北京市景山学校远洋分校2025-2026学年高二年级下学期期中测试数学试题

2025一2026学年第二学期高二年级期中测试 数学学科试卷 学校 姓名 准考证号 1. 本试卷共5页，共三道大题，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。 考 生 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其 知 他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。 4. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分选择题 一、选择题（共40分，每小题4分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列求导运算不正确的是 A.（x2）/=2x B.(e*+h3'=e*+ C.(3=3n3 D.(sinx)'=cosx 2.己知等差数列{an},a1=2,a3=5,则公差d等于（ A月 C.3 D.-3 3.若函数f(x)=x3-f'(1)x2+3,则f'(1)=( A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知等比数列{a}中，a1<0,a3a7=16,则a5等于( ) A.±4 B.4 C.-4 D.不确定 5.若y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x) 的图象可能是( 数学试卷第1页（共5页） 6.已知{a}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=8,则数列前12项和S12=( A.12 B.16 C.20 D.24 7.设y=f'()是函数y=f(x)定义在(0，+∞)上的导函数，满足xf'()+2f)=2,则 下列不等式一定成立的是() A9>② B.f②<f 0 4 C. 4 D.9< 8.设无穷等差数列{an的前n项积为Tn若a1<0,则“Tn有最大值”是“公差d>0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火 箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是 冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模 型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与 圆柱高的比为1：3，则该模型的体积最大值为( A.40V3π B.80v√3π C.160V3π D.180V3m 10.已知数列{an}满足an+1=ra.(1-an)(n=1,2,3,),a1∈(0,1)，则(） A.当r=2时，存在n使得an>1 B.当r=3时，存在n使得am<0 C.当r=2时，存在正整数N,当n>N时，am+1-a<2026 D.当r=3时，存在正整数N,当n>N时，an+1-an>0 数学试卷第2页（共5页） 第二部分 非选择题 二、填空题（共25分，每小题5分) 11设函数f()=+1,则函数的定义域为 Inx 12.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+1(n∈N),则a.=-一 13.若数列{a}满足a1=3,且对于任意的n∈N都有a1-an=n+2,则a,1-一一 14设函数f(x)= xe*+a,x<1 a-x,x≥1 ①若a=1,则f(x)的零点个数为 ②若f(x)有且仅有两个零点，则实数a的范围是 15.已知函数f(x)cosx+a.给出下列四个结论： ①任意a∈R,函数f(x)的最大值与最小值的差为2： ②存在a∈R,使得对任意x∈R,f(x)+f(π-x)=2a: 回当a≠0时，对任意非零实数xeR,f+孕≠f(写切： ④当a=0时，存在T∈(0，)，x∈R,使得对任意n∈Z,都有f(xo)=f(x,+n). 其中所有正确结论的序号是 数学试卷第3页（共5页） 三、解答题（共85分，第16、19、21题每题14分，第17题13分，第18、20题每题 15分) 16.(本小题14分) 己知函数f(x)=ax3+bx+2在x=-2处取得极值-14. (1)求a,b的值； (2)求曲线y=f(x)过点(0,0)处的切线方程； (3)求函数f(x)在[-3,3]上的最值. 17.(本小题13分) 己知等差数列{an}前n项和为Sn,满足a4=8,S3=12. (1)求数列{a}的通项公式： (②)若等比数列{b}前n项和为Tn,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作 为己知，设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Mn 条件①：b1b2b3=8: 条件②：T2=S2: 条件③：T6=9T3: 18.(本小题15分) 己知函数f(x)=ae-x,g(x)=x-almx(a∈R) (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (②)求g(x)的单调区间： (3)若f(x)和g(x)有相同的最小值，求a的值. 数学试卷第4页（共5页） 19.(本小题14分) 已知数列{a}的前n项和为Sn,且an+Sn=3n-1. (1)设bn=3-a,证明数列{bn}是等比数列，并求数列bn}的通项公式； (2)设cn=(2n-1)bn,求数列{cn}的前n项和Tn 20.(本小题15分) 己知函数f()=(-1)lnx+1,其中a∈R,e为自然对数的底数. (1)若函数f(x)在x=1处的切线与y=x+2平行， ()求a的值； (0证明：函数f(x)在定义域上恰有两个不同的零点. (②)设函数g(x)=e*-x(f(x)+lnx-1)在区间(0，e-a)上存在极值，求证：a-1+e-a> a+1. 21.(本小题14分) 设无穷数列{a,}的前n项和为Sm{,}为单调递增的无穷正整数数列，记An=Sn+1-Sn' (n=1,2,…),定义2=0∈W*1Sk-S>0,k=j+1,j+2,…}. (1)若an=n,n=n2(n=1,2,…,写出A1,A2的值： (2)若an=(-)n-1(m=1,2,),求2： x>0, ③)设sgm因=0， 0, x=0,求证：对任意的无穷数列{a,存在数列}，使得{sgn(An)} x<0. 为常数列. 数学试卷第5页（共5页）2025一2026学年第二学期高二年级期中测试 数学学科试卷 学校 姓名 准考证号 1. 本试卷共5页，共三道大题，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。 考 生 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其 知 他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。 4. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分选择题 一、选择题（共40分，每小题4分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列求导运算不正确的是 A(x）=2x B(e'+h3=e'+} c(3=3n3 D.(sinx)'=cosx 2.己知等差数列{an},a,=2,a3=5,则公差d等于() A B C.3 D.-3 3.若函数f(x)=x3-f'1)x2+3,则f'()=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.己知等比数列{a中，a1<0,a3a7=16,则a等于() A.±4 B.4 C.-4 D.不确定 5.若函数y=f(x)的导函数y=fx的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是() 数学试卷第1页（共xx页) 6.己知{an}是等差数列，且a2+a?+a0+a1=8,则数列前12项和S12=() A.12 B.16 C.20 D.24 不设f是函数fx定义在@+上的导函数，满足rf+2),则下列不等 式一定成立的是() A. e B. c. D.但<f 8.设无穷等差数列an}的前n项积为Tm若a<0,则Tmn有最大值”是“公差d>0的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火 箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是 冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模 型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与 圆柱高的比为1：3，则该模型的体积最大值为() 数学试卷第2页（共xx页) A.40v3n B.80W3π C.160W3m D.180W3π 10.已知数列an满足an+1=ran(1-an(m=1,2,3,,a∈(0，)，则() A.当r=2时，存在n使得an≥l B.当r=3时，存在n使得am<0 C.当r=2时，存在正整数N,当n>N时，a1-a:< D.当r=3时，存在正整数N,当n>N时，an+1-an>0 答案：BADCC,DBACC 第二部分非选择题 二、填空题（共25分，每小题5分） 设高数)=1，则厨数的定义歧为 【答案】(0,1)U(1,+∞) (12)己知数列{a}的前n项和Sn=2n2-n+1（n∈N),则an= [2,n=1 【答案】an= 4n-3,n≥2且n∈W (13)若数列{an}满足4=3，且对于任意的neN都有at1-an=n+2,则 421 数学试卷第3页（共xx页） 【答案】253 xe*+a,x<l (14) 设函数f(x)= a-x,x≥1 ①若a=1,则f(x)的零点个数为 ②若f(x)有且仅有两个零点，则实数的范围是 【答案】①1 ② (15)己知函数f(x)cosx+a.给出下列四个结论： ①任意a∈R,函数f(x)的最大值与最小值的差为2： ②存在aeR,使得对任意x∈R,f(x)+f(π-x)=2a: 回当a≠0时，对任意非零实数x∈R，fc+受≠f(巧0： ④当a=0时，存在T∈(0，D),x。∈R,使得对任意n∈Z,都有f(xo)=f(x。+nT). 其中所有正确结论的序号是 【答案】②④ 三、解答题（共85分，第16、19、21题每题14分，第17题13分，第18、20题每题 15分) 16.(本小题14分)》 已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=-2处取得极值-14. (1)求a,b的值： (2)求曲线y=f(x)过点0,0)处的切线方程： (3)求函数fx)在[-3,3]上的最值. 【答案】解：I)因为函数fx)=ax3+bx+2,所以f'x)=3ax2+b, 又函数fx)在x=-2处取得极值-14. 则有(-2》=-14 7=0”即62.24，解得：8分 (12a+b=0 经检验，a=-1,b=12时，符合题意，故a=-1,b=12. 数学试卷第4页（共xx页) (2)由(1)知：函数f(x)=-x3+12x+2,则fx)=-3x2+12, 所以f1)=9,又因为f()=-1+12+2=13, 所以曲线y=f(x)在点(1，fI)处的切线方程为y-13=9x-), 也即9x-y+4=0. 3)由(1)知：函数fx)=-x3+12x+2,则fx)=-3x2+12, 令fx)=0,解得：x1=-2,x2=2, 在x∈「-3,3]时，随x的变化，fx),fx)的变化情况如下表所示： 3-2) 2,2) 2,3) 3 f'(x) + 0 f(x) 7 单调递减 14 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当x=-2时，函数fx)有极小值f(-2)=-14: 当x=2时，函数f(x)有极大值f(2)=18: 因为f(-2)=-14<f3)=11,f(2)=18>f(-3)=-7, 故函数f(x)在[-3,3]上的最小值为f(-2)=-14,最大值为f(2)=18. 17.(本小题3分) 已知等差数列{an}前n项和为Sn,满足a4=8S3=12. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若等比数列{bm}前n项和为Tn,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作 为已知，设cn=an+bn,求数列{cn的前n项和Mn 条件①：bb2b3=8; 条件②：T2=S2: 条件③：T6=T3· 【答案】解：I)设等差数列首项和公差分别为ad, 由a4=8,S3=12得8=a1+3d,12=3a1+3d→a1=d=2, 数学试卷第5页（共xx页） 所以an=a1+(m-1)d=2m; (2)设等比数列首项和公比分别为b,q, 若选①②，由b,b2b3=8得b=8→b2=2: 由T2=S2得a+a2=b,+b2=6→b,=4, 所以公比为q=是=克故=4×点： 故cn=an+bn=2m+4×2n点， 故Mn=Sn+Tn=2+严+4x 2 x空-+n+5-是=m+n+S-: 1 若选②③， 由7。=如可知公此不为1.所以旁=等=1+g=9→q-2, 由T2=S2得b,+2b,=6→b,=2, 所以bn=2”, 故cn=an+bn=2n+2”, 故Mn=Sm+Tn=2+0n+20-29=n2+n+2+1-2: 2 1-2 若选①@，由7，=9T,可知公比不为1，所以考-号=1+Q=9→9=2， 由bb2b3=8得b=8→b2=2; 所以bn=2”-1, 故Cn=an+bn=2n+2m-1, 放从.-5.+7.-24+=2+n+2”-1 2 18.(本小题15分)》 已知函数f(x)=aer-x,g(x)=x-alnx(a∈R), )若a=1,求曲线y=f(x)在点(O,f(O)处的切线方程： I)求g(x)的单调区间： 数学试卷第6页（共xx页） ()若f(x)和g(x)有相同的最小值，求a的值. 【答案】解：①)若a=l,f(x)=e-x,f'x)=ex-l, 故f0)=1,f"(0)=0, 故f(x)在点(O,f(O)处的切线方程为y=1; mgx)=1-x>0, 当a≤0时，g(x)>0,gx)是增函数： 当a>0时，由gx)=0得x=a,0<x<a时，gx<0,x>a时，g'x)>0, 故gx)的单调递增区间为(a,+∞)，递减区间为(0a: (四由I知，a>0时g(xmin=g(a)=a-alna, f'x)=ae-1,当a<0时，fx)<0,f(x)在R上是减函数，没有最小值， a>0时，令fx=0得x=ln日，fx<0→x<1m是fx>0→x>1m', 故x=n是fx)的极小值，也是最小值，此时fx)im=flna=1+lna, 由题意得f(xmin=g(xmim,即a-alna=1+lna, 即(a+1)lna-a+1=0,令h(a)=(a+1)lma-a+1,(a>0),显然h(1)=0, 又hta=lna+是h'a)=a,0<a<1时h'ta<0,a>1时，h"a>0, 故hI)是ha)的极小值，也是最小值，而h)=1>O,h'a)>0, 故h(a)在(O+oo)上单调递增，故a=I是h(a)唯一的零点， 即a=1即为所求. 19.(本小题14分)》 已知数列fan}的前n项和为Sn,且an+Sn=3n-1. ()设bn=3-a,证明数列b,}是等比数列并求数列bn}的通项公式， (2)设cn=(2n-l)bn,求数列{cn的前n项和Tn: 【答案】解：(l)由题意，当n=1时，a,+S,=2a1=3×1-1=2,解得a,=1. 数学试卷第7页（共xx页） 当n≥2时，由an+Sn=3n-1①， 可得an-1+Sn-1=3m-1)-1②. ①-②，可得2an=a-1+3,即-2a=-a-1-3, 两边同时加6，可得6-2am=6-an-1-3=3-an-1: .bn =3-an, ∴2bn=bn-1y即bn=2bn-1 b1=3-a=3-1=2,数列b是以2为首项，为公比的等比数列， 数列b,的通项公式为b,=2×(-1=(m-2: (2)由()知，b=(m-2,则cn=(2n-·bn=(2n-)小(m-2,， In=1x-1+3×(分+5x++2n--2, 27n=1×(0+3×(+…+(2n-3列2m-2+2n-1(2m-, 两式相减，得 2。-合++r++-2m-分 =2+2× =6、2+3 2n-1 “Tn=l2- 2m+3 2n-2 数学试卷第8页（共xx页） 20.(本小题15分》 已知函数fex=(-1)nx+1,其中a∈R,e为自然对数的底数. ①)若函数f(x)在x=1处的切线与y=x+2平行， ()求a的值： (ii)证明：函数fx)在定义域上恰有两个不同的零点. I)设函数g(x)=ex-x(fx)+lnx-1)在区间0e-a)上存在极值，求证：a1+e-a>a+1. 【答案】解：(I)0fx=(-1)mx+1的定义域为(0+∞， f'x=-是·lmx+(-).是=-an+a-x x2 因为函数fx)在x=1处的切线与y=x+2平行. 所以f')=a-1=1,得a=2. (i证明：由(@得fx)=(径-1lx+L, f"x-2x+2- x2 令h(x)=-2nx+2-x(x>0). 因为h)=-是-1<0.所以n)在0+∞)上单调递减，又hM)=1>0,hMe)=-e<0. 所以存在唯一的x∈(L,e,使h(x)=0,即-2nxo+2-x=0, 当x∈0，x时，h(x)>0,即fx)>0,fx)在(0，x)单调递增. 当x∈(xo,+o)时，h(x)<O,即f'(x)<0,fx)在(x,+o)单调递减. 又fw=号-+1=号：2学+1=号+号-1≥2号受-1=当且仅 当号=号即x,=2时等号成立， 即f)>0,因为f日=2-2e<0,fe2)=是-1， 由零点存在性定理知fx)在（三，xo)和x。e2)分别有一个零点. 综上，函数fx)在定义域上恰有两个不同的零点： 数学试卷第9页（共xx页） (2)依题意gy=e*-xl(g-llnx+1+lnx-]=e-alnx0<x<ea. 则g'x)=e-=xe-, 当a≤0时，g'x)>0,gx)在(0，e)单调递增，不合题意. 当a>0时，令t(x)=xex-a,x∈(0e-a),则t'x)=e-x(x+1)>0, 所以t(x)在(0，ea)单调递增， 因为t(0)=-a<0,要使得gx)在(0，ea)上存在极值， 则须满足t(e)>0,即a>0 te-a.eea-a>o' 所以eea>a>0,ea-a>lna, 即e-a>a+lna, 设my=lmx+2-lc>0, 则mx=马-马=-1 x x2x2, 令m'x)=0,则x=1, 当0<x<1时，m'x)<0,mx)在(0,1)单调递减， 当x>1时，mx)>0,mx)在(1+o)单调递增， 所以m=mx+}-1≥mW=0, 即当x>0时，mx+是-1≥0， 所以a>0,lma+日-1≥0， 所以ea+a-a-1>a+ma+a1-a-1=ma+日-1≥0， 即ea+a1-a-1>0, 所以e-a+al>a+1. 数学试卷第10页（共xx页) 21.(本小题14分) 设无穷数列{an}的前n项和为Sm{n}为单调递增的无穷正整数数列，记Am=Si+1-Sn, (n=1,2,),定义2=0∈N*Sk-S>0,k=j+1,j+2,. (1)若an=n,in=n(n=1,2,),写出A,A2的值； (2)若a=(-m-m=12,以，求0： (1, x>0, (3)设sgnx) 0 x=O,求证：对任意的无穷数列{an},存在数列{in},使得{sgn(An} X<0. 为常数列. 【答案】解：()由题意，An=S1-Sn，(n=,2,),a=nim=nm=1,2,y, a1=1,i1=1,i2=22=4,i3=32=9, S,=a1=1,S,=S4=a1+a2+a3+a4=1+2+3+4=10, S。=Sg=a1+a2+…+ag=1+2+…+9=45, A1=S4-S1=10-1=9,A2=S9-S4=45-10=35 (2)由题意，在数列{an}中，a=(-2m-(m=1,2叫，a=1 5.宫塑-号x-. 1-（-) 若j为奇数，则S+1-S,=a+1=(-2<0.所以j正卫. 若j为偶数，则当k=j+1,j+2,…时， Sk-S,=号×(--(-7>号×(2-(1>0所以je0. 所以2=xx=2m,m=1,2,}. x>0 (3)在sgm() x=0,中， -l,x<0. 若2为有限集，设其最大元素为m若2为空集，取m=0), 数学试卷第11页（共xx页) 则当j=m+1,m+2,…时，存在k>j满足Sk-S<0. i=m 1,in+!mink E Nlk in Sk -Sin<0(n=1,2,), 则An=St1-Sn<0.所以sgn(An)=-lm=1,2,); 若2为无限集，设2=0wj2,,其中j1<j2<…，记Bn=Sn1-Sn，则Bn≥0(n= 1,2,. ①若数列{Bn}中只有有限项为正数，记m=max{n∈N*IBm>O若{Bn}中没有正数项， 取m=0),则Bm+n=0n=1,2,. 令in=jm+n(n=1,2,叫，则An=Sint1-Sin=Bm+n=0n=l,2y. 所以sgn(An)=0(n=1,2,y; ②若数列{Bn}中有无穷项为正数，将这些项依次记为B,B2…,其中t<t2<…, Bn=Sin -Sin>on=1,2,). 令in=jn(m=1,2y,则An=S1-Sin=Bn+B+1++B-1>0. 所以sgn(An)=1(m=1,2,y 综上所述，对任意的无穷数列{a}都存在数列{in},使得{sgn(An)}为常数列. 数学试卷第12页（共xx页)