2026年中考数学模拟猜题卷（山东统考卷）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．下列各数中，2，5，2026，最小的数是（    ） A． B．2 C．5 D．2026 2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为0.000 000 000 34 m．数据0.000 000 000 34用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．特种邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带，现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，这是一个芯片晶圆切割的平面图片，晶圆平面图（）被切割为最大正方形，且，则图中被切去部分的面积（即阴影部分的面积）为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（    ） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．直接填写答案． 11．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 12．如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为__________． 14．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，…，…，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 15．如图，正方形的边长为2，点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（8分）如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 18．（8分）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 19．（10分）在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 20．（10分）如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．（9分）河南登封嵩岳寺塔（图）是中国现存最古老的砖塔．某校研学小组借助斜坡测量塔的高度，如图，坡长，坡角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)________度，________度； (2)求嵩岳寺塔的高度（结果精确到）．（参考数据：） 22．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； (3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 23．（11分）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A C C C A C D C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．直接填写答案． 11．2 12． 13． 1 14． 15． / 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分） 【详解】（1）解：原式 ； -----------------------------------------4分 （2）解：原式 ． -----------------------------------------8分 17．（8分 【详解】（1）解：如图所示： - ----------------------------------------4分 （2）证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． -----------------------------------------8分 18．（8分） 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元；-----------------------------------------4分 （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元．-----------------------------------------8分 19．（10分） 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． -----------------------------------------2分 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． -----------------------------------------4分 （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致．-----------------------------------------7分 （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． -----------------------------------------10分 20．（10分） 【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； -----------------------------------------5分 （2）解：∵，， ∴， 设的半径为，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故的半径为5． -----------------------------------------6分 21．（9分） 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； -----------------------------------------3分 （2）解：如图，过点作的延长线于点，延长，交于点， 在中，，， ∴， 由题意得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：嵩岳寺塔的高度约为． -----------------------------------------9分 22．（11分） 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，得， ∴抛物线的函数表达式为，即；-----------------------------------------3分 （2）解：令，解得，， ∴，， 记与相交于点， ∴ ； -----------------------------------------6分 （3）解：∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点， ∴的值与无关， ∴， ∴， ∴，即此定值是． -----------------------------------------11分 23．（11分） 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； -----------------------------------------2分 （2）解：四边形为平行四边形， 同理得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形 -----------------------------------------6分 （3）解：如图，过点A作于点M． 则 ． ①当点D在的延长线上时，此时 又 ， 解得 -----------------------------------------8分 ②如图，当点D在线段上时，此时 同理①得 即 解得 综上所述，线段的长为或．-----------------------------------------11分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．下列各数中，2，5，2026，最小的数是（    ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形； B、是中心对称图形，不是轴对称图形； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3．如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从正面看，该几何体共有3列. 左边一列有1个小正方形，中间一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形， ∴该几何体的主视图是底层3个正方形，第二层中间1个正方形． 4．随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为0.000 000 000 34 m．数据0.000 000 000 34用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，需满足，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】∵原数左起第一个非零数字前共有个零，且取满足， ∴ 因此正确选项为C． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需运用合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方的法则，逐一判断选项得到正确结果． 【详解】解：对选项A，根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变， ，，故A错误； 对选项B，根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，，，故B错误； 对选项C，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，故 C正确； 对选项D，根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，，，故 D错误． 6．特种邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带，现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意列出表格，求得所有等可能的结果与两次抽取的邮票图案名称不相同的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设4枚邮票分别为、、、，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中两次抽取的邮票图案名称相同的结果有种， 两次抽取的邮票图案名称不相同的结果有 种 两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为 7．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出总银子数对应的两个等量关系，据此列方程组即可． 【详解】解：设有人，分两银子， ∵每人分七两，剩余四两，总银子数等于分掉的银子加上剩余的银子， ∴可得， 又∵每人分九两，还差八两，总银子数比需要分的银子少八两， ∴可得， 因此所列方程组为 ． 8．如图所示，这是一个芯片晶圆切割的平面图片，晶圆平面图（）被切割为最大正方形，且，则图中被切去部分的面积（即阴影部分的面积）为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆内接正方形的性质，可计算出圆的直径，用圆的面积减去正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴为圆的直径， 在中，， ∴， ∴． 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（    ） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加 【答案】D 【分析】求出反比例函数的解析式为，设，则，运动时间为t秒，则，可求出，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴 ∴，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 设，则，运动时间为t秒 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ； ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会增加a． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断，，的符号及相关代数式的值；利用 和时的函数值判断相关不等式；利用函数的最小值性质判断含参不等式． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故结论错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故结论正确； 当时，， ， ，即，故结论正确； 当时，， ，即 ， ，故结论正确； 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即 ，故结论正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．直接填写答案． 11．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 12．如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，． 即．解得． 14．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，…，…，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出点坐标的循环规律，再根据规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环周期， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为． 15．如图，正方形的边长为2，点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为__________． 【答案】 / 【分析】连接，由旋转性质知，，，证，得，解直角三角形可得答案． 【详解】解：如图，连接， 将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点与原点重合， ，， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（8分）如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（8分）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 19．（10分）在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 20．（10分）如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）延长交于点，连接，根据圆周角定理，垂径定理，等弧对等弦，等边对等角推出，，根据，进而得到，即可得证； （2）设的半径为，则，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故的半径为5． 21．（9分）河南登封嵩岳寺塔（图）是中国现存最古老的砖塔．某校研学小组借助斜坡测量塔的高度，如图，坡长，坡角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)________度，________度； (2)求嵩岳寺塔的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)嵩岳寺塔的高度约为． 【分析】（）由题意得，，，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理即可求解； （）过点作的延长线于点，延长，交于点，证明四边形是矩形，则，，然后通过解直角三角形的有关计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作的延长线于点，延长，交于点， 在中，，， ∴， 由题意得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：嵩岳寺塔的高度约为． 22．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； (3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)此定值是4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，即可得抛物线的函数表达式； （2）令，可得，，记与相交于点，可得，根据三角形的面积公式求解即可； （3）将，代入抛物线的函数表达式，可得，，结合已知可得，可得，根据题意可得的值与无关，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，得， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：令，解得，， ∴，， 记与相交于点， ∴ ； （3）解：∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点， ∴的值与无关， ∴， ∴， ∴，即此定值是． 23．（11分）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据等边对等角得到，证明，由旋转的性质得到，进而得到，即可得到四边形为平行四边形； （3）过点A作于点M，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，分当点D在的延长线上时，当点D在线段上时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形， 同理得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点A作于点M． 则 ． ①当点D在的延长线上时，此时 又 ， 解得 ②如图，当点D在线段上时，此时 同理①得 即 解得 综上所述，线段的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $