第二章 相交线与平行线 单元卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各图中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解： A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意； C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； 2、小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】C 【详解】解：根据题意的分析可知，小亮的跳远成绩是线段的长. 3、如图，，，平分，则的度数为（ ） A. 45° B. 46° C. 50° D. 60° 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ． 4、如图，在四边形ABCD中，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：四边形中， ∴AB//CD， ． 5、一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【详解】解： A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 6、如图所示，将一块直角三角板摆放在直尺上，则与的关系是（ ） A. 同位角 B. 同旁内角 C. 互余 D. 互补 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 和互余， 7、光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 8、如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 10、如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意； B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意； C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意； D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，直线，交于点O，，若，则的度数为_____． 【答案】 【详解】解：∵，而， ∴， ∴． 12、如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 13、如图，，平分交于，，则的度数是______． 【答案】 【详解】解：因为，所以， 因为平分，所以， 所以． 14、一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是______． 【答案】 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15 已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 【答案】104° 【详解】解：如图， ∵DE∥BC，∠ABC＝84°， ∴∠ADE＝∠ABC＝84°， ∵∠CDE＝20°， ∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝104°． 16、 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G， 若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为______度． 【答案】59或121． 【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°， ∵∠MFD＝∠BEF＝62°， ∴CD∥AB， ∴∠GEB＝∠FGE， ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝∠GEFBEF＝31°， ∴∠FGE＝31°， ∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°； ②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°， 同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°． 则∠PGF的度数为59或121度． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线PD ∥OA （点D在点P的右侧）； (4)线段PC，PH，OC这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【详解】（1）解：如图，PH即为所求作的垂线； （2）解：如图，PC即为所求作的垂线； （3）解：如图，PD即为所求作的平行线； （4）解：线段PC，PH，OC这三条线段大小关系是PH< PC< OC，依据是垂线段最短． 18、如图， ，．试说明的理由． 【答案】见解析 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 【答案】详见解析 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20、如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 【答案】BE⊥AC，理由见解析 【详解】BE⊥AC ． 理由如下：∵FG⊥AC， ∴∠GFC=90° ， ∵∠1=∠ABC， ∴DE∥BC， ∴∠2=∠EBC， 而∠2=∠3， ∴∠3=∠EBC， ∴FG∥BE， ∴∠BEC=∠GFC=90°， ∴BE⊥AC ． 21、 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为． （1）与平行吗？什么？ （2）如果，且，求的度数． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）105° 【小问1详解】 CD与EF平行． 理由如下∶ CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠CDB＝∠EFB＝90° ∴EFCD 【小问2详解】 如图： EFCD， ∴∠2＝∠BCD 又∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD ∴DGBC， ∴∠ACB＝∠3＝105° 22、 如图．，． （1）试说明的理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴∠EDG= ∴． 23、宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空：_____ ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)30秒或110秒 (3)不变，，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 24、在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）60°＋α－β；（3）或 【详解】解：（1）由题意得：， 过点C作， ， ， ， ； （2）过点C作，过点F作， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 情况一：如下图： ， ， ， ； 情况一：如下图： ， ， ， ， 综上所述，当边时， 的度数为或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各图中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 2、小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 3、如图，，，平分，则的度数为（ ） A. 45° B. 46° C. 50° D. 60° 4、如图，在四边形ABCD中，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5、一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 6、如图所示，将一块直角三角板摆放在直尺上，则与的关系是（ ） A. 同位角 B. 同旁内角 C. 互余 D. 互补 7、光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8、如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9、 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10、如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，直线，交于点O，，若，则的度数为_____． 12、如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 13、如图，，平分交于，，则的度数是______． 14、一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是______． 15 已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 16、 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G， 若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为______度． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线PD ∥OA （点D在点P的右侧）； (4)线段PC，PH，OC这三条线段大小关系是____________（用“”号连接），依据是______________． 18、如图， ，．试说明的理由． 19、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 20、如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 21、 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为． （1）与平行吗？什么？ （2）如果，且，求的度数． 22、 如图．，． （1）试说明的理由； （2）若，，求的度数． 23、宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空：_____ ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 24、在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $