广东汕头市潮阳林百欣中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷覆盖集合、函数、概率、立体几何等核心知识，融入党史竞赛、数学史选修等现实与文化情境，通过基础题到综合题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合真子集、函数导数图象等|第3题结合党史竞赛考条件概率，体现数学眼光| |多选|3/18|二项式定理、函数极值等|第9题综合二项式系数与系数，考查数学思维| |填空|3/15|展开式有理项、切线方程等|第13题函数切线方程，强化数学语言表达| |解答|5/77|数列证明、立体几何、函数导数等|16题数列证明与求和（逻辑推理），19题双曲线定值问题（模型观念），分层设问提升能力考查|

潮阳林百欣中学2025—2026学年度第二学期 期中考试高二数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则集合C的真子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，若，且，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．1或-1 3．某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　) A．P(B|)＝ B．P(AB)＝ C．P(B|A)＝ D．P(A)＝ 4．已知下列四个图象之一是函数 f(x)在某区间的图象，且 f(x)的导函数f’(x)在该区间的图象如图所示，则f(x)在该区间的图象是（ ） A B C D 5．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．-2023 B．-2025 C．-2021 D．2025 6．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 8. 已知实数a，b满足，则下列不等式可能成立的是(     ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 10．设函数，则（ ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．曲线的对称中心的横坐标为定值 11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（　　） A．对任意的F点，三棱锥F﹣ADE与三棱锥A1﹣ADE的体积相等 B．对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形 C．存在点F，使得EF∥平面A1C1D D．存在点F，使得EF⊥平面BDC1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的有理项个数为 ． 13. 函数的图象在点处的切线方程是 . 14．已知等差数列的公差为d，记是数列的前n项和，若，，则的通项公式为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数 （ ， ）． (1)若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率为 ，求 ， 的值； (2)若曲线 存在两条垂直于 轴的切线，求 的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，. (1)若，分别是，的中点，证明：； (2)求二面角的余弦值. 18．（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知等轴双曲线的一个焦点为. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考试高二数学参考答案 1.C 2．D 3．A 4. B 5．A 6.C 7. B 8.D 9. ACD 10．BD 11．ABD 12．3 13.3x-y=0 14．或（没写或不完整均不给分） 6. C【详解】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，求得底面半径，进而求得圆锥的高，即可求解；设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，由题意可得：，即，所以，故. 7. B【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或 若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种 所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B 8. D解：设，则，， 当时，，，， 则，；当时， 当时，，，， 则， 综上所述，有可能成立的是 9. ACD 解：由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确 10. BD【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，故A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，故C错误； 对于D，由， 得曲线的对称中心的坐标为，故D正确 11.【分析】证明F和A1到面ADE的距离相等判断A；证明PF∥QD且DF与PQ不平行判断B；证明EF总与面A1C1D相交于点E判断C；取F为BC中点时，可得EF⊥面BDC1判断D． 【解答】解：如图所示， ∵A1D1∥面ADE，BC∥面ADE，且A1B⊥面ADE， ∴F和A1到面ADE的距离相等，故三棱锥F﹣ADE与 三棱锥A1﹣ADE的体积相等，A正确； 过D，E，F三点的截面为四边形PFDQ，且PF∥QD， DF与PQ不平行，故四边形PFDQ始终是梯形，B正确； ∵面EMCN∥面A1C1D，而EF总与面A1C1D相交于点E，故不存在这样的点F，使得EF∥平面A1C1D，C错误； ∵A1C⊥面BDC1，∴当EF∥A1C，即F为BC中点时，EF⊥面BDC1，故存在这样的点F，使得EF⊥平面BDC1，D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查平面的基本性质与推理，训练了利用等体积法求多面体的体积，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题． 12.【详解】的展开式通项为，由可得 13. 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简求解即可. 【详解】由知，，所以， 故所求切线方程为，即. 15. （1） ． 由题意得 解得 ， 或 ．……………………………………………………4分 （2） 若曲线 存在两条垂直于 轴的切线，求 的取值范围． [解析]因为曲线 存在两条垂直于 轴的切线，所以关于 的方程 有两个不相等的实数根，……………………………8分 所以 ，即 ，所以 ． 所以 的取值范围为 ．……………………………13分 16. （1），， 可得，………………………………………4分 又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列. …7分 （2）由（1）可得，所以.……………10分 设数列的前n项和为，则 ，……………………………………………13分 若，即，因为函数为单调递增函数，……14分 所以满足的最大整数n的值为2023. ………………………………15分 17. (1)取中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，. 因为，所以. 所以，又，所以. 因为，又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. ……6分 (2)在平面内过点作，交于点， 因为，所以，又因为，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，，两两垂直，…………………………………………………………8分 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又，所以， 则，，，所以，.…10分 设平面的法向量为， 则， 令，则.…………………12分 易知平面的一个法向量为，(…13分)所以.…14分 由图知，二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.…………15分 18. (1)当时，，则…2分(定义域求导各1) 当时，，单调递增，……………………………4分 当时，，单调递减，……………………………6分 故在上单调递增，在上单调递减，……………………………7分 (2)（法一）当时，……………………………9分 由（1）可知，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，……………………………………………14分 所以在单调递减，在单调递增， 因此，（当且仅当时取得等号）…………………………17分 （法二）当时，……………………………9分 令，可知…………………………11分 于是在单调递减，在单调递增， 因此，（当且仅当时取得等号）．………………………13分 令，则由（1）知：故在单调递增，………15分 因此．所以．……………17分 19. (1)由题意，解得，所以双曲线C的标准方程为． 故答案为：……………………………………………………………………3分 (2)设，过点的动直线为：．…………………………………………4分 设，，联立得，…………6分 所以，由且，解得且………8分 因为，即，即 化简得 所以，． 化简得……………………13分 由于上式对无穷多个不同的实数都成立， 所以 如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去． 因此，从而，所以，代入 得，解得，此时在双曲线C上． 综上，，，或者，．……………17分 4 学科网（北京）股份有限公司 $