精品解析：江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

初中生自主学习能力专项评价样卷八年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．每题只有一个正确选项，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2. 在频数分布直方图中，各小长方形的高等于相应组的（　 ） A. 组距 B. 组数 C. 频数 D. 频率 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图的知识，掌握频数分布直方图的知识是解题的关键．根据频数分布直方图的知识求解即可． 【详解】在频数分布直方图中，每个小长方形的高等于每小组的频数， 故选：C． 3. 为了了解三中九年级840名学生的体重情况，从中抽取100名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指（　　） A. 840名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 840名学生的体重 D. 被抽取的100名学生的体重 【答案】D 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：样本是被抽取的100名学生的体重． 故选：D． 【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．利用中位线定理证明，则四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，分别是的中点， 连接、， 在中， ∵， 同理 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选A． 5. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（ ） A. 小于3的点数 B. 大于3的点数 C. 小于5的点数 D. 大于5的点数 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式，分别求出各个选项的概率即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴骰子停止后，出现可能性大的是小于5的点数， 故选：C． 【点睛】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是熟知概率计算的公式． 6. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和普查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解某校八年级男生的身高情况，适宜普查，故本选项符合题意； B、了解镇江市全市空气质量情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解黄河流域现有鱼的种类，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解某品牌洗衣机的使用寿命，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：A 7. 在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， A． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故该选项错误，符合题意； B． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质，是解题的关键． 8. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，这时点C、A、正好在同一条直线上，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、三角形外角性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转得到，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，这时点C、A、正好在同一条直线上， ∴， ∵在中，， ∴； 故选：D． 9. 如图，在中，，，垂足为点E，D是上一点，连接，F是的中点，当时，的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解决问题的关键．由等腰三角形的性质证得，根据三角形中位线定理得到，即可求得答案． 【详解】解：，， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，整体代换运算；设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，由已知条件得，由两正方形之间的关系得，，由长方形的周长和可得 ，即可求解； 理解两正方形周长和两长方形周长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b， 两个正方形的周长和为60， ， ， ， ， 长方形的周长为48， ， ， ， ， ， ， ， 重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，计18分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. “任意画一个矩形，它的对角线相等”是______事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据矩形的性质、必然事件的概念解答即可． 【详解】解：矩形的对角线相等， “任意画一个矩形，它的对角线相等”是必然事件． 故答案为：必然． 12. 一次社会实践活动中，全班50名同学被分成3个小组，第一组和第二组的频数之和为25，则第三组的频率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数据收集中的频数与频率的关系．先根据第一组和第二组的频数之和得出第三组的频数，再根据频率等于频数除以总数计算频率即可． 【详解】解：第三组的频数， 故第三组的频率为， 故答案为． 13. 在中，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键． 14. 如图，在菱形中，与相交于点O，若，，则菱形的周长是______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出的长．由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， 菱形的周长． 故答案为：40． 15. 如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设它们运动的时间为，则当_______时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或4 【解析】 【分析】考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．分两种情况，①当点在的左侧时，②当点在的右侧时，分别由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， 分两种情况： ①当点在的左侧时，， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上所述，当或4时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 2025年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰，某校数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”为主题展开调查．他们随机调查了本校部分学生，对于提供的六个具体选择：A：金山；B：焦山；C；圌山；D：西津渡；E：北固山；F：其他，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为______，并请你将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为_____； （3）若数学兴趣小组所在学校共有1800名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数． 【答案】（1）60， 补全条形统计图如图所示． （2） （3）900名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次调查一共抽取的学生人数，求出选择的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可得旅游地点所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据用样本估计总体，用1800乘以样本中最喜爱“西津渡”与“金山”学生人数所占的百分比的和，即可得出答案． 【小问1详解】 解：这次调查一共抽取了（名）同学， 选择的人数为（人． 故答案为：60． 【小问2详解】 解：扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（名）， 估计该校“西津渡”与“金山”的学生总人数约为900名． 18. 不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 （1）填写表格中的数据； （2）估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） （3）在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】（1）0.39、390 （2）0.4 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【小问1详解】 解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； 【小问2详解】 解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； 【小问3详解】 解：（个， 答：袋中有4个黑球． 19. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应的，请画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的； （3）绕着某点顺时针旋转一定的角度后得到，点A、B、C的对应点分别是、、，若点和点坐标分别为、，则旋转中心坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， （3） 【解析】 【分析】此题考查了中心对称的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应的，顺次连接即可； （2）找到关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据对应点连线的垂直平分线过旋转中心即可找到旋转中心，写出其坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，旋转中心坐标为 21. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵矩形的对角线、相交于点O， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是关键． （1）证明四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）利用矩形的性质证明是等边三角形，得到，，由四边形是平行四边形得到，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵矩形的对角线、相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 即四边形的周长为． 22. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）_______； （2）①求证：四边形是正方形； ②若，求点B的坐标． 【答案】（1）45 （2）①∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义进行求解即可； （2）①先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质，得到，即可得证；②将绕点旋转，得到，证明，得到，设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45． 【小问2详解】 ①略 ②将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． （1）如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； （4）如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】（1） 如图，点F即为所求， （2） 四边形即为所求， （3） 如图，点即为所求， （4） 如图，点G即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的中心对称性作图即可； （2）根据菱形的性质和三角形中位线定理构造中点四边形，根据矩形的判定即可得到答案； （3）根据平行四边形的中心对称性构造平行四边形，即可得到答案； （4）根据菱形判定和性质、平行四边形的判定和性质进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关平行四边形的性质是解题的关键． 24. 阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． （1）写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； （2）如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】（1）鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2） 证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中生自主学习能力专项评价样卷八年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．每题只有一个正确选项，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在频数分布直方图中，各小长方形的高等于相应组的（　 ） A. 组距 B. 组数 C. 频数 D. 频率 3. 为了了解三中九年级840名学生的体重情况，从中抽取100名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指（　　） A. 840名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 840名学生的体重 D. 被抽取的100名学生的体重 4. 顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 以上都不对 5. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（ ） A. 小于3的点数 B. 大于3的点数 C. 小于5的点数 D. 大于5的点数 6. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 7. 在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，这时点C、A、正好在同一条直线上，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，垂足为点E，D是上一点，连接，F是的中点，当时，的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 10. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，计18分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. “任意画一个矩形，它的对角线相等”是______事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 12. 一次社会实践活动中，全班50名同学被分成3个小组，第一组和第二组的频数之和为25，则第三组的频率是_______． 13. 在中，若，则______． 14. 如图，在菱形中，与相交于点O，若，，则菱形的周长是______． 15. 如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为_______． 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设它们运动的时间为，则当_______时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 2025年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰，某校数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”为主题展开调查．他们随机调查了本校部分学生，对于提供的六个具体选择：A：金山；B：焦山；C；圌山；D：西津渡；E：北固山；F：其他，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为______，并请你将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为_____； （3）若数学兴趣小组所在学校共有1800名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数． 18. 不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 （1）填写表格中的数据； （2）估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） （3）在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 19. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应的，请画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的； （3）绕着某点顺时针旋转一定的角度后得到，点A、B、C的对应点分别是、、，若点和点坐标分别为、，则旋转中心坐标为______． 21. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）求四边形的周长． 22. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）_______； （2）①求证：四边形是正方形； ②若，求点B的坐标． 23. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． （1）如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； （4）如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 24. 阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． （1）写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； （2）如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $