七年级数学下学期5月学情自测卷（安徽专用，沪科版新教材七下第6～9章：实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解、分式，高效培优提升卷）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C A D A D B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.10-17 12.81 13.a2-b2=(a+b)(a-b) 20 14.a<8 15 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 【详解】解：原式=3+a+2a-2.a+2 a+2 (a-1)2 3+a2-4a+2 a+2(a-1)2 =a2-1.a+2 a+2(a-1)2 （a+l(a-1a+2 a+2(a-1 =a+1 a-1: :a-1≠0，a+2≠0， a≠1，a≠-2， .a=0, 原式=0+ =-1. 0-1 16. 【详解】(1)解：设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为(x-80)元.根据题意， 得：60004400 x-80 解得：x=300,x-80=220, 检验：x=300时，x(x-80)≠0， 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :x=300是原分式方程的解. 答：A,B两种客房的单价分别是300元，220元. (2)解：设租住A客房y间，则租住B客房30-y)间，根据题意， 得： 0-n 300y+220(30-y)≤7600 解得：10≤y≤12.5， ,y为整数，即y=10或11或12， 故有3种方案，分别为： 方案1：租住A客房10间，则租住B客房20间 费用是10×300+20×220=3000+4400=7400（元）： 方案2：租住A客房11间，则租住B客房19间； 费用是11×300+19×220=3300+4180=7480（元）： 方案3：租住A客房12间，则租住B客房18间. 费用是12×300+18×220=3600+3960=7560（元）： :7560>7480>7400 .最省钱方案的费用为7400元 17. 【程】4)招：我竖各等式网有，第6个等式为品？-。6 故答案为： 1x2-3 116+1 21 6+1 23） 2)解：第n个等式为+×2 2n-1n±1=2)， 证明：左边-=2n+1×2-3）-2n+1×2n+-3_2n+1×2n-1_2m+1， 2n-1(n+12n-1n+12n-1n+1n+1 右边=2- 12(n+1-12n+1 n+1 n+1 n+1 :左边=右边， 原等式成立 18. 【详解】(1)解：将原方程组整理为 x+y=8+4a① x-y=2a-6②' 由①+②得2x=6a+2,解得：x=3a+1, 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①-②得2y=2a+14,解得：y=a+7, .x-2y=3a+1-2a+7=a-13, :-10<x-2y≤-8， .-10<a-13≤-8， 解得：3<a≤5； (2)解：3a+b=1, .b=1-3a, .a-b=a-(1-3a）=4a-1, 由（1)可知，3<a≤5， 11<4a-1≤19， 即a-b的取值范围是11<a-b≤19， 19. 【详解】(1)解：p是奇数，理由如下： :n是正整数，m=n+1, ∴.m,n是一个奇数、一个偶数， :奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， .p=m2+n2+m2n2是奇数； (2)p是完全平方数，理由如下： :m=n+1, p=(n+1)+n2+(n+12n2, =2n2+2n+1+(n2+n =(n2+n+12, 即p是完全平方数. 20. 【详解】(1)解：①分式2，是真分式， x-2 故答案为：真； ②3x-8-3x-2)-2 x-2 x-2 3、2 x-2 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 故答案为：3- x-2 (2)解：：3r-8-3x=2-2=3-2 x-2 x-2 x-2 :当>2时，随着x的塔大，分式2，的值无限趋近于0， x-2 :当x>2时，随着x的塔大，3x-8的值无限趋近于3 x-2 (3)解：设这个两位数为m=10a+b,a,b是整数，2a<9,根据题意得， (10m+2a)2=km,k为整数， .k= (10m+2a)2_100m2+40am+4a2 心 =100m+40a+4a m :4d是正数， m :2a<9, .a≤4 当a=1时，4a2=4,m为两位数，不合题意， 当a=2时，4a2=16,则m=20+b>16无解， 当a=3时，4a2=36,则m=30+b=36 m=36时，b=6,符合题意， 当a=4时，4a2=64,而m=40+b<64,无解 综上所述，这个两位数为：36 21. 【详解】(1)解：：22=4， .（2,4=2; 23=8, .（2,8)=3； :2=32, (2,32)=5； .2+3=5,4×8=32, (2,4+2,8=(2,32)=(2,4×8), 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴a,m+a,n=(a,mn; (2)解：(a,m+a,n=(ap, .由（2)可得mn=p, 2,m+n=5, .m+n=2=32, :2p)=4, p=24=16, .mn=p=16, :正方形ABCD的边长为m,小正方形CGFE的边长为n, :图中阴影毫分的面积为m+r-2+=m+n-2m-刘欲-2x16=96: 2 (3)解：(a,m=(b,n=2, .a2=m,b2=n, 由图可得：矩形ABMN的面积是m+n)(m-n=21,AN=m+n=7, m-n=3 m=5 (m+n=7’解得 n=2' .a2=5,b2=2, ∴a=√5，b=√2（负值舍去). 22. 【详解】解：(1)长方形A的周长为：2(2a+a-1)=6a-2, 长方形B的周长为：2(a+a+1)=4a+2, 6a-2-4a+2=2a-4, 当a>2时，2a-4>0,此时长方形A的周长大于B的周长； 当a=2时，2a-4=0,此时长方形A的周长等于B的周长； 当1<a<2时，2a-4<0,此时长方形A的周长小于B的周长. (2)a_a+x_ab+ax-ab-bxx(a-b) bb+x b(b+x)b(b+x)' 5/1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b>0,x>0, b(b+x>0, :a<b,即xa-b)<0, :<a+x bb+x (3):甲和乙的花费相同， ∴.ma+mb=2n, .n= m(a+b) 2 乙购买水果总重量为”+”=ma+b_m(a+b) a b ab 2ab m(a+b)2 a+b)2 7 -2m=m 2 m(a-b)2 2ab 2ab 2ab :m>0,a>0,b>0,且a≠b, .m(a-b)2 >0, 2ab .m(a+b)2 >2m, 2ab :乙购买水果的总重量更大 23. 【详解】(1)解：2x-3=1,解得：x=2, ①2x-3>4x+1, 解得：x<-2, x=2不是此不等式的解； ②2(x+1-125,解得：x22, x=2是此不等式的解； 3x-5>2(x-3) ③ x+11 解得：-1<x≤2， ·x=2是此不等式组的解； 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :方程2x-3=1的解是此方程与②③的“理想解”： (2) x=m 是方程组 y=n X-2y=5+9与不等式x-y>1的理想解”， 2x-y=2g+1 m-2n=5+9 (2m-n=2g+1'm-n>1, m-2n=5+q 2m-n=2g+1'得： m=9-1 解方程组 (n=-3 .9-1-（-3>1, q>-1, 即g的取值范围为9>-1： (3)解方程组 x+y=3a+5 x=4a+1 xy=5a-3'得： y=4-a1 x+y=3a+5 :关于x,y的方程组 与不等式x+2y≥a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x,y均为 x-y=5a-3 正数)， 4a+1>0① 4-a>0② (4a+1)+2(4-a≥a+10③ 解不等式①，得：a>-4 1 解不等式②，得：a<4, 解不等式③，得：a≥1， :不等式组的解集为1≤a<4, 即a的取值范围1≤a<4. 7/7 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪科版新教材七年级下册第6~9章实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解、分式 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．9的平方根是 3．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 5．已知，则的值为（    ） A．24 B．23 C．22 D．20 6．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．2 B．7 C．14 D．49 7．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为4，那么第356步之后，显示的结果是（   ） A． B．16 C．4 D． 9．已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 12．已知，则________． 13．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 14．若关于x的一元一次不等式组的解集为． （1）则a的取值范围是________； （2）在（1）的条件下，要使关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 16．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 17．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 18．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 19．已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 20．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 21．对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．如：，则 ． (1)根据上述运算填空：___________；___________；___________．观察与的结果之间的关系，再观察三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：___________． (2)如图1，正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求，图中阴影部分的面积． (3)如图2，四边形，四边形是长方形纸条，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是，直接写出和的值． 22．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 23．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪科版新教材七年级下册第6~9章实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解、分式 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，，不一定成立，故该选项不符合题意； B、当，时，，不一定成立，故该选项不符合题意； C、，一定成立，故该选项符合题意； D、当时，右边分母为，分式无意义，不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．9的平方根是 【答案】C 【详解】解：选项A，，的立方根是，故选项A错误，不符合题意； 选项B，表示36的算术平方根，结果为非负数，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，且正数的算术平方根为正的平方根，的算术平方根是，故选项C正确，符合题意； 选项D，，的平方根是，故选项D错误，不符合题意． 3．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 4．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 【答案】C 【详解】解：x和y都扩大2倍， 则扩大后的分式为 ，而原分式为， 因此扩大后的分式是原分式的，即分式的值缩小一半， 故选：C． 5．已知，则的值为（    ） A．24 B．23 C．22 D．20 【答案】A 【详解】解：设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 6．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．2 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， 将代入，可得两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 7．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. ，故A错误． B. 的右边 不是乘积形式，未完成因式分解，故B错误． C. ，故C正确． D. ， 故选：C． 8．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为4，那么第356步之后，显示的结果是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第356步之后屏幕显示的数与第四步相同，显示的结果是． 9．已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 将代入不等式得，解得，故A正确； ∵ ，， ∴，不等式两边同加得，即，故B正确； 对于选项C，， ∵， ∴，不等式两边同加得，即，故C正确； 对于选项D，， ∵，不等式两边同乘，不等号方向改变得， 不等式两边同减得，即，与选项D的范围不符，故D错误． 10．若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：解不等式：，得：， 解不等式：，得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即：， 解关于的分式方程， 得， ∵分式方程的解为整数解， ∴为整数，且，，即，， ∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， 将，代入得： 12．已知，则________． 【答案】81 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 13．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 14．若关于x的一元一次不等式组的解集为． （1）则a的取值范围是________； （2）在（1）的条件下，要使关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 15 【详解】解：（1）解不等式，得：； 解不等式，得：； ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）方程两边同乘，得：， 解得：； 由题意得：， 解得：； ∵， ∴； 当，即时，分式方程无解， ∴且； 要使分式方程有正整数解，则，5，7； ∴； 故答案为：15． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 【详解】解：原式 ； ，， ，， ， 原式． 16．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意， 得：， 解得：， 检验：时，， 是原分式方程的解． 答：A，B两种客房的单价分别是元，元． （2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意， 得：， 解得：， 为整数，即或或， 故有3种方案，分别为： 方案1：租住客房间，则租住客房间 费用是（元）； 方案2：租住客房间，则租住客房间； 费用是（元）； 方案3：租住客房间，则租住客房间． 费用是（元）； ∵ ∴最省钱方案的费用为元 17．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 【详解】（1）解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 18．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 19．已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数； （2）p是完全平方数，理由如下： ∵， ∴， ， 即是完全平方数． 20．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【详解】（1）解：①分式是真分式， 故答案为：真； ② 故答案为：． （2）解：∵ ∵当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于， ∴当时，随着x的增大，的值无限趋近于 （3）解：设这个两位数为，是整数，，根据题意得， ，为整数， ∴ ∴是正数， ∵， ∴ 当时，，为两位数，不合题意， 当时，，则无解， 当时，，则 ∴时，，符合题意， 当时，，而，无解 综上所述，这个两位数为： 21．对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．如：，则 ． (1)根据上述运算填空：___________；___________；___________．观察与的结果之间的关系，再观察三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：___________． (2)如图1，正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求，图中阴影部分的面积． (3)如图2，四边形，四边形是长方形纸条，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是，直接写出和的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （3）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，（负值舍去）． 22．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 23．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得：， 不是此不等式的解； ②，解得：， 是此不等式的解； ③， 解得：， 是此不等式组的解； 方程的解是此方程与②③的“理想解”； （2）是方程组与不等式的“理想解”， ，， 解方程组，得：， ， ， 即q的取值范围为； （3）解方程组，得：， 关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数）， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， 不等式组的解集为， 即a的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $