学易金卷：高二数学下学期第三次月考（北师大版，范围：数列、导数及其应用、集合与常用逻辑用语）

■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、导数及其应用、集合与常用逻辑用语。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 2．等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 3．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 6．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 10．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ） A．2 B．4 C．12 D．14 11．已知函数，记的最小值为，则（   ） A． B．，的图象关于直线对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 13．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________. 14．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 17．（15分） 在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 19．（17分） 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B B D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（6分） （2）由（1）可知：，，故；（7分） ， ， 两式相减，得： ， 故.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题函数定义域为，，（2分） 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；（6分） （2）当时，由（1）可知有最大值为，（7分） 故要证，只需证，即证，（9分） 设，则，（11分） 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设扇形半径为，则， 可得，即，（3分） 所以.（6分） （2）由（1）得：，即， 构造，，（8分） 则， 因为，则， 构造，，则，（11分） 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，，故，（1分） 所以，又因为， 所以切线方程是．（4分） （2）由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，，（6分） 所以，当时，当时， 所以在递减，在递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是.（10分） （3）由（2）知，，令， 所以，即在上单调递减， 又因为，， 所以必存在正数，使得， 故， （12分） 由（2）知，当时，，当时，，当时，， 由上知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即， 令，（15分） 因为， 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 因此的最小值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由，得，则， 所以；（2分） 由，得，则， 所以．（4分） （2）①依题意，，则，（5分） 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而， 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以．（10分） ②由，得，则为递增数列，且， 当时，，（14分） 则 ， 所以对任意的，都有．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、导数及其应用、集合与常用逻辑用语。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 2．等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 3．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 6．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 10．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ） A．2 B．4 C．12 D．14 11．已知函数，记的最小值为，则（   ） A． B．，的图象关于直线对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 13．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________. 14．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 17．（15分） 在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 19．（17分） 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列、导数及其应用、集合与常用逻辑用语。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得，，，． 故选：A. 2．等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【答案】B 【解析】由等差中项的性质可知， 所以，解得， 所以. 故选：B. 3．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 所以. 故选：C. 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设塔的顶层灯数为， 由上至下每一层的灯数形成以为公比的等比数列， 由题可得，解得， 所以塔的顶层的灯数是. 故选：B. 5．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 【答案】B 【解析】，当时，，故； 当时，，，相减得到， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故，验证时成立，故，， ． 故选：B. 6．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因切线与的切点为， 由可得， 切线方程为：，即① 依题意，切线与的切点为 ，因， 则切线的方程为：，即② 因①，②都是的方程，则有 ， 联立两式消去 并整理得，即，解得. 故选：D. 7．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示，    由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是. 故选：A. 8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 是奇函数，所以 原不等式，可化为 因为，所以， 因为，，所以， 所以在上单调递增，所以于是 要使原不等式在上恒成立，就必须有， 设 则整理得 因为，所以， 设，则在上恒成立，则在上单调递增， 由于所以使得，即即 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 从而在上的最小值在处取得， 由两边取对数，得 于是 所以，故实数的取值范围为 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【解析】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 10．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ） A．2 B．4 C．12 D．14 【答案】ABD 【解析】因为等差数列，的前项和分别为，，且， 则， 因为，则， 所以，且，则舍， 所以的可能值为. 故选：ABD. 11．已知函数，记的最小值为，则（   ） A． B．，的图象关于直线对称 C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，；当时，设，则， 令，可得，其中， 当时，，所以，可得； 当时，，所以，即， 所以，所以A错误； 对于B，因为， 所以函数的图象都关于直线对称，所以B正确； 对于C，由A选项知，，，所以的最大值为1， 即的最大值为1，故C正确； 对于D，设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又由，所以，即，所以， 又，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 13．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减， 则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 14．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由数列满足， 当时，可得； 当时，， 两式相减得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，； 当时，， 当时，适合上式，所以 由不等式，即， 当为奇数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 当时，可得取得最大值，所以； 当为偶数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 设， 令，因为是不小于2的偶数，所以为正奇数，且， 当时，即时，取得最小值，最小值为，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 15．（13分） 【解析】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得： ， 故. 16．（15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 16．（15分） 【解析】（1）由题函数定义域为，， 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，由（1）可知有最大值为， 故要证，只需证，即证， 设，则， 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证. 17．（15分） 在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 17．（15分） 【解析】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 18．（17分） 【解析】（1）当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． （2）由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在递减，在递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. （3）由（2）知，，令， 所以，即在上单调递减， 又因为，， 所以必存在正数，使得， 故，         由（2）知，当时，，当时，，当时，， 由上知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即， 令， 因为， 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 因此的最小值为. 19．（17分） 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 19．（17分） 【解析】（1）由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以． （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而， 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以． ②由，得，则为递增数列，且， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有． / 学科网（北京）股份有限公司 $