江西南昌市第十五中学2025-2026学年高一下学期5月学情检测数学试卷

绝密 启用前 高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.考查范国:必修第二册第一章至第三章。 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3,回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应期目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦千净后,再进涂其他答案标号。回答非进择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,诗将答卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 1.函数几x)=2cos -3的最小正周期为 A.4m B.2 C. 0号 2.平行四边形ABCD中,A裙+B心+Ci+DA A.2A8 B.AC C.BD D.0 3.函数几)=sm2x-)图象的一条对称轴的方程为 B. C.x16 D.x=5m 4.若排零向量a,b满足a=2b|,且a⊥(a+3b),则cos(a,b〉= A号 暗 c n号 5.函数刘=-2sinx+sinx的值域为 o B.-1.] c D.3.] 6.平面内,一质点在力F,F,F作用下处于平衡状态,若F,=(5,0),F,+F,=(4,-3),则F2在F,方 向上的投彩向量的坐标为 a引 B引 c( D.(4,-3) 高一数学第1页(共4页) 2sin' -3,x4km,ke乙 7.已知函数x)= sinx an万xm,ke2. 若x)在区间(0,a)上有且仅有6个零点,则a的取值 范围是 a 劉 c.(2. 2到 8.若平面向量a,bc满足a=b=lcl=-4a b=l,则a+e) (26+c)+3 的取值范围为 a+26-c A.[2,6 层胃 c份 D.10.61 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列各式的值为正数的是 15 A.sin 321 B.co C.tan 2 D.cos(sin a),aeR 10.已知函数x)=Ain(2x+p)(A>0,|p<m)的图象如图所示,则 A.A=2 B.e C.当x∈0引时R到的最小值为- D.当x)在区间0,)上有最大值且没有最小值时,l的取值范围是 .已知0(0,0),A0,2),B(m,0),Cn,3)(m>0,n>0),则 A.不存在A,m,n,使得BC=B函+hO心 B.当mn=1时, ABC面积的最小值为/2 C,存在m,n,使得当P+P吧+P心最小时P与A重合 D当亦:府且B14C时,店 P元的最大值为-2 一 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 元1 12. in660 tan 210 的值为 {明漫两假始 13.在 6c中,角AB,C的对边分别为e,6,设t2,且满足儿剂=,则角 C的大小为一一 4若点A,B,C是半径为1的圆0上三点,且20A+30成-40C=0,则1AC= 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。,量而8 15,(13分)已知角a的终边经过点P(-1,3). (1)求tana,sina,cosa的值; 0. (-0-o受ooo2m方什共台段生水并在:数, (2)求 的值 tan(o-T) 常故高,公食能珍骑,公料9候遂脑 ,资武到世大佩 , 行 ISE ais.A 月三ar 进1) 坝,0回蓝金圆州>学t产C,两以581 115分)已知向量a=(-1,2),b=(1,-1). (1)若a-2b与ka+b共线,求实数k的值; (2)若teR,求|a+b|的最小值. 15分)已知 ABC中内角A,B,C所对的边分别为a6,c点D为AB的中点,CD=,B=号 (1)求 ABC面积的最大值; (2)若c=4,求b.无 前纸的1.万网川粉t十n00我 ,00同)天,.48.区.,0减号 ,-1:百我,,k学4 所 心,是三沙 年44一1沙新妙到品 高一数学第3页(共4页) 18(17分)如图,在 ABC中,点P,Q分别在边AB,BC上,点P为AB的中点且CP,AQ交于点D. 斯金色国 (1)若C⑦=2D驴,证明:4D=-2+C成家1.,2。 (2)若B顾=BC,币=ad,求a的值; 或头星第一品过“溪》少 图热生 (3)若 ABC是边长为2的正三角形,点Q是与B,C不重合的动点,求BD C而的取值范围, 是志本森已以4于部是邑安点弥挥磁非学。珍下的载就科心学平增为点指, 为天 问身风多”会,动寸次行黄羟终治于”站》所出礼 目照合路景风一赏只,中觉娄个四的出补亭.位(冰共,代卧心得,部州共本酸赋一 9(17分)已知函数满足对任意1,西eR都有x)+x2,)F2:*)八),且0)≠0, f-m)=0. (1)证明:fx)是周期函数; ns:日 (2)老师合诉小李同学,7=-ow壹y=4a克,y=44in营中有且仅有一个函数可以作为 ),请你帮助小李确定哪一个函数可以作为(x),并以此函数作为f代),求解下面两道 小题: ()把)的图象向右平移个单位长度,得到8(的图象,求g()的单调递减区间; (i)关于x的方程3[x)]2-5ax)+2a2=0在区间- 22r 33 上有4个不同实根,求a的取 43, 值范围. 火n+5,t :-14 《节眼,-1-3,.之=,流沙4中7少29年 1项世 (-,11 高一数学第4页(共4页) 高一年级5月学情检测 数学参考答案 L.【答案】A 【解析1)的最小正周期为2严=4m.故选A. 2 2.【答案】D 【解析】在平行四边形ABCD中,从A出发,经过B,C,D,最后回到A,形成一个封闭回路,向量和为零向量.故 选D. 3.【答案】B 【解析]若x=。为函数)图象的对称轴方程,则八x)=士1得=-1,满足题意,经验证,其他都不满足题 意.故选B 4.【答案】D 【解折]设1b1=1≠0,则1a=2由a1(a+3b)得a(a+30)=a+3ab=0.所以a:b=-写0=-号,所以 3 cos(a,b)= 62,子枚选n a b 3 5.【答案】C 【解析1到=-2nx+s血=-2ls如-) +名当sn=时)取到最大值t安当sm1时 取到最小值-1,所以人)的值城为-1, 放选C 6.【答案】A 【解析】F2=F,+F2-F=(4,-3)-(5,0)=(-1,-3),F=-(F,+F)=(-4,3),所以F2在F,方向上的投影向量为 景房会传引做选 7.【答案】B 【解所1当eZ时=21小m厅,所以在区间0+o)上的前7个零点分别为号,号号行 三号所以的取值范阳足停引 3,3 故选B. 8.【答案】C 【解折】由1al=b=1el=-4a b=1,得a b=-子1a+2b=V公+4a~b+奶=2,所以(at2b) c≤ |a+2b|川c|=2,当a+2b与c同向时取等号,(a+2b) c≥-la+2b|川c|=-2,当a+2b与c反向时取等号,所以 ae)(20+e)+3=2abc2a+20)c43e层.la+2h-el长1e+261+1-e1=3,当a+20与c反向时取等 号.a+2b-e1≥la+2l-1-el=1,当a+2b与c同向时取等号,所以aee)的最小值为分,最大值为 a+2b-c| 号放选C 9.【答案】BD(每选对1个得3分) 【解析1对于A.2是第四象限角.m2Ic0,对于B产是第一象限角,ml严,:对于C,号2c,m20, 对于D,7<-l≤na≤lk号a(sina)>0故选BD. 10.【答案】ACD(每选对I个得2分) 【解折1由阁=爱-0,且x沿在适减区间内,得g=+2eZ,解得p=+26,e乙,又1pl1K 12 6 6 ,所以p若故B结误:由人0)=m君=1,得4=2.放A正确:当e引时,2x+后e后,得)≥ 怎2附≥立+7>M‘邦簪生都可即￥簪丁‘01 亚(护骏更DT一三山 6 6 3 故选ACD IL.【答案】ABD(每选对I个得2分) 【解析】对于A,若BC=B+A0元,则(n-m,3)=(-m,2)+(n,3),得 n-m=-m+入n, 由两个等式分别得入=1,X= 3=2+3 . 含矛盾,放A正确:对于B,正=(m,2》,元=(a.》, Ac的面积S=丽c到如∠B4C= 2 AC2-(a丽.闷=2人m+4a+)-(m-2=2m+4+4mm≥2/8mn=万,当且仅当m=. 0=m0+n a号时取等号,故正确:对于C,当成房,心最小时P与A重合, 3 无解,故C错误:对于D,由 0+0+3 2= 3, 极1AC,得 A花=m-2=0,所以m=2,设P(x,,由市=(店+得(x,y-2)=m,-2n 卫,所以 3 x”所似西.元引》=2 2m+2n-5mm+20≤-mn+20- 9 =-2,当且仅当m=n=√2时 9 等号成立,故D正确.故选ABD. 2【答案1月 5 【期解析1m60 -m720-609-sim60 之 3 tan210 an(180+30)tan30 万 2 3 13【答案120写成写也正确 【解折1(2儿剂=-2)展开得宁(a+6)+日6=-了,整理得b=之(a+6-e).将s 代右边得a包.a的学兰理得w期6e-子 4 4 4 2ab 故 C=120. 14【答案] 4 【解折]由已知得2-40=-30,两边平方得20-160.0元=9.所以.0元-若所以d=10元-a: 4 15.解:(1)设0为原点,则|0P|=√-1)+3=√而,(1分) 3 所以an=子-3,(3分) sin a=-3310 0 10,(5分) c0s a=-1=_V10 √Io 10(7分) (2)因为sin(r-a)=sina,cos 乞+a=-sina,cos(2r-a)=cosa,tan(a-m)=tan&,(11分) 3o3⑥ 所以原式=sina+sin acos& 1010 10 1-√10 .(13分) lan o -3 10 16.解:(1)因为a=(-1,2),b=(1,-1), 所以a-2b=(-1,2)-2(1,-1)=(-3,4),(2分) ka+b=k(-1,2)+(1,-1)=(-k+1,2k-1).(4分) 因为a-2b与ka+b共线, 所以-3(2k-1)-4(-k+1)=-2k-1=0.(6分)】 所以=宁(7分) (2)因为a=(-1.2),b=(1,-1), 所以a2=(-1)2+22=5,b=12+(-1)2=2,(9分) a b=-1 1+2 (-1)=-3,(10分) 3 当且仅当1=2时取等号.(14分) 所以1abl的最小值为号(15分) 17.解:(1)在 BCD中,CD=5,B= 3 由余弦定理得c0=3a+-2a 分 m 4 3 4c2a(2分) ≥ae- 2c=2ac,(4分) 所以c≤6,当且仅当a=宁=B时取等号.(5分) 所以 6c的面积S了c如B≤3 号-35 2=2,(7分) 所以 ABC的面积的最大值为3 (8分) (2)在 8CD中由余弦定骤得cD-台)+d-2宁 amsB=4+a-2a=3.(10分) 解得a=1,(12分)》 在 ABC中,由余弦定理得b=a2+c2-2 accos B=1+16-4=13,(14分) 所以b=3.(15分) 18.(1)证明:因为点P为AB的中点,所以C=号(C+C成,(1分) 因为而=2丽.所以而-号-+商.(3分) 所以-可-=子(i+画-=-子+成(5分) (2)解:设C=cC乎. 由B丽=B0+Q币=B证+P币,(6分)》 得兮8C+(a-)d=2+(c-),(7分) 即宁配*(a-兮-网=2Bi+(c-(行丽-a.(8分) 即BC+(1-a)B=(1-c)BC+,(9分) =1-c, 3 因为BC,B不共线,所以 3 解得a=亏(1山分) 1-a=2' (3)解:因为 ABC是边长为2的正三角形,点P为AB的中点, 所以BC=2.P=5,∠BCP=若(2分) 设CD=tC(0<t<1), 则励.而=(C+两 动-成.⑦4市=2xcm4(5)=3-=}子(4分) 因为01<1,所以-≤-0,(16分) 所以丽.⑦的取值范围是[子,0小(17分) 19.(1)证明:因为-m)=0x)+x-2x)=2式x-x)x,)中取x,=x,x=-, 得)+x+2m)=之+m-m)=0,(2分) 所以x+2m)=-x)x+4)=-x+2m)=fx),(4分) 所以f代x)是周期函数,且4 是f代x)的一个周期.(5分) (2)解:由已知可知f(x)的定义域为R,关于原点对称, x)x-2x,)=2x1-*))中取x,=2=0,得0)=0)0), 因为f0)≠0,所以0)=4,(6分) 所以y=s不能作为),(7分) x)抓x,-2x2)=2式x1-2)x2)中取x1=-,x2=-x, 得f-x)+fx)=2f-x),所以fx)=f-x), 所以)是偶函数,y=4+4sm之不能作为九),(8分) 所以)=4eos乏(9分) (i)g()=x-写)=4eo5石,(10分) T 由2km≤2 ≤ +2km,keZ,得+4km≤x≤ 匹+4km,ke2,(11分) 7 所以g()的单涧递减区间为[号+4, +4k ,k∈Z.(12分) (i)设=f),则32-5a+2a2=0,即=30或=a,(13分) 因为e(在区问(否0上单调造蜡,在区问,司】上单调递减.(14分) 因为原方程有4个不同实根,所以a≠0, 且=号0及)=a在区间行上各有2个不相等的实限(15分) 2 所 2<a<4, 解得3<a<4,即a的取值范围是(3,4).(17分)》 2<a<4,