2026年湖南省衡阳市中考二模考试数学试题

衡阳市2026年初中学业水平考试适应性测试 数学 本试题卷共6页.时量120分钟.满分120分. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认 真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦千净， 不留痕迹； 3.非选择题部分请按题号用05毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效： 4.在草稿纸、试题卷上作答无效； 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。 帅 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题 卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 细 1.下列四个数中，是无理数的是 A.-1 B到 C.0 D.√2 2.体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向 往、促进人全面发展的重要手段.下列体育图标是轴对称图形的是 A B C D 3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,3,6 D.4,5,10 4.下列计算正确的是 A.a2.a3=a6 B.a8÷a2=a4 C.(-2a)2=4a2 D.(a+b)2=a2+b2 5.计算√12-√5的结果是 A.3 B.15 C.2W5 D.55 初中学业水平考试适应性测试数学第1页（共6页） 6.在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为： 89,90,90,90,91,93,94,这组数据的平均数与众数的差为 A.1 B.2 C.4 D.5 7.若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于 -10123 A.-2 B.2 C.-3 D.3 8.如图，在△ABC中，∠A=46°，∠ABC=59°，尺规作图操作如下：（1) 以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB,AC于点D,E; (2)以点B为圆心、AD长为半径画弧，分别交边BA,BC于点F,G: (3)再以点F为圆心、DE长为半径画弧，与弧FG交于点H;(4)画 射线BH交边AC于点I.则∠CBI的度数为 A.12° B.13° C.14° D.15° ID F 第8题图 第9题图 9.如图，点A,B,C,D在⊙O上，连接OA,OB.若∠D=105°，则 ∠AOB的度数为 A.75° B.115° C.150° D.175° 10.一次函数y=(k<0)与反比例函数y=m(m<0,<0)的图象 交于点P,点P的纵坐标为4反.过反比例函数图象上的点M(与点P 不重合)作y轴垂线，垂足为点N,交y=c的图象于点Q,其中O为 坐标原点.若N=ON=2,则下列选项正确的是 A.k=-3 B.m的值为-8 C.当x<-2√2时，反比例函数的值大于一次函数的值 D.点M的坐标为(-4,4) 初中学业水平考试适应性测试数学第2页（共6页） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.因式分解：2x2-8= 12.某足球联赛共进行了98场比赛，现场观众人数累计约230万人，将 数据2300000用科学记数法可表示为 13.中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选 取一种，则选中“指南针”的概率为 14.若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为 0 15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD 于点E,F,AE=6,∠AEB=60°，则EF的值为 B 第15题图 16.定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角 形为边MN的“伴随三角形”.△ABC为边AB的“伴随三角形”， AB=4. ①若∠B=90°，则∠A= o; ②若AC=5,过点C作直线AB的高，垂足为点D,则BD的长 为 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8 分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分.解 答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算： -2cos60°-(3-元)°+3到. 18. 先化简，再求值：(x+3)2-3x(x+2),其中x=V2. 初中学业水平考试适应性测试数学第3页（共6页） 19.某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为 了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的 时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4 个等级：A(0≤x<2),B(2≤x<4),C(4≤x<6),D(x≥6)，并根据 调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图， 学生每调课彯外阅读总时间条形统计图学生海周课外阅读总时间扇形统计图 人数/人 26% B 等级 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了 名学生； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 (4)若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小 时的学生有多少人？ 20.某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵25 元，用600元购买甲商品的数量恰好与用500元购买乙商品的数量相同. (1)求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)该商店计划购进这两种商品共20件，甲商品的售价为240元/件， 乙商品的售价为200元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于 1620元，则至少购进多少件甲种商品？ 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB 上一点，以AE为直径作⊙O交BC于点D,交 AC于点F,且D为EF的中点，连接AD. (1)求证：BC是⊙O的切线： 第21题图 (2)若AB=18,BE=-AE,求⊙O的半径及 5 AC的长， 初中学业水平考试适应性测试数学第4页（共6页） 22.如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同 学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型.已知直尺斜靠在桌边， 4 悬绳ABC(A,B,C在同一直线上)的上端A点与桌边接触点D的连 线AD,垂直于直尺下边BE,其中AD=3cm,BE=20cm, ∠BCE=60°，∠BEC=45°.请根据以上信息，求AC的长.（结果保 留一位小数.参考数据：V2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45， sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73) B 图1 图2 23.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B3,0), 与y轴交于点C,连接BC,M(x，片)，NMx2,2)是此二次函数图象 上的两个动点，且x<x,连接MC,NB. 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，连接MB,NC.若x2=-2x,x2<3,且SA8c=3SAw8c, 求此时x的值； (3)如图2，延长MC,NB交于点E.若x+x2=3,x<0,求证：点 E在定直线上. 初中学业水平考试适应性测试数学第5页（共6页） 其c3曰@公两f3P可n 24.已知△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°， ∠BAC=∠EAD=30°.连接BE,F为BE的中点，过点E作BC的平行 线交射线CF于点G. B D 图1 图2 (1)当C,A,E三点在同一直线上时，如图1. ①求证：CF=GF; ②连接CD,DG,求证：∠DCG=30°. (2)将图1中的△4ADE绕点A旋转到图2所在位置时，连接DF,DG, 判断△DFG的形状并说明理由. 初中学业水平考试适应性测试数学第6页（共6页） 衡阳市2026年初中学业水平考试适应性测试 数学参考答案及评分标准 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A C B C D 二、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.2(x+2)(x-2) 12.2.3×106 13. 14.720 15.6 16.45(1分)，1或7(2分) 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、 22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.解：原式=2-2×21+3 (4分) =3. (6分) 18.解：原式=x2+6x+9-3x2-6x =-2X2+9.… (6分) 当x=√2时，原式=-2×(W2)2+9=5. (8分) 19.解：（1)本次被抽取的学生人数为：13÷26%=50（人). 故答案为：50：… (2分) (2) “C等级”的人数为：50-4-13-15=18（人）. 补全条形统计图如下： 学外悦谈总迎时间条形统图 人数/人 42 (4分) 8 0 A B D 等级 (3)“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：360°× =108°. 50 故答案为：108： 。。。。 …（6分) (4)3000× 18+15 50 =1980(人). 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第1页（共6页) 答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人.…（8分) 20.解：（1)设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元. 依题意得600、500 xx-25 解得X=150,…（3分) 经检验，x=150是原方程的解，且符合题意， ∴.x-25=125. 答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元：…(4分) (2)设购进m件甲种商品，则购进(20-m)件乙种商品. 依题意得(240-150)m+(200-125)(20-m)≥1620， 解得8，…（7分) .m的最小值为8. 答：至少购进8件甲种商品 (8分) 21.（1)证明：如图，连接OD,则OA=OD, ∴.∠ODA=∠OAD. D为EF的中点， ∴.∠FAD=∠EAD, ∴.∠CAD=∠ODA, .OD∥AC.… (2分) ∠ACB=90°， ∴.∠BDO=90°，即OD⊥BC. ,OD是⊙0的半径， ∴.BC是⊙O的切线： …(4分) 4 (2)解：AB=18,BE=AE, 5 '.AB=AE+BE=AE+—AE=18,解得AE=10, ·A0=0E=AE=x10=5, 2 2 .⊙O的半径为5.… …（6分) E=号A6=号10-8， ∴.BO=BE+EO=8+5=13. .OD∥AC, '.△BOD∽△BAC, :D0=80, 即5=13 CA BA CA18' .AC= 90 3 (9分) 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第2页（共6页) 22.解：如图，过点B作BF⊥CE于点F 在Rt△BEF中，Sin∠BEF=BF =sin45°， BE ：BF=20xsin45=20x5-10N5em.(3分) 2 在Rt△BCF中，sin∠BCF=sin60°=BF BC BC=BF=10W5_20N620×2.4549 ≈16.33(cm).…(6分) sin60°V333 3 2 又.'∠ABD=∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=180°-60°-45°=75°， 在Rt△ABD中，sin∠ABD=AD =sin75°， AB .AB=AD 3 ≈3.09(cm), sin75°0.97 ∴.AC=BC+AB≈16.33+3.09=19.42≈19.4(cm). 故AC的长约为19.4cm.… (9分) 23.解：(1)由题意得 0=1-b+c, 0=9+3b+c, b=-2, 解得 c=-3. 二次函数的表达式为：y=x2-2x-3:…（3分) (2)将x=0代入到y=x2-2x-3中，得y=-3, ∴.点C的坐标为(0，-3). 设直线BC的表达式为y=c+d,且经过点B(3,O),C(0,-3), 则得化. .直线BC的表达式为：y=x-3. (4分) 如图，分别过点M,N作y轴的平行线交直 线BC于点P,Q, 则P(x,x-3),(x2,x2-3): x<x,x2=-2x,2<3, 2x0 ·点M(x，),N(x2,2)在二次函数的图 象上， y=x2-2x-3,y2=x22-2x2-3, 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第3页（共6页） .MP=x2-2x-3-(x-3)=x2-3x, N0=x2-3-(x22-2x2-3)=-x32+3x2=-4x2-6x.…（5分） :SANIBC=3S△Nac, ÷p6-)=3x20- ∴.x2-3x=3(-4x2-6x),即13x2+15x=0, 解得=0或 13 0 =吕 …（7分）》 (3)设直线MC的表达式为y=mx+n,且经过点M(x,x2-2x,-3),C(0,-3), 得 mx1+n=x2-2x-3, 解得m=-2, n=-3, n=-3, .直线MC的表达式为y=(x-2)x-3. (9分) 同理可得直线NB的表达式为y=(x2+1)x-3(x2+1).…(10分) 点E是MC,NB的延长线的交点， ∴.(x,-2)x-3=(x2+1)x-3(x2+1),且x+x2=3, 解得x=2 3 “点E在定直线x=上. （12分) 24.（1)①证明：，F为BE的中点，∴.BF=EF. 又'BC∥EG,∴.∠FBC=∠FEG. 在△FBC和△FEG中， [∠FBC=∠FEG, BF=EF, ∠BFC=∠EFG, .∴.△FBC≌△FEG（ASA), CF=GF;…(3分) ②解：由①可知△FBC≌△FEG, ∴.BC=EG. 在RtAABC中，an∠BAC-BC=tan30e= AC 3 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第4页（共6页） .BC_EG ACAC 3 在Rt△AED中，tan∠EAD= DE AD ian30°=5 .EGDE (4分) AC DA .BC∥EG,∠BCE=90°， ∴.∠CEG=180°-∠BCE=180°-90°=90°， ∴.∠CEG=∠BCE. 在Rt△AED中，∠AED=90°-∠EAD=90°-30°=60°， .∠GED=∠CEG+∠DEA=150°. 又.∠CAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°， ∴.∠GED=∠CAD, .△GED∽△CAD,… (5分) .∠GDE=∠ADC, ∴.∠CDG=∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG=90°..(6分) '在RtAGCD中，tan∠GCD=DC-EG=V3 DC AC 3 .∠DCG=30°.… (7分) (2)解：△DFG为等边三角形.理由如下： 如图，连接CD,过点B作BH∥DE交DA的延长线于点H, ∴.∠BHA=∠ADE=90°，∠EBH=∠BED. .BC∥EG, ∴.∠CBE=∠GEB, ∴.∠EBH+∠CBE=∠BED+∠GEB, 即∠CBH=∠GED.…(8分) 在四边形BCAH中， ∠CBH+∠BCA+∠CAH+∠AHB=360°， ∴.∠CAH=180°-∠CBH. 又，∠CAH=180°-∠CAD, .∠CBH=∠CAD,∴.∠CAD=∠GED.…(9分) 由（1)①同理可得：△FBC≌△FEG, ∴.EG=BC,CF=FG, BC EG3 AC AC 3 又：DE=5,BgDE DA 3 AC DA ∴.△CAD∽△GED,… (10分) 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第5页（共6页) GD√5 ∴.∠ADC=∠EDG, CD 3 又，'∠ADE=∠EDG+∠ADG=90°， .∠CDG=∠ADC+∠ADG=90°..（11分) .在Rt△CDG中， GD 3 CD 3 ∴.∠GCD=30°，.DG=。CG. 2 又：CF=FG,FD=CG=FG, 2 ∴.DG=FD=FG, .△DFG为等边三角形.… (12分) 初中学业水平考试适应性测试参考答案及评分标准数学第6页（共6页）