精品解析：北京市海淀区2025—2026学年第二学期期末练习高三数学试题（二模）

海淀区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】根据题意，设，则，且，， 故复数在复平面内对应的点位于第四象限. 2. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是单位向量，且 所以 3. 函数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 5. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由得：； 由代入通项公式展开： ， 整理后消去同类项得：， 将代入，解得， 因此通项公式为： 代入得： . 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“”比较大小即可. 【详解】因为，所以 又，即； 因为， 所以，即， 综上，，即. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 8. 如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，补全几何体为棱长为1的正方体，进而转化为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积即可. 【详解】在中，，，，分别为边，，的中点， ，，四边形是边长为1的正方形，面积， 折叠后，，，且， 因为为等边三角形，所以 因为平面，， 所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件； 所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积， 所以. 9. 已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切，再结合充分条件，必要条件的概念即可判断. 【详解】将圆的一般方程配方为标准方程：  ，  得圆心为，半径，（）， 直线，即， 圆心到直线的距离为： ， 圆与直线相切等价于，代入得： ， 两边平方整理得 ，即圆与相切， 充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立， 必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立， 综上，是圆与相切的必要不充分条件. 10. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以, 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为. 12. 在的展开式中，各项系数的最大值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】求出二项式的展开式，进而求出各项系数的最大值. 【详解】由于， 所以在的展开式中，各项系数的最大值为10. 13. 某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 【答案】 ①. 125 ②. 9 【解析】 【分析】根据题意，依次分析各年的投入使用的资金与剩余资金情况即可求得答案. 【详解】初始资金（第1年开始时）：2000万元 第1年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第2年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第3年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第4年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第5年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第6年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第7年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第8年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束 综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束. 14. 若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】由题意知，，再结合同角三角函数关系，根据二次不等式得，最后根据二倍角公式求解最值即可. 【详解】由题意知，， 所以，即， 因为， 所以，即 解不等式得， 又，， 所以， 所以 综上，的值可以是内的任意值，的最小值为. 15. 在中，，，，为边的中点，为边上的动点．为所在平面内的动点，且．给出下列四个结论： ①对任意的，存在使得； ②对任意的，存在使得； ③存在，使得； ④存在，使得． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，当与重合时，可得，可判断；对于②，通过举反例，当三点共线时，不满足；对于③④，求出，可判断. 【详解】因为，所以的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又，，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 又为边的中点，所以圆为的外接圆， 对于①，当与重合时，， 所以对任意的，存在使得，故①正确； 对于②，当三点共线时， 因为点位于圆及其内部，故，即，故②错误； 对于③④， ， 当方向相反时，等号左边成立，当方向相同时，等号右边成立， 又，， 所以， 因为，， 故③错误，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四边形中，是的角平分线． （1）求证：； （2）若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证. （2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，， 所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 17. 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质，结合平行公理及中位线的性质推理得证. （2）由面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为 得，而，解得， 所以线段的长为. 18. 某公司利用自动分拣系统对价值500元以下的中、小件包裹进行分拣．该系统对每件包裹分拣的准确率为99.9%．若一件包裹分拣错误，当包裹价值不超过10元时，该公司的损失费用为包裹价值的150%；当包裹价值超过10元但不超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的60%；当包裹价值超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的75%． 该公司随机抽取10000件包裹，记录并整理这些包裹的价值，获得数据如下表： 价值 件数 4000 4000 1200 800 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替． 假设不同包裹分拣正确与否相互独立．用频率估计概率． （1）估计一件包裹价值不超过100元的概率； （2）记为一件包裹分拣错误时该公司的损失费用，估计的数学期望； （3）该公司每天平均处理10万件包裹．若使用一项新技术，可以让分拣的准确率增加到99.99%，但每天需额外支付5000元．仅从费用的角度考虑，该公司是否使用该项新技术？说明理由． 【答案】（1） （2） （3）建议使用新技术，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，计算对应的频率即可得答案； （2）根据题意，的所有可能值为，，，（单位：元），再结合频率估计概率计算对应取值的概率，列分布列，求期望即可； （3）根据题意，采用新技术，分拣的准确率增加了0.09%，进而计算该部分可能带来的损失，并与采用新技术的投入比较即可判断. 【小问1详解】 解：根据题意，抽取的10000件包裹中，有8000件价值不超过100元， 所以不超过100元的频率为， 根据频率估计概率，一件包裹价值不超过100元的概率为 【小问2详解】 解：根据题意，同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替， 故当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元； 当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元； 当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元； 当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元； 所以，的所有可能值为，，，（单位：元） ，， ，， 所以的概率分布列如下： 7.5 33 150 300 所以，(元) 【小问3详解】 解：建议使用新技术，理由如下： 根据题意，若采用新技术，分拣的准确率增加了0.09%， 故采用新技术时，每天可以减少的损失费用约为 元， 由于，故建议使用新技术. 19. 椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，进而求得答案； （2）设直线方程为，进而求得点，，，，再结合弦长公式，面积公式求解与面积，建立关于的方程并解方程即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，令得，故， 联立方程，得，解得或， 所以，代入得， 所以，， 所以， 所以直线的方程为， 因为的方程为， 所以，得， 所以， 因为， 点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，即， 设椭圆的右顶点为， 因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方）， 所以，故，， 所以， 令，则，即， 所以， 解得或（舍去），则， 所以，即直线的斜率为. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线经过点的切线条数； （2）当时，求证：对任意； （3）若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 【答案】（1）3； （2）证明：函数的定义域为R，求导得， 令，求导得， 由，，得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，函数在上单调递增， ， 所以当时，对任意. （3）. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过点的切线方程，进而确定切线条数. （2）求出函数的导数并确定其单调性，由最大值推理得证. （3）由（2）可得是的一个解，再分离参数构造函数，利用导数求出其值域即可求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 设切点坐标为，则切线方程为， 而切线过点，因此，整理得， 解得或，当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为， 所以曲线经过点的切线条数为3. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，， 因此是方程在的解，由方程在上有且仅有1个解， 得当时，无解，由， 得，令函数， 求导得 ，而，则， 函数在上单调递减， 当从小于的方向趋近于时，，又 当时，， 则恒成立，当且仅当时取等号， 即，，且当从大于的方向趋近于时，， 因此函数在上的值域为，由在无解，得， 由关于的方程在区间上有且仅有1个解，得， 所以的最小值为. 21. 给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． （1）分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② （2）是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； （3）求预言数列的个数． 【答案】（1）是3-预言数列；不是预言数列； （2） 不存在，证明如下： 根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数， 任意正整数，，这项中恰有个不同的数 所以且 假设存在首项的预言数列，则中有不同的数， 即必须互不相同，即， 当时，不满足，矛盾； 当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，与矛盾； 当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，且， 又因为，所以，，， 此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾. 综上，不存在首项为的预言数列. （3）当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合预言数列的定义依次判断即可； （2）根据题意得且，再假设存在，则，再依次讨论，，时均不满足即可说明不存在； （3）先讨论时的情况，再讨论，结合反证法证明预言数列的个数为. 【小问1详解】 解：对于①， 当时，对于任意正整数，的值均为，不同的数的个数为， 所以是预言数列； 对于② 由于，，，，，，……， 当，时，对应的项为，，， 其中不同的数有和两个，不等于， 所以不是预言数列. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，此时预言数列的个数为1； 当时，预言数列的个数为，证明如下： ①同（2），可得且， 所以，若数列中某一项为1，则后续项只可能均为1或者均为2. ②设中的最大项为，证明. 假设，则存在， 由题可知，中恰有，这个不同的数， 所以，其中存在（若有多个，则取最后一个），存在，（若有多个，则取最前一个）， 若，则，，矛盾； 若，则中恰有个不同的数， 又因为中没有，且，其后续项也没有，矛盾. 由上可知，. ③由②，若，则，符合； 若，设，则其后续项可取到和，且其中第一个1的后续项只能为2， 否则其前一项（取2）对应的后续项只能取1，矛盾； 所以，若，则其后续项只能有1个1，个2， 共有种不同的取法，考虑到数列首项还可能是1， 所以，当数列中最大项为2时，共有个预言数列， 综上，时，预言数列的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A. B. C. D. 9. 已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的渐近线方程为______． 12. 在的展开式中，各项系数的最大值为___________． 13. 某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 14. 若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________． 15. 在中，，，，为边的中点，为边上的动点．为所在平面内的动点，且．给出下列四个结论： ①对任意的，存在使得； ②对任意的，存在使得； ③存在，使得； ④存在，使得． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四边形中，是的角平分线． （1）求证：； （2）若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 某公司利用自动分拣系统对价值500元以下的中、小件包裹进行分拣．该系统对每件包裹分拣的准确率为99.9%．若一件包裹分拣错误，当包裹价值不超过10元时，该公司的损失费用为包裹价值的150%；当包裹价值超过10元但不超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的60%；当包裹价值超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的75%． 该公司随机抽取10000件包裹，记录并整理这些包裹的价值，获得数据如下表： 价值 件数 4000 4000 1200 800 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替． 假设不同包裹分拣正确与否相互独立．用频率估计概率． （1）估计一件包裹价值不超过100元的概率； （2）记为一件包裹分拣错误时该公司的损失费用，估计的数学期望； （3）该公司每天平均处理10万件包裹．若使用一项新技术，可以让分拣的准确率增加到99.99%，但每天需额外支付5000元．仅从费用的角度考虑，该公司是否使用该项新技术？说明理由． 19. 椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线经过点的切线条数； （2）当时，求证：对任意； （3）若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 21. 给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． （1）分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② （2）是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； （3）求预言数列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $