第23章一次函数 单元试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级数学下册《第23章一次函数》单元同步测试，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖一次函数概念、性质及实际应用，融合生活情境与几何综合，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|一次函数概念（1题）、性质（3题）、图像过定点（4题）|基础巩固，聚焦概念辨析与图像理解| |填空题|8/24|函数值计算（9题）、平移变换（13题）、图像交点（14题）|能力提升，结合代数推理与几何直观| |解答题|7/72|行程问题（19题）、利润优化（20题）、几何与函数综合（23题）|创新应用，融入生活情境与跨知识探究，发展模型意识与推理能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第23章一次函数》 单元同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若y与x成正比例函数关系，且当时， ，则y与x之间的函数解析式为(    ) A． B． C． D． 3．下列关于一次函数的说法中，正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．图象与y轴的交点坐标是 D．y的值随x值的增大而增大 4．无论取何值，一次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 6．在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表：若小华的脚长为，则他的鞋号（码）是（　　） 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … A．39 B．40 C．41 D．42 7．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在函数关系式中，当时， ______；当时，______． 10．若点在函数的图象上，则代数式的值为_________． 11．已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 12．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 13．已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，点A的对应点位于第二象限，则m的取值范围是_______． 14．如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 15．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 16．正方形，，，⋯按如图所示放置，点，，，⋯和，，，⋯分别在直线和轴上，则点的纵坐标是_____． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）已知与x成正比例，当时， (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值． 18．（8分）在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 19．（10分）智慧学习小组成员共同编制如下一个数学问题：小敏从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，然后散步走回家．小敏离家的距离与她所用的时间的关系如图所示：解答下列问题： (1)小敏家离体育场的距离为_______，小敏跑步的平均速度为_______． (2)当时，请直接写出关于的函数表达式． 20．（10分）某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（12分）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 22．（12分）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 23．（12分）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 参考答案 1．解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 2．解：设， ∵当时， ， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．D 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象即可根据图象直接判断各选项． 【详解】解：A：对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴其图象与y轴交于负半轴， 综上，该一次函数图象过图象经过第一、三、四象限，故A错误； B：令，则，解得， ∴一次函数图象与x轴交于正半轴，故B错误； C：令，则，则一次函数图象与y轴交于，故C错误； D：∵， ∴y的值随x值的增大而增大，故D正确； 故选：D． 4．解：∵， ∴整理得， ∵无论取何值，一次函数图象一定经过该定点，等式恒成立， ∴， 解得 ， ∴一次函数图象一定经过定点． 5．解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 6．解：根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数， 设脚长与鞋号的函数关系式为， 将代入， 可得，解得， ∴脚长与鞋号的函数关系式为， 若小华的脚长为，可令， 则有，解得， ， ∴他的鞋号（码）是42． 7．解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 8．解：∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点、代入直线， 得， 解得． 9．解：当时，代入函数关系式， 得； 当时，代入函数关系式，得， 移项得， 两边同时乘以3，得． 故答案为：3；． 10．解：把代入，得， ∴， ∴． 11．解：∵y关于x的一次函数， ∴ ∴ ∵图象经过原点， ∴， ∴或（舍去）． 12．解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 13．解：已知点在一次函数的图象上， ， 将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 根据平移规律，点的对应点坐标为， 即，化简得， ∵对应点位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 可得不等式组：， 解不等式，得； 解不等式，得． 综上，的取值范围是． 14．解：∵当时，， ∴， 将代入，得，解得， ∴ 得解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解是． 15．解：当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 16．解：∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； ∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； ∵点在直线上，当时，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴的纵坐标为； …… 以此类推，可归纳得点的纵坐标为． 当时，点的纵坐标为； 故答案为：． 17．（1）解： 与x成正比例， 设， 又时，， ，即 ， 即． 故y与x之间的函数关系式． （2）解：当时，． 故y的值为11． 18．（1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 19．（1）解：由题意得：小敏分钟跑步到体育场，走了， ∴小敏家离体育场的距离为，小敏跑步的平均速度为：． 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，设， ∴， 解得：， ∴， ∴关于的函数表达式为：． 20．（1）解：根据题意得， ， 由题意， 解得：， 自变量的取值范围是且是整数； （2）由（1）， ， 随的增大而减小， 又 且是整数， 当时，有最大值，最大值是（元）， 生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元． 21．（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 22．（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：米； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 23．解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $