通过圆心角与圈周角关系或弧长公式求解。结合四个结论的正误判断即可。 二、填空题 11.【答案】a(a+b)(a-b)；x≥3且x≠2因式分解：a³-ab²=a(a²-b²)=a(a+b)(a-b)；函数y=(x-1)/(x-2)中，分母x-2≠0，故自变量x的取值范围是x≠2。 12.【答案】2观察图中甲、乙两名运动员的10次射击成绩分布情况，计算或估算两人的平均分和方差。方差越小，成绩越稳定。 13.【答案】-6菱形OABC面积=OA²×sin60°=12，即OA²×√3/2=12，OA²=8√3。点C在反比例函数y=k/x上，C的坐标为(-OA×sin60°, OA×cos60°)。k=x·y=-OA²×sin60°×cos60°=-8√3×√3/2×1/2=-6。 14.【答案】π/12 + √3/2扇形AOB中，OA=2，∠AOB=90°。CD垂直平分OA，D为OA中点，OD=1。以O为圆心OD为半径的扇形ODE面积=π/4。阴影面积=△OCD面积+弧CE对应的弓形面积-小扇形面积，经计算得π/12 + √3/2。 15.【答案】5 - 3√2由∠AMC=45°可知M在以AC为弦、圆心角为90°的圆上。圆心P在AC的垂直平分线上，半径r=AC/√2=3√2。BP²=(AC/2)²+(BC-r)²=9+(√7-3√2)²或利用坐标计算得BP=5。BM最小值=BP-r=5--3√2。 16.【答案】①④对称轴x=-b/2a=2，得4a+b=0，①正确。由过点(-1,0)得a-b+c=0，结合b=-4a得5a+c=0，即c=-5a。② 4a+c=4a-5a=-a，2b=-8a，需判斥-a>-8a即a>0时成立，否则不成立。③ 根据各点到对称轴距离判断函数值大小。④ 化简为m(am+b)<2(2a+b)，即a(m-2)²<0，当a<0时成立。 三、解答题 17. 计算与化简 (1)解不等式组： 解不等式①：4(x+1) ≤ 7x+10 4x+4 ≤ 7x+10 -3x ≤ 6 x ≥ -2 解不等式②：x-5 < (x-8)/3 3(x-5) < x-8 3x-15 < x-8 2x < 7 x < 3.5 综合得：-2 ≤ x < 3.5 (2)化简求值： 原式 = (a-2)/(a²+4a+4) ÷ (1 - 4/(a+2)) = (a-2)/(a+2)² ÷ ((a+2-4)/(a+2)) = (a-2)/(a+2)² × (a+2)/(a-2) = 1/(a+2) 当a = √2 - 2时： 原式 = 1/(√2 - 2 + 2) = 1/√2 = √2/2 18. 统计分析题 (1)由A组人数和所占百分比可求总人数80人；再由C组占比求圆心角。 总人数 = A组人数 ÷ A组所占百分比 C组圆心角 = C组占比 × 360°=72° (2)每周锻炼6小时及以上即C组和D组。 估计人数 = 1000 × (C组占比 + D组占比)=350（人） (3)列表法或树状图法： 从4名同学（7年级a、b，8年级c、d）中选2名，共有以下6种等可能情况： ab、ac、ad、bc、bd、cd 其中ab和cd为同年级，共2种。 P(恰好同年级) = 2/6 = 1/3 19. 应用题（乡村振兴） (1)设B原料单价为m元/kg，则A原料单价为1.5m元/kg。 用9000元购B原料重量 = 9000/m 用9000元购A原料重量 = 9000/(1.5m) = 6000/m 由题意：9000/m - 6000/m = 1000 3000/m = 1000，m = 3 B单价 = 3元/kg，A单价 = 4.5元/kg 每件成本 = 2×4.5 + 4×3 + 9 = 9 + 12 + 9 = 30（元） (2)售价为x元（x为整数），则每件利润 = (x-30)元。 每天销售量 = 500 + 20(60-x) = 500 + 1200 - 20x = 1700 - 20x W = (x-30)(1700-20x) = -20x² + 2300x - 51000 (3)W = -20n² + 2300n - 51000，30≤n≤60，n为整数。 对称轴 n = -2300/(2×(-20)) = 2300/40 = 57.5 ∵-20<0，开口向下，在n=57.5时取最大值。 ∵n为整数，无论n=57还是58，都能使W最大。 W_max = -20×57² + 2300×57 - 51000 = 15120（元） 20. 后备箱开启问题 1.【答案】 【详解】 解：由旋转得，， ， 在四边形中， 2. 【答案】 的长度为 过点作于点，过点作于点 在中，利用三角函数的定义求得，，证明，求得，进一步计算即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点 ， 在中， 由知，，即， ， ， 由旋转，得， ， ， ， ， 四边形是矩形． ， 所以，的长度为 21. 量筒读数几何问题 证明：连接并延长，交于点，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ，， ， ， 解：设， 由三角函数可得，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意. 的长为 22. 半角模型解：。理由如下： 在四边形中，，， 绕点逆时针旋转得到， ，，，，，三点共线。 ，， 。 在和中， ≌，。 (2) 如图，在上取点，使得，连接。 ，， 。 在和中， ≌，，。 ，。 ，。 在和中， ≌，。 设，，，， ，，。 ，。 在中，由勾股定理，得， ，解得， 。 如图，在上取点，使得，连接， 与互补，。 ，。 又， ≌， ，。 ， ，。 又，≌，。 ，，，。 23. 二次函数综合 解：将点的坐标代入，得，，该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 当时，；由知当时，根据对称性知当和时，的值相等，易知 该函数图象的对称轴为直线， 又，， 当时，， 当时，， 即，解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $