北京市海淀区2025—2026学年第二学期期末练习高三数学试题（二模）

海淀区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A. B. C. D. 9. 已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的渐近线方程为______． 12. 在的展开式中，各项系数的最大值为___________． 13. 某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 14. 若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________． 15. 在中，，，，为边的中点，为边上的动点．为所在平面内的动点，且．给出下列四个结论： ①对任意的，存在使得； ②对任意的，存在使得； ③存在，使得； ④存在，使得． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四边形中，是的角平分线． （1）求证：； （2）若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 某公司利用自动分拣系统对价值500元以下的中、小件包裹进行分拣．该系统对每件包裹分拣的准确率为99.9%．若一件包裹分拣错误，当包裹价值不超过10元时，该公司的损失费用为包裹价值的150%；当包裹价值超过10元但不超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的60%；当包裹价值超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的75%． 该公司随机抽取10000件包裹，记录并整理这些包裹的价值，获得数据如下表： 价值 件数 4000 4000 1200 800 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替． 假设不同包裹分拣正确与否相互独立．用频率估计概率． （1）估计一件包裹价值不超过100元的概率； （2）记为一件包裹分拣错误时该公司的损失费用，估计的数学期望； （3）该公司每天平均处理10万件包裹．若使用一项新技术，可以让分拣的准确率增加到99.99%，但每天需额外支付5000元．仅从费用的角度考虑，该公司是否使用该项新技术？说明理由． 19. 椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线经过点的切线条数； （2）当时，求证：对任意； （3）若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 21. 给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． （1）分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② （2）是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； （3）求预言数列的个数． 海淀区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 ①. 125 ②. 9 【14题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【15题答案】 【答案】①④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） 在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【17题答案】 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）建议使用新技术，理由见解析. 【19题答案】 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为 （2） 【20题答案】 【答案】（1）3； （2）证明：函数的定义域为R，求导得， 令，求导得， 由，，得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，函数在上单调递增， ， 所以当时，对任意. （3）. 【21题答案】 【答案】（1）是3-预言数列；不是预言数列； （2） 不存在，证明如下： 根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数， 任意正整数，，这项中恰有个不同的数 所以且 假设存在首项的预言数列，则中有不同的数， 即必须互不相同，即， 当时，不满足，矛盾； 当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，与矛盾； 当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，且， 又因为，所以，，， 此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾. 综上，不存在首项为的预言数列. （3）当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $