2026年 九年级数学中考二轮复习 探索与表达规律 填空题专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》填空题专题提升训练（附答案） 一、数字类规律探索 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型来表示其繁殖数量的规律，即：，请你推算的个位数字是_____． 2．已知，，，…，依此类推，则等于_____ ． 3．如表，从左到右在每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都等于2025． … … … 则________ ． 4．对于每个正整数n，设表示的末位数字．如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），…．则的值是__________． 5．如图，运算程序中，若开始输入的值为45，第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为，则第2026次输出的结果是__________． 6．“数形结合”思想是数学中非常重要的数学思想之一，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”如图，请你尝试借助“数形结合”的思想解决以下问题． （1）求的值为___________． （2）___________． 7．观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 二、图形类规律探索 8．按照如图的规律，有15个黑色六边形的图中白色六边形有_________个，有个黑色六边形的图中白色六边形有_________个． 9．观察下图，找出图形变化的规律，第个图形中黑色正方形的数量是___________个． 10．如图，把一些完全相同的杯子摞起来．已知3个杯子摞起来的总高度是，5个杯子摞起来的总高度是，……，按照这样的规律，将个杯子摞起来的总高度是_______________．（用含的代数式表示） 11．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第次相遇的位置在___________上． 12．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图①，第1种共有5个原子；如图②，第2种共有8个原子；如图③，第3种共有11个原子……按照这一规律，第6种化合物的分子结构模型中原子的个数是___________个． 13．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转第2026次后，点C所对应的数是_______ ． 14．如图，过点画射线，若点，按如图所示规律排列，则点落在射线_____上． 三、点的坐标规律探索 15．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：和直线：，点是直线上一点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为________． 18．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，甲和乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．甲按逆时针方向以每秒2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以每秒4个单位长度匀速运动，则甲和乙运动后第2026次相遇点的坐标是_____． 19．如图，，， 都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上，若三角形依次排列下去，则点的坐标是_____． 20．如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是_____，点的坐标是_____． 21．光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为__________． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 参考答案 1．解：∵，，，，，……， 所以， 的个位数字按3，9，7，1循环出现，周期为4， ，余数为2对应循环中的第二个数字9， 故 的个位数字是9． 故答案为：9． 2．解：由题意，，，，，，……， ∴从开始，每3项为一个循环周期， ∵， ∴． 故答案为：3． 3．解：由题意，任意三个相邻格子之和为2025， 因此对于任意i，有， 故，序列周期为3． 由，得；由，得； 由，得． 由于，即， 整理得， 解得． 因此，，． ， 故． 故答案为：676． 4．解：由题意得，， ， ， （的末位数字）， （的末位数字）， （的末位数字）， （的末位数字）， （的末位数字）， （的末位数字）， （的末位数字）， ……， 以此类推可知，这列数，每5个数字为一个循环，结果依次为2，6，2，0，0， ∵ ∴ ， 故答案为：． 5．解：将45输入后会发现输出结果依次为48，24，12，6，3，6，3，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于3时，第奇数次结果为3，第偶数次结果为6， ∵2026为偶数， ∴第2026次输出的结果为6， 故答案为：6． 6．（1）解：根据图形数形结合思想，将整个正方形的面积看作，每次取走一半， 第4次剩余部分的面积为， ． （2）解：设， 由数形结合的规律可知； 设，同理可知； 则所求的和为 ． 7．解：观察已知各式，可得到一般规律：， ∴． 8．解：根据题意得： 第1个图形中，黑色正六边形的个数为1，白色正六边形的个数为：； 第2个图形中，黑色正六边形的个数为2，白色正六边形的个数为：； 第3个图形中，黑色正六边形的个数为3，白色正六边形的个数为：； ……， 所以第n个图形中，黑色正六边形的个数为n个，白色正六边形的个数为个． 当时， （个）， 即在有15个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有62个． 故答案为：62；． 9．解：根据图形可知： 第个图形中黑色正方形的数量为个， 第个图形中黑色正方形的数量为个， 第个图形中黑色正方形的数量为个， 第个图形中黑色正方形的数量为个， 第个图形中黑色正方形的数量为个， 当为奇数时，黑色正方形的个数为：个， 当为偶数时，黑色正方形的个数为：个， 第个图形中黑色正方形的数量是：（个）． 故答案为：． 10．解：由图可知：每增加一个杯子，高度增加， ∵3个杯子摞起来的总高度是， ∴一个杯子的高度为， ∴将个杯子摞起来的总高度为； 故答案为． 11．解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ∴相遇的边是4次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上． 故答案为：． 12．解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；碳原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；碳原子的个数为：2； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；碳原子的个数为：3； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；碳原子的个数为：4； …， ∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，碳原子的个数为：n； 当时，（个）， 即第6种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为14个，碳原子的个数为：6； 则（个） 故答案为：20． 13．解：由题意得：正方形每翻转4次为一个循环，第一次翻转点C在数轴上的0处，第二次翻转点C仍然在数轴上的0处； 第五次翻转点C在数轴上的4处，第六次翻转点C仍然在数轴上的4处；依此类推： 即翻转1次后，点C所对应的数为0， 翻转2次后，点C所对应的数为0， 翻转5次后，点C所对应的数为， 翻转6次后，点C所对应的数为， 翻转9次后，点C所对应的数为， ， 翻转次后，点C所对应的数为， 翻转次后，点C所对应的数为， ， ， ． 故答案为：2024． 14．解：由图可得，到顺时针，到逆时针，每8个点为一周期循环， ， 即点落在与点同一条射线上， 点落在射线上， 故答案为：． 15．解：根据题意可知： ，即：， ，即：， ，即：， ，即：， ，即， ⋯， 即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 16．解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 17．解：当时，代入得, ． 当时，代入得, ． 当时，代入得，解得， ． 同理可得，，，，， 的横坐标为（为正整数）， ， 点的横坐标为． 18．解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的周长为， 甲的速度为个单位/秒，乙的速度为个单位/秒， 甲、乙的速度比为， 每次相遇时，甲运动的路程为总路程的， 每次相遇甲、乙合走一圈， 每次相遇甲运动的路程为， 点坐标为，点坐标为， ， 甲从出发逆时针运动个单位到达，再运动个单位， ， 甲在边上，且距离点个单位， 第次相遇点的横坐标为，纵坐标为，即， 第次相遇时，甲累计运动的路程为， ， 甲运动到点后，再沿方向运动个单位， 第次相遇点的横坐标为，纵坐标为，即， 第3次相遇时，甲累计运动的路程为， 等于长方形周长， 甲回到出发点， 甲、乙每相遇次，就回到出发点，相遇点的坐标以次为一个循环周期， ， 第2026次相遇点的坐标与第次相遇点的坐标相同， 第2026次相遇点的坐标为． 19．解：设，过点作， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可得，， ∴． 当时，． 故答案为：． 20．解：由图知，点，点的坐标是； 根据题意得，点的运动规律呈循环周期，循环周期为7，且依次向右平移一个单位长度，即横坐标依次增加一个单位长度， 周期内纵坐标依次为， ， ∴点的坐标是． 21．解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 22．解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $