精品解析：江苏镇江市丹徒区宜城中学五校2025-2026学年第二学期初中阶段性学习评价Ⅰ 八年级数学试卷

江苏镇江市丹徒区宜城中学五校2025-2026学年第二学期初中阶段性学习评价Ⅰ八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分） 1. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 3. 为了解某九年一贯制学校（学生人数大于1000人）学生每天的睡眠时间，下列抽样的方式比较合理的是（ ） A. 在该校餐厅随机抽取10名学生进行调查 B. 在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C. 在该校六年级随机抽取50名学生进行调查 D. 在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 4. 下列选项中，发生可能性最大的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王” B. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数 C. 随机调查位青年，他是月出生 D. 一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球 5. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将长为的矩形纸条对折后沿折痕剪开，将剪开后的纸条交叉叠放在一起，测量得知中间重叠四边形的两条对角线的长分别为和，则原矩形纸条的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长先变大再变小 B. 线段的长先变小再变大 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为___________． 12. 已知一个样本有50个数据，其中最大值为83，最小值为32，若取组距为10，则应把它分成__________组． 13. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 14. 等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为______． 15. 在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新的点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成，则点D的坐标是______． 16. 如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 18. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 20. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，作菱形，使D、E、F分别在、、上． （1）通过尺规作图确定菱形的位置（保留作图痕迹）； （2）证明满足此作图的菱形即为所求． 23. 【知识阅读】梯形是我们比较熟悉的图形，三角形有中位线，其实梯形也有中位线，我们可以利用三角形中位线的性质推出梯形的中位线与上底、下底之间的关系．如图1，在梯形中，，分别是、的中点，则为梯形的中位线，且． （1）【知识迁移】如图2，已知在正方形与正方形中，三点在同一直线上，分别为和的中点，请直接写出与的数量关系． （2）【探究猜想】将上面的正方形与正方形绕点C进行旋转到如图3所示的位置，分别为和的中点． ①【知识迁移】中与的数量关系是否还成立，请给予证明； ②若，，则的最大值与最小值的和为______． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． （1）则的长为______，的度数为______； （2）在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； （4）若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏镇江市丹徒区宜城中学五校2025-2026学年第二学期初中阶段性学习评价Ⅰ八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分） 1. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断全面调查与抽样调查， 需区分全面调查与抽样调查的适用场景，全面调查适用于范围小、要求精准或事关重大的调查，抽样调查适用于范围广、难以全面调查的情况．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项企业招聘需对每位应聘人员面试，属于全面调查； B选项飞船仪器设备检查事关安全，需全面排查，属于全面调查； C选项班级学生人数少，可全面统计视力，属于全面调查； D选项市民群体范围广，难以全面调查，适合抽样调查； 故选：D． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意； B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意； C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 为了解某九年一贯制学校（学生人数大于1000人）学生每天的睡眠时间，下列抽样的方式比较合理的是（ ） A. 在该校餐厅随机抽取10名学生进行调查 B. 在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C. 在该校六年级随机抽取50名学生进行调查 D. 在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抽样调查的可靠性，样本需具有广泛性与代表性，即样本要覆盖各个层次的对象，据此判断即可． 【详解】解：仅在餐厅抽取10名学生，样本量过小且范围局限，不能代表全校学生， 故A不合理． 在校门口抽取10名学生，样本量过小，不具备广泛性， 故B不合理． 仅抽取六年级学生，无法代表其他年级学生的情况，不具备代表性， 故C不合理． 在全校抽取学号尾数为2和9的学生，覆盖了全校各年级、各班级的学生，样本具有广泛性和代表性， 故D合理， 故选：D． 4. 下列选项中，发生可能性最大的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王” B. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数 C. 随机调查位青年，他是月出生 D. 一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件发生的可能性大小，分别求出每个选项中事件发生的概率即可判断求解，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：、从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王”概率为； 、抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为； 、随机调查位青年，他是月出生的概率为； 、一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球的概率为； ∴发生可能性最大的是选项， 故选：． 5. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 如图，将长为的矩形纸条对折后沿折痕剪开，将剪开后的纸条交叉叠放在一起，测量得知中间重叠四边形的两条对角线的长分别为和，则原矩形纸条的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，是解题的关键．过点A作于点E，过点A作于点F，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，得出，，，根据勾股定理得出，根据菱形面积求出，得出矩形的宽，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，如图所示： 根据题意可知：，， ∴四边形为平行四边形， 根据矩形的性质可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴原矩形纸条的宽为， ∴原矩形纸条的面积为：， 故选：D． 9. 如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长先变大再变小 B. 线段的长先变小再变大 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据数据描述求频率． 计算单词“”中字母e的出现次数与总字母数的比值即可． 【详解】解：单词“”，总字母数为8，字母e出现4次，因此频率为， 故答案为：． 12. 已知一个样本有50个数据，其中最大值为83，最小值为32，若取组距为10，则应把它分成__________组． 【答案】6##六 【解析】 【分析】先计算出该组数据的极差，根据组数极差组距即可求解． 【详解】解：最大值为83，最小值为32， ， （组）（进一法取近似值）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查频数分布表，掌握组距，分组数的方法：组距（最大值最小值）组数是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出点是中点，结合是中点，得出是的中位线，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O， ∴点是中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 14. 等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为______． 【答案】12 【解析】 【分析】过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F，求出，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为，过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， ∴高为． 15. 在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新的点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式计算即可． 【详解】解：设， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴、的中点和、的中点重合． 则，， 解得，， 即. 16. 如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，作于点，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．利用含角的直角三角形的性质可计算出，则，利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴取得最小值． 三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如图， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体； （1）根据组的人数除以占比得出总人数，进而求得的值，并补全频数分布直方图； （2）用乘以组的占比，即可求解； （3）用乘以再乘以组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是人 18. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 【小问2详解】 解：∵盒子中共有个球， ∴盒子里约有白球(个) ． 【小问3详解】 解：∵加入个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 整理得， 解得， 答：推测可能是． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴，， 在和中， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明； （2）结合平行四边形性质求出的度数，再由角平分线定义、平行线性质推得的度数，最后结合全等三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 平分， ， ， ， ． 20. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形； （2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 22. 如图，作菱形，使D、E、F分别在、、上． （1）通过尺规作图确定菱形的位置（保留作图痕迹）； （2）证明满足此作图的菱形即为所求． 【答案】（1） 四边形即为所求： （2） 证明：设与相交于点O． ∵为线段的垂直平分线， ∴，，， ∴． ∵为的平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，再作线段的垂直平分线，分别交，于点D，F，连接，，即可； （2）根据垂直平分线的性质可得，，，根据角平分线的定义可得，证明得到，进而可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【知识阅读】梯形是我们比较熟悉的图形，三角形有中位线，其实梯形也有中位线，我们可以利用三角形中位线的性质推出梯形的中位线与上底、下底之间的关系．如图1，在梯形中，，分别是、的中点，则为梯形的中位线，且． （1）【知识迁移】如图2，已知在正方形与正方形中，三点在同一直线上，分别为和的中点，请直接写出与的数量关系． （2）【探究猜想】将上面的正方形与正方形绕点C进行旋转到如图3所示的位置，分别为和的中点． ①【知识迁移】中与的数量关系是否还成立，请给予证明； ②若，，则的最大值与最小值的和为______． 【答案】（1） （2） ①成立，理由如下： 如图3，作交的延长线于H，于L，交的延长线于K， ， ，， ， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， ， ； ②4 【解析】 【分析】（1）运用梯形的中位线定理即可求解； （2）①【知识迁移】中与的数量关系成立，如图3，作交的延长线于H，于L，交的延长线于K，再运用全等三角形的判定与性质以及梯形的中位线定理即可求解； ②利用三角形的三边关系求出的最大值与最小值即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，结论：， 理由如下： ，与相交， 四边形是梯形， ，， ， 正方形与正方形中， ，， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②，， ， 即， ， 的最小值为1，最大值为3， 的最大值与最小值的和为4． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． （1）则的长为______，的度数为______； （2）在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； （4）若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】（1）， （2）存在， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $